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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 3.1


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
统计案例

第三章

统计案例

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第三章
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

第三章

统计案例

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第三章

3.1

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自主预习学案

第三章

3.1

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通过典型案例的探究,了解回归分析的基本思想、方法及 初步应用. 体会统计方法的特点及应用的广泛性,提高对现代计算技 术与统计的应用的认识.

第三章

3.1

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重点:线性回归模型及相关概念,用回归分析方法作出推

断.
难点:对线性回归模型、残差分析、相关性检验的理解和 用相关指数检验模型的拟合效果.

第三章

3.1

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回归直线方程 温故知新

请回顾复习在必修 3中学过的两个变量的线性相关,回归
直线,回归直线方程的求法.

第三章

3.1

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思维导航 ^x+a ^求得的值是 1.给定变量 x 的值,由回归直线方程^ y=b y 的准确值吗?^ y的值能大致反映 y 的值吗? 2. 线性相关的两个变量都可以求回归直线方程吗?相关的 两个变量之间的关系一定是线性关系吗?

第三章

3.1

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新知导学
1 .回归分析是处理两个变量之间 __________ 相关关系 的一种统计 方法.若两个变量之间具有线性相关关系,则称相应的回归分 线性回归分析 . 析为________________
∑i=1 ?xi- x ??yi- y ?
2 ^ ^ ∑ ? x - x ? i i=1 2 .回归直线方程为 y = b x +a ,其中 b = _______________ n

^

^

n

^=__________ ( x , y ) 称为样本点的中心. ^ x ,__________ a y -b 相关系数r 来描述 3.线性相关关系强与弱的判断:用_____________ 线性相关关系的强弱.

第三章

3.1

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对于变量 x、 y 随机抽取到的 n 对数据(x1, y1)、 (x2, y2)、 …、

? ?xi- x ??yi- y ?
i=1

n

(xn , yn) , 其 相 关 系 数 r =



? ? x i- x ? ? ? y i- y ? 2
2 i=1 i=1

n

n

?xiyi-n x y
i=1

n

. ? x2 i -n i=1

?

n

2 x ?? ?y2 - n y ? i 2 i=1

n

第三章

3.1

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当r>0时,表明两个变量__________ 正相关 ;当r<0时,表明两个 负相关 .r的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相 变量__________ 强 ;r的绝对值接近于0时,表明两个变量之间几乎 关性越______ 0.75 时,认为两个变量 不存在线性相关关系.通常当|r|大于_______

有很强的线性相关关系.

第三章

3.1

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线性回归分析
思维导航 ^x 3.若 y 与 x 具有线性相关关系,其回归直线方程为^ y=b ^,则预报值^ +a y与真实值 y 误差大好还是小好?由于误差值有 正有负,直接取其和求平均值正负抵消不能准确反映其误差的 大小,怎么解决这个问题?

第三章

3.1

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新知导学 4.随机误差 (1)随机误差的概念:当样本点散布在某一条直线的附近, 而不是在一条直线上时,不能用一次函数y=bx+a来描述两个 y=bx+a+e 来表 变量之间的关系 ,而是用线性回归模型 _____________ x 称为解释变量, ______ y 称为预报变量, _____ e 称 示,这里 ____ 0 σ2 为随机误差,E(e)=_______ ,D(e)=__________.

第三章

3.1

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(2)随机误差及其产生的原因

从散点图中我们可以看到,样本点散布在某一条直线附
近,而不是在一条直线上,所以不能用一次函数y=bx+a来描 述它们之间的关系,我们用下面的线性回归模型来表示: y = bx+a+e,其中a、b为模型的未知数,e称为随机误差.产生随 机误差的主要原因有以下3个方面: ①用线性回归模型近似真实模型 ( 真实模型是客观存在 的,通常我们并不知道真实模型是什么)所引起的误差.可能存 在非线性的函数能更好地描述y与x之间的关系,但是现在却用

线性函数来表述这种关系,结果会产生误差.这种由模型近似
所引起的误差包含在e中.
第三章 3.1

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②忽略了某些因素的影响.影响变量y的因素不只变量x,
可能还包括其他许多因素 ( 例如在描述身高和体重关系的模型 中,体重不仅受身高的影响,还会受遗传基因、饮食习惯、生 长环境等其他因素的影响),它们的影响都体现在e中. ③观测误差.由于测量工具等原因,导致 y 的观测值产生

误差(比如一个人的体重是确定的数,但由于测量工具的影响和
测量人技术的影响可能会得到不同的观测值,与真实值之间存 在误差),这样的误差也包含在e中.

第三章

3.1

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5.残差 对于样本点(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn),其回归方程
? ?y=bx+a+e ^ ^ ^ ^ 为y=bx+a,用y作为回归模型? 2 ? ?E?e?=0,D?e?=σ

中 bx+a 的

^x -a ^ ^ y - b i i 估计值,随机误差 ei=yi-bxi-a 的估计值ei=__________ (i=

1,2,…,n),称为相应于点(xi,yi)的残差. 6.残差图

残差 样本编号 或身高数据,或体重 以__________ 为纵坐标,__________(
的估计值等)为横坐标作出的图形,称为残差图.
第三章 3.1

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7.残差分析 (1)在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略 判断它们是否线性相关,是否可以用线性回归模型来拟合数 ^ 据,然后,通过残差 ________________ 来判断模型拟合的效 e ,^ e ,…,^ e
1 2 n

果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称
为残差分析.

第三章

3.1

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水平的带状 (2)在残差图中,如果残差点比较均匀地落在____________ 区域 中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度 ______
越高 ,回归方程的预报精度也 越窄,说明模型拟合精度 _______ 越高 . ________

如果图中有某个样本点的残差比较大,需要确认在采集这
个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误, 就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数 据采集没有错误,则需要寻找其他的原因.

第三章

3.1

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8. 正确理解预报变量的变化与解释变量和随机误差的关系 预报变量的变化程度可以分解为解释变量引起的变化程度 ^x 与随机误差 e 的变化程度之和.为了衡量回归直线方程 ^ y =b ^的拟合效果, +a 作残差^ ei=yi-^ yi 其中(xi, yi)为观测到的样本点, ^ ^x +a ^是由回归模型得到的值,残差图的带状区域越窄,模 yi=b i 型的拟合精度就越高,由回归方程作出的预报精度就越高.模 型的拟合效果,通过相关指数 R2 来刻画.

第三章

3.1

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在线性回归模型中, R2 表示解释变量对预报变量变化的
__________ 贡献率 . R2 越接近于 1 ,表示解释变量和预报变量的线性 相关性越强;反之,R2越小,说明随机误差对预报变量的效应 越大.
∑i=1 ?yi- y ? R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合 相关指数 R2 的计算公式是 R2=1- ∑i=1 ?yi-^ y i? 2
n n 2

.

好 效果(即回归效果)越__________ . 在 含 有 一 个 解 释 变 量 的 线 性 模 型 中 , R2 恰 好 等 于 相关系数r _____________ 的平方.
第三章 3.1

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牛刀小试 1.设有一个回归方程为y=2-2.5x,当变量 x 增加一个单 位时( ) A.y 平均增加 2.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 2.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位
[答案] C
^=-2.5 可知, [解析] 由回归方程的系数b x 每增加一个单 位,则 y 平均减少 2.5 个单位.
第三章 3.1
^

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2 .为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两
位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用线性回归 方法,求得回归直线分别为l1和l2,已知两个人在试验中发现对 变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值 都是t,那么下列说法正确的是( )

A.l1和l2有交点(s,t)
B.l1与l2相关,但交点不一定是(s,t) C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合

第三章

3.1

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[答案] A [解析] 由题意知(s,t)是甲、乙两位同学所做试验的样本 点的中心,而线性回归直线恒过样本点的中心,故选A.

第三章

3.1

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3 . (2014· 天门市调研 ) 下图是根据变量 x 、 y 的观测数据
(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的散点图,由这些散点图可以判断 变量x、y具有相关关系的图是( )

A.①② C.②③

B.①④ D.③④

第三章

3.1

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[答案] D [解析] 根据散点图中点的分布情况,可判断③④中的变 量x,y具有相关的关系.

第三章

3.1

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4.已知线性回归方程^ y=0.75x+0.7,则 x=11 时,y 的估 计值是________.

[答案] 8.95

[解析] 将 x=11 代入^ y=0.75x+0.7,求得^ y=8.25+0.7= 8.95.

第三章

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典例探究学案

第三章

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变量间的相关性检验
关于两个变量 x 和 y 的 7 组数据如下表所示: x y 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325

试判断 y 与 x 是否线性相关.

第三章

3.1

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[解析]

1 - x =7(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4,

1 - y =7(7+11+21+24+66+115+325)≈81.3,
2 2 2 2 2 2 2 2 x = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 32 + 35 =5414, ?i i =1 7

?x iyi = 21×7 + 23×11 + 25×21 + 27×24 + 29×66 +
i =1

7

32×115+35×325=18542.
2 2 2 2 2 2 2 ?y 2 i =7 +11 +21 +24 +66 +115 +325 =124393, i =1 7

第三章

3.1

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x- y ?xiyi-7-
i=1

7

∴r=
7 2 2 - ? xi -7 x ?? yi2-7- y 2? i=1 i=1

?

7

?

18542-7×27.4×81.3 = ?5414-7×27.42?×?124393-7×81.32? 2948.66 ≈3520.92=0.8639. 由于 r=0.8639>0.75,∴x 与 y 具有线性相关关系.

第三章

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[方法规律总结 ]

变量间是否具有线性相关关系,可通过

散点图或相关系数作出判断,散点图只是粗略作出判断,用相 关系数能够较准确的判断相关的程度.

第三章

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现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与 入学后的第一次考试数学成绩(y),数据如下表: 学生号 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71

请问:这10个学生的两次数学考虑成绩是否具有显著性的

线性相关关系?

第三章

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[解析]

1 - x =10(120+108+…+99+108)=107.8,

1 - y =10(84+64+…+57+71)=68,
2 2 2 2 ∑x2 = 120 + 108 + … + 99 + 108 =116584, i 2 2 2 2 ∑y2 i =84 +64 +…+57 +71 =47384,

∑xiyi=120×84+108×64+…+108×71=73796,

第三章

3.1

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所以,相关系数为 73796-10×107.8×68 r= ?116584-10×107.82??47384-10×682? ≈0.7506, 由 0.7506>0.75 知, 两次数学考试成绩有显著性的线性相关 关系.

第三章

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求回归直线方程
炼钢是一个氧化降碳的过程, 钢水含碳量的多少 直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的 关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量 x 与冶炼时 间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据,如下表.

x (0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125

第三章

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(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的

关系吗?
(2)求回归直线方程; (3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多长时间?
[分析] 求回归方程前先画散点图,由散点图判断 y 与 x ^,得回 是否线性相关,若线性相关,根据公式求回归系数b,a 归直线方程,并根据回归直线方程进行预测.
^

第三章

3.1

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[解析]

(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散

点图如图.从图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即含
碳量与冶炼时间线性相关.

第三章

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^ ^ (2)根据表中数据及a,b的计算公式得:

^≈-30.51. b≈1.267,a 所以所求的回归直线方程为^ y=1.267x-30.51. (3)当 x=160 时,^ y=1.267×160-30.51≈172(min),即大 约冶炼 172min.

^

第三章

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[方法规律总结] 1.求回归直线方程的一般步骤 (1)作出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中 描点, 观察点的分布是否呈条状分布, 即是否在一条直线附近, 从而判断两变量是否具有线性相关关系. ^、b ^,写出 (2)当两变量具有线性相关关系时,求回归系数a 回归直线方程.

第三章

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^ ^ ^ ^ 2. 回归直线方程y=a+bx 中的b表示 x 每增加 1 个单位时,

^ ^. y的变化量的估计值为b
^ ^ ^ 可以利用回归直线方程y=a+bx 预报在 x 取某个值时 y 的

估计值.
^ ^ 由于回归直线中的系数a和b是通过样本估计而来的,存在

着误差,这种误差可能导致预报结果有偏差.

第三章

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(2013· 河南安阳中学高二期末)观察两个相关变量得到如下 数据: x -1 -2 -3 -4 -5 5 ) 4 4.1 3 2.9 2 2.1 1 0.9

y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 则两个变量间的回归直线方程为( A.^ y=0.5x-1 C.^ y=2x+0.3 B.^ y =x D.^ y=x+1

[答案] B
第三章 3.1

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[解析] y ),∴选 B.

x =0, y =0,因为回归直线过样本点的中心( x ,

[点评]

^ ^ 求回归直线方程,关键在于正确地求出 a,b,由

^ ^ 于a,b的计算量较大,计算时要仔细谨慎、分层进行,避免计

算失误.

第三章

3.1

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∑i=1xiyi-n x y 1 1.求b的值时利用公式b= n ,其中 x =n(x1 2 2 ∑i=1xi -n x
^ ^ n 1 +x2+…+xn),y =n(y1+y2+…+yn),∑i=1xiyi=x1y1+x2y2+… ^ 2 2 2 2 ^ +xnyn,∑i=1xi =x1+x2+…+xn.再由a= y -b n

n

^的值,并 x 求出a

写出回归直线方程.
^ ^ 2.回归直线中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来的,

存在着误差,这种误差可能导致预报结果有偏差.

第三章

3.1

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^ ^ ^ ^ 3. 回归直线方程y=a+bx 中的b表示 x 每增加 1 个单位时, ^ ^ ^表示^ y的变化量为b,而a y不随 x 的变化而变化的量. ^ ^ ^ 4. 可以利用回归直线方程y=a+bx 预报在 x 取某个值时 y

的估计值.

第三章

3.1

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线性回归分析
假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修 费用 y(万元),有如下表的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知,y 与 x 呈线性相关关系.
^ ^ ^ ^ ^ 试求:(1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a、b;

(2)求残差平方和; (3)求相关指数 R2; (4)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?
第三章 3.1

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[分析 ]
计算.

∵y 与x 呈线性相关关系,用线性相关的公式分别

[解析] (1)由已知条件制成下表:

i xi yi xiyi x2 i

1 2 2.2 4.4 4

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

n 2 x =4; y =5; xi =90; xiyi=112.3 i=1 i=1

?

n

?

第三章

3.1

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112.3-5×4×5 12.3 于是有b= = 10 =1.23, 90-5×42
^ ^ ^ a= y -b x =5-1.23×4=0.08.

∴^ y=1.23x+0.08. (2)由公式^ y1=1.23×2+0.08=2.54,得: ^ y2=1.23×3+0.08=3.77, ^ y3=1.23×4+0.08=5, ^ y4=1.23×5+0.08=6.23, ^ y5=1.23×6+0.08=7.46,
第三章 3.1

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∴^ e1=2.2-2.54=-0.34, ^ e2=3.8-3.77=0.03, ^ e3=5.5-5=0.5, ^ e4=6.5-6.23=0.27, ^ e5=7.0-7.46=-0.46. ∴残差平方和为 ( - 0.34)2 + 0.032 + 0.52 + 0.272 + ( - 0.46)2 =0.651.

第三章

3.1

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(3)R =1-

2

0.651

? ? y i- y ? 2
i=1

5

0.651 =1- ?-2.8?2+?-1.2?2+0.52+1.52+22 0.651 =1-15.78≈0.9587. (4)回归直线方程为^ y=1.23x+0.08, 当 x=10 年时,^ y=1.23×10+0.08=12.38(万元). 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元.
第三章 3.1

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[方法规律总结] 1.建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是 预报变量; (2)随机抽取样本点,画出确定好的解释变量和预报变量的 散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等); (3)由经验确定回归方程的类型 (如我们观察到数据呈线性
^ ^ ^ ); 关系,则选用线性回归方程 y=bx+a

第三章

3.1

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(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法); (5) 得出结果后分析残差图是否有异常 ( 个别数据对应残差 过大,或残差呈现不随机的规律性等等);若存在异常,则检查 数据是否有误,或模型是否合适等,再重新求得回归方程.

(6)用回归方程作出预报.

第三章

3.1

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2.比较拟合效果的基本步骤 (1)对于给定的样本点(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn),分 别选取两个拟合模型,求出相应的回归方程分别计算其相关指 数R2,R2大的模型拟合效果更好.

(2)残差平方和越小,预报精确度越高.

第三章

3.1

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为研究重量 x(单位:克)对弹簧长度 y(单位:厘米)的影响, 对不同重量的 6 个物体进行测量,数据如下表所示: x y 5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.9 30 11.8

(1)作出散点图,并求线性回归方程: (2)求相关指数 R2,并判断模型的拟合效果; (3)进行残差分析.

第三章

3.1

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[解析] (1)散点图如下图所示:

第三章

3.1

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1 - x =6×(5+10+15+20+25+30)=17.5, 1 - y =6×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8) ≈9.487,
6 2 ∑i=1xi =2275,∑i=1xiyi=1076.2. 6

^≈0.183,a ^≈6.285. 计算,得b 所以所求线性回归方程为^ y=6.285+0.183x.

第三章

3.1

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(2)列表如下: yi - ^ yi 0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025 0.41 1.41 2.31

y i- - y -2.24 -1.37 -0.54 ∑i=1
6

6 2 ^ (yi-yi) ≈0.01318,∑i=1 (yi-- y )2≈14.6781. 2

0.01318 所以 R ≈1-14.6784≈0.9991, 所以回归模型的的拟合效果较好.

第三章

3.1

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(3)由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15 的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较 高,由以上分析可知,弹簧长度与拉力成线性关系.由残差表 中的数值可以看出第 3个样本点的残差比较大,需要确认在采

集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正
数据,重新建立回归模型.

第三章

3.1

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非线性回归问题*
有一测量水流的实验装置——量水堰, 测得试验 数据如下表: i 水高 h(厘米) 1 0.7 2 1.1 3 4 5 6 7 2.5 4.9 8.1 10.2 13.5

流量 Q(升/分) 0.082 0.25 1.8 11.2 37.8 66.5 134 根据表中数据,建立 Q 与 h 之间的回归方程.

第三章

3.1

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[分析 ]

作散点图,观察确定y与x 的近似函数关系,作变

量替换,列出新的对应值表求出对应的线性回归方程,再作变 量替换得回归方程. [解析] 根据测得数据作出散点图,如图,根据已有的函 数知识,可以发现样本点分布在某一条幂函数型曲线Q=

αhβ(α 、 β 是待定的正常数 )①的周围.为此将 Q = αhβ 两边取对
数,得到lgQ=βlgh+lgα②,令lgQ=y,lgh=x,于是②式可化 为y=βx+lgα.这样y就是x的线性函数了.可以利用线性回归模 型来建立y和x之间的线性回归方程y=bx+a(β=b,lgα=a)了.

第三章

3.1

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第三章

3.1

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i 1 2 3 4 5 6 7 ∑

hi 0.7 1.1 2.5 4.9 8.1 10.2 13.5

Qi 0.082 0.25 1.8 11.2 37.8 66.5 134

xi=lghi -0.1549 0.0414 0.3979 0.6902 0.9085 1.0086 1.1303 ∑i=1xi =4.022
7

yi=lgQi -1.0862 -0.6021 0.2553 1.0492 1.5740 1.8228 2.1271 ∑i=1yi =5.1401
7

x2 i 0.024 0.0017 0.1583 0.4764 0.8254 1.0173 1.2776 ∑i=1x2 i =3.7807
7

xiyi 0.1683 -0.0249 0.1016 0.7242 1.4300 1.8385 2.4043 ∑i=1xiyi =6.642
7

先作出上面数据表,由表得到 β ≈2.5097,lgα≈-0.7077, 则 α≈0.1960.于是所得的回归方程为 Q=0.193h2.5097.
第三章 3.1

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[ 方法规律总结 ]

1. 在建立经验公式时,选择合适的函数

类型是十分重要的.通常是根据实验数据,画出散点图,从中 观察其变化规律,并与已知函数的图象对比,看接近于什么函 数,根据实践经验来决定选取公式的类型,所选的类型是否符 合实际,还需要通过实践来检验.有时候还需要选择不同的模

拟函数作比较.
2 .如果观察散点图,发现点的分布不呈条状分布,而是 与某种曲线相近,这时可选择这条曲线对应的函数作为拟合函 数,作恰当变换,转化为线性函数,用线性回归模型求解.

第三章

3.1

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例如: 1 b ①反比例函数 y=a+x 可作变换 t=x ,得 y=a+bt. ②幂函数型 y=axb(a>0)可作变换 Y=lny,m=lna,t=lnx, 则有 Y=m+bt. ③指数型函数 y=kabx(a>0 且 a≠1,k>0)可作变换 Y=lny, m=lnk,则有:Y=m+(blna)x

第三章

3.1

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在试验中得到变量 y 与 x 的数据如下表: x y 0.0667 39.4 0.0388 42.9 0.0333 41.0 0.0273 43.1 0.0225 49.2

1 由经验知,y 与x 之间具有线性相关关系,试求 y 与 x 之间 的回归曲线方程,当 x0=0.038 时,预测 y0 的值.

第三章

3.1

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1 [解析] 令 u=x ,由题目所给数据可得下表所示的数据; 序号 1 2 3 4 5 合计 ui 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 151.8 yi 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 215.6 u2 i 225 665.64 900 1339.56 1971.36 5101.56 uiyi 591 1106.82 1230 1577.46 2184.48 6689.76

第三章

3.1

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^=34.32. 计算得b=0.29,a ∴^ y=34.32+0.29u. 0.29 ^ 所求回归曲线方程为y=34.32+ x . 0.29 ^ 当 x0=0.038 时,y0=34.32+0.038≈41.95.

^

第三章

3.1

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必须在两变量线性相关的条件下,才能用最小二乘法求回 归直线方程 在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点数值 如下表: x y 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1

试建立 y 与 x 之间的回归方程.

第三章

3.1

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0.25+0.5+1+2+4 [错解] ∵ x = =1.55; 5 16+12+5+2+1 y= =7.2, 5

?xiyi=0.25×16+0.5×12+1×5+2×2+4×1=23.
i =1 2 2 2 2 2 2 x = 0.25 + 0.5 + 1 + 2 + 4 =21.3125. ?i i =1 2 2 2 2 2 ?y2 i =16 +12 +5 +2 +1 =430. i =1 5 5

5

第三章

3.1

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?xiyi-5 x y
^= ∴b
i=1 5 2 - 5 x ?x2 i i=1

5

23-5×1.55×7.2 = 21.3125-5×1.552

=-3.5269≈-3.53. ^ = y -b ^ x =7.2+3.53×1.55≈12.67. a ∴^ y=12.67-3.53x.

第三章

3.1

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[辨析]

此题解法是错误的,原因是这两个变量之间不是

线性相关关系.此类问题的解决,应先对两个变量间的相关关

系进行相关性检验,然后结合作出的散点图,选择适宜的回归
方程. [正解] 由数值表可作散点图如图所示:

第三章

3.1

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k 根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系, 设 y=x, 1 令 t= x,则 y=kt,原数据变为: t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1

第三章

3.1

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由置换后的数值表作散点如图所示:

第三章

3.1

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由散点图可以看出 y 与 t 呈近似的线性相关关系.列表如 下: i 1 2 3 4 5 ∑ ti 4 2 1 0.5 0.25 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 tiyi 64 24 5 1 0.25 t2 i 16 4 1 0.25 0.0625 y2 i 256 144 25 4 1

94.25 21.3125 430

第三章

3.1

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所以 t =1.55, y =7.2,

?tiyi-5 t y
^= 所以b
i=1 2 2 Σ t - 5 t i=1 i 5

5

≈4.1344.

^ = y -b ^ a

t ≈0.8.

所以^ y=4.1344t+0.8. 4.1344 ^ 所以 y 与 x 的回归方程是y= x +0.8.

第三章

3.1

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巩固提高学案
(点此链接)

第三章

3.1

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备选练习
(点此链接)

第三章

3.1


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