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2013河北省石家庄高三数学(理)第一次模拟考试试题


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河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试 理科数学试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答

案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z=1-i,则 A.第一象限

1 ? z 对应的点所在的象限为 z
C.第三象限
x?2

B.第二象限

D.第四象限

2. 若集合 A ? {x ? Z | 2 ? 2 个数为 A. O B. 1 C. 2

? 8} , B ? {x ? R | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? (C R B) 所含的元素

D. 3
2

3. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) .若 P( ? <2)=0.8,则 p(0< ? <1)的值为 A. 0.2

B. 0.3

C.? 0.4

D. 0.6

4 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3x ? 4y=0,则 该双曲线的标准方程为 A.

x2 y2 ? ?1 9 16 y2 x2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 16 9 y2 x2 ? ?1 16 9
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C.

D.

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5. 执行右面的程序框图,输出的 S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 20

6. 已知等比数列{an},且 a4 ? a6 ? A. π
2

?

2

0

4 ? x 2 dx ,则 a6(a3+2a6+a10))的值为
D.-9π

B. 4

C. π

7. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A. 0.852 B. 0.8192 C O.8 D. 0.75

8.巳知点(x,y)在Δ ABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若 B(3,

5 )是 使得 z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数 a 的取值范围为 2 1 1 1 A. a ? ? B. a ? 0 C. a ? ? D. ? ? a ? 0 2 2 2
9. 若函数 f ( x) ? A sin( A.f(x-2)—定是奇函数 C. f(x+3)一定是偶函数

?

2

x ? ? )( A ? 0) 满足 f(1)=0,则
B.f(x+1)—定是偶函数 D, f(x-3)一定是奇函数

10. 已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,则此三 棱锥的外接球的表面积为 A 4π C. 11. A B, 12π

16? 3

37 24

12.

64? 3 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 已知数列{an} , , , , , , , , , , ?,依它的 10 项的规律,则 a99+a100 的值为 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 7 11 7 B . C. D. 6 15 15 f ( x) ? 0 ,若 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? x
D.

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a?

1 1 1 f ( ), b ? ?2 f (?2), c ? ln f (ln 2) ,则下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是 2 2 2
C. c>b>a D. b>a>c

A. a>b>c B, a>c>b

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空題,本大通共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.过点(2,3)与圆(x-1) +y =1 相切的直线方程为_____. 14. 如 图 , 正 方 形 ABCD 中 ,EF//AB, 若 沿 EF 将 正 方 形 折 成 一 个 二 面 角 后,AE:ED:AD=1:1: 2 ,则 AF 与 CE 所成的角的余弦值为______. 15.为举办校园文化节,某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训, 培训项目及人数分 别为: 乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,則不同 的推荐方案的种数为_______.(用数字作答) 16.在Δ ABC 中, ?B =60 ,O 为Δ ABC 的外心,P 为劣弧 AC 上一动点,且 OP ? xOA ? yOC
0 2 2

(x,y∈R),则 x+y 的取值范围为____ _____ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,有两座建筑物 AB 和 CD 都在河的对岸 (不知 道它们的高度, 且不能到达对岸) ,某人想测量两 座建筑物尖顶 A、C 之间的距离,但 只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线 EF,用 卷 尺 测 得 EF 的 长 度 为 a , 并 用 测 角 仪 测 量 了 一 些 角 度 :

?AEF ? a , ?AFE ? ? , ?CEF ? ? , ?CFE ? ? , ?AEC ? ? 请
你用文字和公式写出计算 A、C 之间距离的步骤和结果.

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18.(本小题满分 12 分) 为了调査某大学学生在某天上网的时间, 随机对 lOO 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调 查.得到了如下的统计结果: 表 l:男生上网时间与频数分布表

表 2:女生上网时间与频数分布表

(I)从这 100 名男生中任意选出 3 人,其中恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的概率; (II)完成下面的 2X2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?

表 3:

?

附:

19. (本小题满分 i2 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , PA 丄 平 面 ABCD,

?ABC ? ?ADC ? 90 0 ,

?BAD ? 120 0 ,AD=AB=1,AC 和 BD 交于 O 点.
(I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC (II)当点 A 在平面 PBD 内的射影 G 恰好是Δ PBD 的重心时, 求二面角 B-PD-G 的余弦值.
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20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F1 作与 x 轴不重合的 a b
直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (I)若Δ ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (II)若椭圆的离心率满足 0 ? e ?

5 ?1 2 2 2 ,0 为坐标原点,求证:OA +OB <AB 2

21 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x )=x2+aln(x+1) (I)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2 求证: 0 ?

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 x1 2

请考生在 22?24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记 分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲

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如图,过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分别交圆 O 于点 A,B,C,D 弦 AD 和 BC 交于 Q 点,割线 PEF 经过 Q 点交圆 O 于点 E、F,点 M 在 EF 上,且 ?BAD ? ?BMF : (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证: ?BMD ? ?BOD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为: ? sin 2 ? ? cos? (I)求曲线 l 的直角坐标方程;

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (II)若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) , 直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点求|AB| ?y ? 2 t ? 2 ?
的值

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 巳知函数 f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (II)不等式 f ( x) ? 1 在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围

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2013 年高中毕业班第一次模拟考试
数学理科答案
一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCC B 卷答案 1-5 DBCBB 二、填空题

6-10 ADADD 6-10 ADADD

11-12 AD 11-12 AD

13 . 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 2

14 .

4 5

15 . 24

16 . ?1, 2 ?

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分) AE EF 17.解:第一步:在 ?AEF 中,利用正弦定理, , ? sin ? sin(180? ? ? ? ? ) 解得 AE ?
a sin ? ;?????4 分 sin(? ? ? ) a sin ? ;?????8 分 sin(? ? ? )

第二步:在 ?CEF 中,同理可得 CE ?

第三步:在 ?ACE 中,利用余弦定理, AC ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE cos ?
? a 2 sin 2 ? a 2 sin 2 ? a 2 sin ? sin ? cos ? ? ? 2 sin 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? ? ) sin(? ? ? )sin(? ? ? )

????12 分 (代入角的测量值即可,不要求整理,但如果学生没有代入,扣 2 分) 18.解: (Ⅰ)由男生上网时间频数分布表可知 100 名男生中,上网时间少于 60 分钟的有 60 人,不 少于 60 分钟的有 40 人,??????2 分 故从其中任选 3 人,恰有 1 人上网的时间少于 60 分钟的概率为 1 2 C60 C40 ?????4 分 3 C100
156 ??????6 分 539 (Ⅱ) ?

上网时间少于 60 分 男生 女生 合计 ?????8 分 60 70 130

上网时间不少于 60 分 40 30 70

合计 100 100 200

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200 ? (1800 ? 2800) 200 ? ? 2.20 ,??????10 分 100 ? 100 ? 130 ? 70 91 ∵ K 2 ? 2.20 ? 2.706 ∴没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.??????12 分 19. 解: (Ⅰ)依题意 Rt ?ABC ? Rt ?ADC , ?BAC ? ?DAC , ?ABO ? ?ADO ,所以 AC ? BD ,??2 分 而 PA ? 面 ABCD , PA ? BD ,又 PA ? AC ? A ,∴ BD ? 面 PAC , 又 BD ? 面 PBD ,∴平面 PAC ? 平面 PBD ????4 分 (Ⅱ) z 过 A 作 AD 的垂线为 x 轴, AD 为 y 轴, AP 为 z 轴,建立如图所示坐 P 3 1 标系,则 B( , ? , 0) , D(0 ,1 , 0) , C ( 3,1, 0) ,设 P(0, 0, ? ) , 2 2 ??? ? 3 1 3 1 ? 所以 G( , , ) , PB ? ( , ? , ?? ) , 2 2 6 6 3 由 AG ? PB ,得 K2 ?
2

??? ? ??? ? 3 1 ? 3 1 AG ? PB ? ( , , )?( , ? , ?? ) ? 0 6 6 3 2 2
B 2 1 ,? ? .??????6 分 2 2 2 ∴P 点的坐标为 (0, 0, ) ; 2 ???? 面 PBD 的一个法向量为 m ? 6 AG ? ( 3,1, 2) ,?????8 分 ??? ? ??? ? 2 设面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , CD ? (? 3, 0, 0) , PD ? (0,1, ? ) 2 ??? ? ? ? n ? PD ? 0 2 y ? z ? 0 ? ? 即? ,∴ n ? (0,1, 2) ??????10 分 ? ? ??? ? ?n ? CD ? 0 ? ?? 3x ? 0 解得 ? 2 ?
cos ? n, m ?? (0,1, 2) ? ( 3,1, 2) n?m 2 , ? ? | n || m | 2 3? 6

A

y D

x

C

2 .?????12 分 2 20. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 | AF1 | ? | AF2 |?| BF1 | ? | BF2 | ,又 | AF2 |?| BF2 | ,∴ | AF1 |?| BF1 | ,即 F1 F2

所以二面角 B ? PD ? A 的余弦值为

为边 AB 上的中线, ∴ F1 F2 ? AB ,????????2 分 在 Rt△AF1 F2 中, cos30? ?

2c c 3 , ,则 ? 4a a 3 3

∴椭圆的离心率

3 3 .???????4 分(注:若学生只写椭圆的离心率 ,没有过程扣 3 分) 3 3

1? 5 5 ?1 . ????6 分 , c ? 1 ,所以 a ? 2 2 ??? ? ??? ? b4 1 y2 b4 ①当直线 AB与x 轴垂直时, 2 ? 2 ? 1 , y 2 ? 2 , OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 2 , a a b a
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 因为 0 ? e ?
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3 5 ?( a 2 ? ) 2 ? ??? ? ??? ? ?a 4 ? 3a 2 ? 1 2 4 , 因为 a 2 ? 3 ? 5 ,所以 OA = ? OB ?0, a2 a2 2 ??AOB 恒为钝角, ? OA2 ? OB2 ? AB2 .?????????8 分

②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,代入 整理得: (b2 ? a 2 k 2 ) x2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b2 ? 0 ,
?2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2 b2 , x1 ? x2 ? 2 x x ? 1 2 b ? a2 k 2 b2 ? a 2 k 2 ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2
x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 (1 ? k 2 ) ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

(a 2 k 2 ? a 2 b2 )(1 ? k 2 ) ? 2a 2 k 4 ? k 2 (b2 ? a 2 k 2 ) b2 ? a 2 k 2 k 2 (a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ) ? a 2 b 2 ? b2 ? a 2 k 2 2 4 k (?a ? 3a 2 ? 1) ? a 2 b2 ??????10 分 ? b2 ? a 2 k 2 令 m(a) ? ?a 4 ? 3a 2 ? 1 , 由 ①可知 m(a) ? 0 , ?

??AOB 恒为钝角.,所以恒有 OA2 ? OB2 ? AB2 .??????12 分

2x 2 ? 2x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立, 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ?1
/

即 a ? ?2 x ? 2 x 区间 [1,??) 上恒成立, ???????1 分
2

a ? ?4 .??????3 分
经检验, 当 a=- 4 时, f ( x) ?
/

2 x 2 ? 2 x ? 4 2( x ? 2)( x ? 1) / ? , x ? [1,??) 时, f ( x) ? 0 , x ?1 x ?1

所以满足题意的 a 的取值范围为 [?4, ??) .??????4 分

2x 2 ? 2x ? a ? 0 ,依题意方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在区间 (Ⅱ)函数的定义域 (?1,??) , f ( x) ? x ?1 ? ?? ? 0 ? 2 (?1,??) 有两个不等的实根,记 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,则有 ? g ( ?1) ? 0 , ? 1 ? ? ? ?1 ? 2 1 得 0 ? a ? .????????6 分 2
/

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1 1 ? 2a 1 2 , ? ? x2 ? 0 , ? 2 x2 ? a ? 0 , x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?1, 2 x2 2 2 2
2 2 f ( x2 ) x2 ? (2 x 2 ? 2 x 2 ) ln( x 2 ? 1) x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln( x ? 1) 1 ? ,令 k ( x) ? , x ? (? ,0) x1 ? 1 ? x2 ?1? x 2

????????8 分

k ( x) ?
//

x2 2x 2 ? 6x ? 2 ? x2 // ? 2 ln( x ? 1 ) k ( x ) ? , , ? 2 x ln( x ? 1) , k / ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3

因为 k (? ) ? ?

1 2

x
k // ( x)

1 // 1 , k (0) ? 2 ,存在 x0 ? (? ,0) ,使得 k // ( x0 ) ? 0 , 2 2 1 x0 (? , x0 ) 2
0

( x0 ,0)
+

1 1 k / (0) ? 0 , k / (? ) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k / ( x) ? 0 ,所以函数 k ( x) 在 ( ? ,0) 为减函数, 2 2
???????10 分

f ( x2 ) 1 1 ? ? ? ln 2 ????????12 分 k (0) ? k ( x) ? k (? ) 即 0 ? x1 2 2
法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分. 【证法 2】 x 2 为方程 2 x2 ? 2 x ? a ? 0 的解,所以 a ? ?2 x 2 ? 2 x 2 ,
2

1 1 1 ? 2a 1 , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? ? ? ,∴ ? ? x2 ? 0 , 2 2 2 2 f ( x2 ) 先证 ? 0 ,即证 f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ? 0 ), x1

∵0? a ?

在区间 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , ( x2 , 0) 内 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x2 ) 为极小值, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? 0 ,∴ 再证
f ( x2 ) ? 0 成立;???????8 分 x1

f ( x2 ) 1 1 1 ? ? ? ln 2 ,即证 f ( x2 ) ? (? ? ln 2)(?1 ? x2 ) ? ( ? ln 2)( x2 ? 1) , x1 2 2 2

1 1 x22 ? (2 x22 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) ? ( ? ln 2) x2 ? ? ln 2 , 2 2 1 1 令 g ( x) ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) x , x ? (? , 0) ???????10 分 2 2

g ?( x) ? 2 x ? (4 x ? 2) ln( x ? 1) ?

2 x( x ? 1) 1 ? ( ? ln 2) , x ?1 2
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1 ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) , 2
1 ln( x ? 1) ? 0 , 2x ? 1 ? 0 , ? ln 2 ? 0 , 2 1 ∴ g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? , 0) 为增函数. 2 1 1 1 1 1 1 g ( x) ? g (? ) ? ? (2 ? ? 1) ln ? ( ? ln 2) 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ln ? ? ln 2 ? ? ln 2 . 4 2 2 4 2 2 f ( x2 ) 1 综上可得 0 ? ? ? ? ln 2 成立.?????????12 分 x1 2 ?

22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF, 所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 PA ? PB ? PM ? PQ .??????5 分 (Ⅱ)∵ PA ? PB ? PC ? PD , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?MPD , , 所以 ?CPQ ~ ?MPD ,?????7 分

∴ ?PCQ ? ?PMD ,则 ?DCB ? ?FMD ,??????8 分 ∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ?BMD ? ?BMF ? ?DMF ? 2?BAD , ?BOD ? 2?BAD , 所以 ?BMD ? ?BOD .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 ? sin ? ? ? cos ? ??????3 分
2 2

得: y ? x
2

?曲线 C1 直角坐标方程为: y 2 ? x .???????5 分
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得: ?y ? 2 t ? 2 ?

t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立,
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t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?4

AB ? t1 ? t 2 ? ( ? 2 ) 2 ? 4 ? ( ?4) ? 3 2
另解:

??????10 分

(Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y ? x 得:
2

x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立, x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 (5 2 ? 4 ? 4) ? 3 2
24. 解:(Ⅰ) ? ???????10 分

?x ? 2 7 解得 x ? 3 ?x ? 2 ? 2x ? 2 ? 3

?1 ? x ? 2 解得 x ? ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 2 ? 3 ?x ? 1 1 解得 x ? ???????3 分 ? 3 ?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3
不等式的解集为 (??, ) ? ( , ??) ??????5 分

1 3

7 3

?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ? f ( x ) ? ?? x ? 2a ? 2,2 ? x ? a ; (Ⅱ) a ? 2时, ?3 x ? 2 ? 2a, x ? a ?

??3x ? 6, x ? 2 f ( x) ? ? a ? 2时, ; ?3x ? 6, x ? 2
?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ? a ? 2时,f ( x) ? ? x ? 2a ? 2, a ? x ? 2 ; ?3 x ? 2 ? 2a, x ? 2 ?

? f ( x) 的最小值为 f (2)或f (a) ;??????8 分
则?

? f (a) ? 1 ,解得 a ? 1或 a ? 3 .??????10 分 ? f (2) ? 1

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