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广东省韶关市2015届高三调研考试数学【理】试题及答案


2015 届高三年级调研测试 数 学(理 科)

本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:

1. 棱锥的体积公式: V ?

1 sh , s 是棱锥底面积, h 是棱锥的高. 3
?

2. n 个数据 x1 , x2 , x3 ...x

n 的平均数为 x ,这组数据的方差:
? ? ? 1 2 2 2 S 2 ? [ (x ?? (x 1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ( 3x ? x ) ? ? ? n n ? 2 ? x) ]

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. . 已知集合 P ? ?x | ( x ? 3)( x ? 6) ? 0, x ? Z? ,Q ? ?5,7? , 下列结论成立的是 A. Q ? P B. P Q ? P C. P Q ? Q D. P ( )

Q ? ?5?

2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? A.第一象限

(2 ? i) 在复平面对应点 Z 在( ) i B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限


3. 设 x ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b ,则 a + b ? (

11 C. B. 2 3 4 4. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin(? ? 2? ) ? 5 24 24 12 12 B. A. ? C. D. ? 25 25 25 25
A. 10

B.

D.

13

5. 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函 ( ) A. f ( x) ? cos x C. f ( x) ? lg x B. f ( x ) ? D. f ( x) ?





1 x

e x ? e? x 2

m]

x2 y 2 6. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作垂直于 x 轴 a b
交双曲线的渐近线于 A, B 两点,若 ?OAB ( O 为坐标原点)是等

的直线,

边 三 角

形,则双曲线的离心率为 ( A.

) C. 3 D. 2

3 3

B.

2 3 3

7. 如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的 侧面积为( ) A. 2 B. 6 C. 2( 2 ? 3) D. 2( 2 ? 3) ? 2
1 1

2 2

8. 记 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,函数 f ( x) ?

正(主)视图 ax 1 ? , ( a >0 且 a ? 1) 1? ax 2

侧(左)视图

在 x ? 0 时恒有 ? f ( x)? ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. 0 ? a ? 1


2

1 C. a ? 2

1 D. 0 ? a ? 2

俯视图

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 数列 ?an ? 满足 an?1 ? 3an , n ? N ,且前 3 项之和等于 13 ,则该数列的通项公式 an ?
*

10. ( x ?
2

1 x
3

)5 展开式中的常数项为________________(具体数字作答).

?2 x ? y ≥ 4, ? 11. 已知 x , y 满足 ? x ? y ≥ ?1, 则 z ? x ? y 的最小值 ? x ? 2 y ≤ 2. ?

___________.

12. 若不等式 x ?1 ? x ? 3 ? a 解集是空集,则实数 a 的取值范围是_________. 13. 在平面直角坐标系中,有一个以 O 为顶点,边长为 1 的正方形 OABC ,其中 A(1,0), B(1,1) ,曲线

y ? x 与 y ? x 在正方形内围成一小片阴影,在正方形内任取一点 M ( x, y) ,则点 M 取自阴影部分
2

1 2

的概率为________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 上的动点 P 到直线
2

??

?
3

( ? ? R ) 的距离最小值是

C

.
A D

E

15. (几何证明选讲选做题)如图,在半圆 O 中, C 是圆 O 上一点,直径 AB

? CD ,垂足为 D , DE ? BC ,垂足为 E ,若 AB ? 6 , AD ? 1 ,则

O

B

CE ? BC ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

2? ) ? 3 sin 2 x 3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2)设 ?ABC 的三内角分别是 A、B、C. 若 f (

C 1 ) ? ? ,且 AC ? 1, BC ? 3 ,求 sin A 的值. 2 2

17. (本小题满分 12 分) 某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神,落实“生 命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念,学校特组织“踢毽球”大赛,某班为了选出 一人参加比赛, 对班上甲乙两位同学进行了 8 次测试, 且每次测试之间是相互独立.成绩如下: (单位: 个/分钟)
甲 乙 80 82 81 93 93 70 72 84 88 77 75 87 83 78 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据 (2)从统计学的角度考虑,你认为选派那位学生参加比赛合适,请说明理由? (3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩高于 79 个/ 分钟的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . (参考数据: 2 ? 1 ? 11 ? 10 ? 6 ? 7 ? 1 ? 2 ? 316 , 0 ? 11 ? 12 ? 2 ? 5 ? 5 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

42 ? 32 ? 344 )

18. (本小题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, ABEF 是矩形,平面 ABCD ? 平面 ABEF , G 为 EC 的中 点. D (1)求证: AC //平面 BFG ; (2)若三棱锥 C ? DGB 的体积为

C

9 ,求二面角 E ? BF ? G 的正切值. 4
G A B

F

E

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)求证:数列 {

1 * , an?1an ? 2an?1 ? 1 ? 0 , n ? N . 2

1 } 是等差数列; an ? 1

a a a n2 (2)求证: ? 1? 2? 3 n ? 1 a2 a3 a4

?

an ?n. an?1

20.(本小题满分 14 分) 设 A 、 B 是焦距为 2 3 的椭圆 C1 : x ?
2

y2 ? 1(a ? 1) 的左、右顶点,曲线 C2 上的动点 P 满足 a2

kAP ? kBP ? a ,其中, k AP 和 k BP 是分别直线 AP 、 BP 的斜率.
(1)求曲线 C2 的方程; (2)直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M , N 两点,若以线段 MN 为直径的圆 过点 B ,求直线 MN 的方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ?

1 ,a?R ; x

(1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若 h( x) 在定义域内存在极值,求 a 的取值范围;
' (2)设 f ( x) 是 f ( x ) 的导函数,若 0 ? x1 ? x2 , a ? 0 , f ?(t ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

( x1 ? t ? x2 ) ,求证: t ?

x1 ? x2 . 2

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