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(新课程)高中数学《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件 新人教A版选修2-3


1.1
【课标要求】

分类加法计数原理与分步 乘法计数原理

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.

【核心扫描】
1.理解两个计数原理的内容及它们的区别.(难点) 2.两个计数原理的应用.(重点) 3.应用两个计数原理时,合理选择分类

还是分步.(易混点)

自学导引
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第1类方案中有m种不同 的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这 N=m+n 种不同的 件事共有_________ 方法. 分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同的方 法.那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. _________

想一想:两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同?
提示 分类加法计数原理中,每一类方案中的每一种方法 都能“完成一件事”;分步乘法计数原理中,只有两步全部 完成,才算“完成一件事”.

名师点睛
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系
关键词 分类加法计数原理 分类 每类方法都能独立地 完成这件事,它是独 立的、一次性的且每 次得到的是最后结 果,只需一种方法就 可完成这件事 分步乘法计数原理 分步 每一步得到的只是中间结 果,任何一步都不能独立完 成这件事,缺少任何一步也 不能完成这件事,只有各个 步骤都完成了,才能完成这 件事

本质

各步之间是关联的、独立 各类 各类办法之间是互斥 的,“关联”确保连续性, (步 ) 的、并列的、独立 “独立”确保不重复,即 的关系 的,即“分类互斥” “分步互依”

题型一

分类加法计数原理的应用

【例1】 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数 共有多少个?

[思路探索] 该问题与计数有关,完成这件事只要两位数的
个位、十位确定了,这件事就算完成了,因此只要考虑十 位或个位上的数字情况进行分类即可.



法一

根据题意将十位上的数字分别是1,2,3,4,

5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的

两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1
个. 由分类加法计数原理,符合题意的两位数的个数共有:8 +7+6+5+4+3+2+1=36(个). 法二 根据题意将个位上的数字分别是2,3,4,5,6, 7,8,9的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位 数分别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个. 由分类加法计数原理,符合题意的两位数的个数共有,1

+2+3+4+5+6+7+8=36(个).

规律方法

分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都

是相互独立的,且每一类方法中的每一种方法都可以独立
地完成这件事.在应用该原理解题时,首先要根据问题的 特点,确定好分类的标准.分类时应满足:完成一件事的 任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一类.

【变式1】 书架上层放有15本不同的数学书,中层放有16本不 同的语文书,下层放有14本不同的化学书,某人从中取出 一本书,有多少种不同的取法? 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法:第1 类,从上层取一本数学书有15种不同的取法;第2类,从 中层取一本语文书有16种不同方法;第3类,从下层取一 本化学书有14种不同方法.其中任何一种取法都能独立完

成取一本书这件事,故从中取一本书的方法种数为15+16
+14=45.

题型二

分步乘法计数原理的应用

【例2】 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a, b∈M)表示平面上的点,问: (1)点P可表示平面上多少个不同的点?

(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点?
[思路探索] 完成“确定点P”这件事,需要依次确定点P的 横、纵坐标,应运用分步乘法计数原理求解. 解 (1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步 确定a的值,有6种不同方法;第二步确定b的值,也有6种

不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上点P的个
数为6×6=36.

(2)确定平面上第二象限内的点P,可分两步完成:第一步 确定a的值,由于a<0,所以有3种不同方法;第二步确定 b的值,由于b>0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数

原理,得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2=6.
规律方法 利用分步乘法计数原理解决问题应注意: (1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序

的;(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步
骤都完成才算完成这件事.

【变式2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加
比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名 队员选2名安排在第二、四位置,求不同的出场安排共有 多少种?



按出场位置顺序逐一安排.第一位置队员的安排有3

种方法;第二位置队员的安排有7种方法;第三位置队员 的安排有2种方法;第四位置队员的安排有6种方法;第五 位置队员的安排只有1种方法. 由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有

3×7×2×6×1=252(种).

题型三

两个原理的综合应用

【例3】 现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班 各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有

多少种不同的选法?

[规范解答] (1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7 种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三 类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学

生中选1人,有10种选法.
所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种)(4分) (2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班

学生中选一人任组长.
所以,共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).(8分)

(3)分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选1人, 有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有 7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10 种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不

同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的
选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选 法. 所以,共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+ 8×10+9×10=431(种).(12分)

【题后反思】 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清
是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体 标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独 立完成这件事,可以避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要

运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意
图或列出表格,使问题更加直观、清晰.

【变式3】 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2 名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围 棋,现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共

有多少种不同的选法?
解 分四类求解:(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参 加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围 棋比赛有3×2=6种选法; (2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时

从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛
有3×2=6种选法;

(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时 从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛 有2×2=4种选法; (4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋

比赛,剩下的一名参加围棋比赛,有2×1=2种选法.
根据分类加法计数原理,一共有6+6+4+2=18种不同的 选法.

方法技巧

分类讨论思想在计数原理中的应用

分类讨论思想是计数原理的重要思想,尤其体现在两
个原理的综合应用上,对于“完成某件事”大多根据实际 进行合理分类.尤其对于涂色问题,因为问题解决稍显复 杂,既能考查两个原理的应用,又能体现分类讨论思想, 倍受命题者的青睐.

【示例】 如图有4个编号为1、2、3、4的小
三角形,要在每一个小三角形中涂上 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一 种,并且相邻的小三角形颜色不同,

共有多少种不同的涂色方法?

[思路分析] 明确用5种颜色涂4个区域,分别考虑1、3同色
和1、3不同色两种情况分类讨论说明. 解 分为两类: 第一类:若1、3同色,则1有5种涂法,2有4种涂法,3有1种 涂法(与1相同),4有4种涂法.

故N1=5×4×1×4=80(种).
第二类:若1、3不同色,则1有5种涂法,2有4种涂法,3有3 种涂法,4有3种涂法. 故N2=5×4×3×3=180(种). 综上可知不同的涂法共有N=N1+N2=80+180=260(种).

方法点评 涂色问题中包含着丰富的数学思想,解决涂色

问题方法技巧性强且灵活多变.因而这类问题有利于培养
学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利 于开发学生的智力.


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