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2015新课标高中数学 数列专题复习 学生版 一轮二轮复习资料


2015 高中数学专项突破

龙冬

数列
数列的概念和表示法
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个位置的叫第 2 项,……, 序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,……, an ,……,简记作 么这个公式就叫这个数列的通项公式

?an ? 。

(2)通项公式的定义:如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那 说明: ① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看, 数列实质上是定义域为正整数集 N ?(或它的有限子集) 的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……,

f (n) ,…….通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象是一群孤立的点
(4)数列分类: ①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列 (5)递推公式定义: 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 通项公式 an 与求和公式 Sn 的关系可表示为: an ? ?

如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)

?S1 (n ? 1) ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
等比数列 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的比是同一个常数, 那么这个数列 就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。

等差数列与等比数列 等差数列 文 字 定 义 符 号 定 义 分 类 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与 它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列 就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

an?1 ? an ? d
递增数列: d ? 0 递减数列: d ? 0 常数数列: d ? 0

an ?1 ? q(q ? 0) an
递增数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0, 0 ? q ?1 递减数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0, 0 ? q ?1 摆动数列: q ? 0 常数数列: q ? 1

通 项

an ? a1 ? (n ?1)d ? pn ? q ? am ? (n ? m)d 其中 p ? d , q ? a1 ? d

an ? a1qn?1 ? amqn?m ( q ? 0 )

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前 n 项 和 中 项

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? ? pn 2 ? qn 2 2 d d 其中 p ? , q ? a1 ? 2 2

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1

a, b, c成等差的充要条件:2b ? a ? c
等和性:等差数列 ?an ?

a, b, c成等比的必要不充分条件:b2 ? ac
等积性:等比数列 ?an ? 若m?n

主 要 性 质

若m?n

? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq
? 2 p 则 am ? an ? 2a p

? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq
? 2 p 则 am ? an ? (ap )2

推论:若 m ? n

推论:若 m ? n

an?k ? an?k ? 2an
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等 1、等差数列中连续 m 项的和,组成的新数列 是等差数列。即:

an?k ? an?k ? (an )2
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相乘,则积相等



sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 等差,公差为 m2 d 则有 s3m ? 3(s2m ? sm )
2、 从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是 一个等差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3 、 ?an ? ,?bn ? 等 差 , 则 ?a2 n ? , ?a2 n?1? , 1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是 等比数列。 即:sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 等比, 公比为 q 。 2、 从等比数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、 ?an?,?bn? 等比,则 ?a2n ? ,?a2n?1? ,?kan ? 也等比。其中 k ? 0 4、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数, 即: an ? cqn ,其中 c ?
m

?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。 4、等差数列 ?an ? 的通项公式是 n 的一次函数,
它 即: an ? dn ? c ( d ? 0 ) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是一个没有常 数项的 n 的二次函数, 即: Sn ? An2 ? Bn ( d ? 0 ) 5、项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

s奇 n ? s ? s ? an ? a中 s偶 n ? 1 奇 偶


a1 q

s2n?1 ? (2n ?1)an 项数为偶数 2 n 的等差数列有: s奇 a ? n , s偶 ? s奇 ? nd s偶 an?1 s2n ? n(an ? an?1 ) 6、 an ? m, am ? n 则 am?n ? 0 sn ? sm 则 sm?n ? 0(n ? m) sn ? m, sm ? n 则 sm?n ? ?(m ? n)
证明一个数列为等差数列的方法: 1、定义法: an?1 ? an ? d (常数)

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振 幅的 n 的指数函数,即: sn ? cqn ? c(q ? 1) 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。

质 证 明

证明一个数列为等比数列的方法:

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方 法

2、中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2)

1、定义法:

an?1 ? q(常数) an

2 2、中项法: an?1 ? an?1 ? (an) (n ? 2, an ? 0)

设 元 技 巧

三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 1、若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 C
an

a , a, aq或a, aq, aq 2 q 四数等比: a, aq, aq 2 , aq3
三数等比:
d

? ? 是等比数列,公比为 C

,其中 C 是常数,d 是 ?an ?

联 系

的公差。

2、若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 loga q ,其中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。 数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: an ? ?

(n ? 1) ?s1 ?sn ? sn?1 (n ? 2)

2、错项相减法:适用于差比数列(如果 ?an ? 等差, ?bn ? 等比,那么 ?anbn ? 叫做差比 数列)

数列求和的常用方法: 1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。

即把每一项都乘以 ?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减, 转化为等比数列求和。 3、 裂项相消法: 即把每一项都拆成正负两项, 使其正负抵消, 只余有限几项, 可求和。 适用于数列 ? 可裂项为: 等差数列前 n 项和的最值问题:

? 1 ? ? 1 ? ? ? (其中 ?an ? 等差) ?和? a ? a a ? a ? n ? ? n n?1 ? ? n ?1 ?

?

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ( an?1 ? an ) an ? an ?1 d an an ?1 an ? an?1 d

1、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ?

? an ? 0 ; ?an?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最大; 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

2、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ?

? an ? 0 ; ?an?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最小; 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

数列通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

S ,(n ? 1) ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1

?

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f (1), (n ? 1) ? ? 。 an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) , (n ? 2) ? f ( n ? 1) ? ⑶已知条件中既有 Sn 还有 an ,有时先求 Sn ,再求 an ;有时也可直接求 an 。 ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 a a a a ⑸已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 ⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
已知 a1 a2 特别地, (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可 以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an ;形如 an ? kan?1 ? k n 的递 推数列都可以除以 k 得到一个等差数列后,再求 an 。 (2)形如 an ?
n

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

(3)形如 an?1 ? ank 的递推数列都可以用对数法求通项。 (7)数学归纳法。 (8) 当遇到 an ?1 ? an?1 ? d或

an?1 ? q 时, 分奇数项偶数项讨论, 结果可能是分段形式。 an?1

数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。 (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并 在一起,再运用公式法求和。 (3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相 关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公 式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘 构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 n 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1
① 二、解题方法: 求数列通项公式的常用方法: 1、公式法 2、 由S n 求an : an ? ?

(n ? 1) ?s1 ?sn ? sn?1 (n ? 2)

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3、求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? …… ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2
[练习]

?1?

数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ?

5 a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3

4、叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

5、等差型递推公式

由a n ? a n?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法
n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: …… …… ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?

a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? …… ? f ( n)
[练习]

数列?a n ?,a1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n

6、等比型递推公式(待定系数法)

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n?1 ? x? ? a n ? ca n?1 ? ?c ? 1?x d 令 (c ? 1) x ? d,∴x ? c ?1 d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ? d d ? ? n ?1 ∴a n ? ? ? a1 ? ? ·c ? ? c ?1 c ?1 d ? n?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? c ? 1? c ?1
[练习]

?

?

数列?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n

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7、倒数法

2a n ,求a n an ? 2 a ?2 1 1 1 由已知得: ? n ? ? a n ?1 2a n 2 an 1 1 1 ∴ ? ? a n ?1 a n 2 例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a1 2 ?a n ? 1 1 1 ? ? 1 ? ?n ? 1?· ? ?n ? 1? an 2 2 2 ∴a n ? n ?1
数列前 n 项和的常用方法: 1、公式法:等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求?
解: 由

1 k ?1 a k a k ?1

n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?

∴?

n 1 1? 1 1 ? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

求和:1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n

3、错位相减法:

和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项

? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?Sn ? 1 ? x ? x 2 ? …… ? x n?1 ? nx n

如:Sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? …… ? nx n?1 ?1? 2 3 4 x·Sn ? x ? 2x ? 3x ? 4x ? …… ? ?n ? 1?x n?1 ? nx n

?2?

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x

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x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n?n ? 1? 2

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ? ? 2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……
[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x

高考练习(例题)

1. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1).求数列 ?an ? 的通项公式. (2).设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?

2. 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; (II) 求数列

? an ? ? n ?1 ? 的前 n 项和. ?2 ?

3.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

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+

4. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N ) (1)证明:数列{an+1-an }是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式

5. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。

n?1 6. 已知数列 ?an ? 的各项满足: a1 ? 1 ? 3k (k ? R) , an ? 4 ? 3an?1 .

(1) 判断数列 {a n ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

4n } 是否成等比数列; 7

7. 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

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8. 已知等差数列 ?an ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? 1 , a3 ? a7 ? 10 , b3 = a4 (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 (2)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

9. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,

),

) , b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

10.已知等差数列 ?an ? 满足前 2 项的和为 5,前 6 项的和为 3. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
n

(2)设 bn ? (4 ?an ) ? 2 , (n ? N ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。
?

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一、选择题 1. 一个三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列,那么 tan ? A ? C ? 的值是( A. 3 B. ? 3 C. ?



3 D.不确定 3 2. 等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 等于( )

A ?4 B ?6 C ?8 D ? 10 3. 等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比( ) A.-2 B.1 C.-2 或 1 D.2 或-1 4. 等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a 8 等于( ) .

45 D.6 4 5. 等比数列 ?an ? 中, an ? 0 ,a5a6=9,则 log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ??? ? log3 a10 ? ( )
A. B.12 C. A.12 B.10 C.8 D. 2 ? log3 5 ) . 6. 等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn , 若 S4=1,S8=4,则 a13+a14+a15+a16=( A.7 B.16 C.27 D.64 7. 数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A
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45 2

1 n ? n ?1

,则该数列的前( C
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)项之和等于 9 D
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B

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a18 等于( ) a10 3 2 2 3 A. ? 2 或 ? 3 B. C. D. 或 3 3 2 2 3 2 S a 2n 9. 等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 n ? ,则 n = ( ) Tn 3n ? 1 bn 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 A B C D 3 3n ? 4 3n ? 1 3n ? 1 10. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) , 则 S15 ? S 22 ? S 31 的值是( )
8. 在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5,则
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A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 11. 知等差数列 ?a n ?,且 a4 ? a10 ? 12 ? a7 ,则数列 ?a n ?的前 13 项之和为 C A. 24 12. 设各项均不为 0 的数列 ?an ?满足 an?1 ? 2an (n ? 1) ,若 a2 a4 ? 2a5 ,则 a3 ? D A. 2 B.2 C. 2 2 D.4 13. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S3= C A.54 B.68 C.72 D.90 B. 39 C. 52 D. 104

14. 在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2 2 2 2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 15. 已知等比数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 , a12 ? a2 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值是 C

1 4 16. 已知等差数列 ?a n ?,且 a4 ? a10 ? 12 ? a7 ,则数列 ?a n ?的前 13 项之和为 C
A. 2 B. 9 C. 4 D.

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A. 24 B. 39 C. 52 D. 104 17. 公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为 C A.1 B.2 C.3 D.4 18. 已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a 3 , a 2 成等差数列,则 q= A 1 1 A.1 或 ? B. 1 C. ? D.-2 2 2 19. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 A.1 B.-1 C.2

a6 9 S ? ,则 11 =( A S9 a5 11
D.

)

1 2

20. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S3= C A.54 21. 在等比数列 ?an ? 中,若 a1a8a15 ? 64 ,则 a8 ? D A. 16 A.-16 B. 8 中,若 B. 10 C. 16 C. 4 2 22. 正项等比数列 ,则 B.68 C.72 D.90

D. 4 等于 C D.256

23. 已知正项等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得 aman ? 4a1 ,则

1 9 ? 的最小值为 B m n 8 11 A B 3 4

C

14 5

D

17 6
(D)

1 1 1 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a1a4 ? , 24. 等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , ? ? 3 , 则 a3 ? a2 a3 2 A. 64 B. 31 C. 32 D .63
二、填空题

8 15 24 1. 数列 ? 1, ,? , , ?的一个通项公式是 5 7 9 1 1 1 1 2. 数列 1 ? , 2 ? , 3 ? , … , n ? n , … 的前 n 项和是 2 4 8 2 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且对于任意自然数 n,都有 an?1 ? an ? n ,则 a100 =

3n ? 1 a n (n ? 1) , an =_____________ 3n ? 2 2 5. 已知数列的 S n ? n ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________

4. 已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

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6、等差数列{an}中,| a3 | ? | a9 | , 公差 d ? 0 , 那么使前 n 项和 Sn 最大的 n 值为__________ 7. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 3 ? 3 ? 2n ,则 an ? 8. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n ,则 三、解答题 1. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 an
n

?3 ? 2n ?1 ( n ? N * )



an 21 的最小值为____ ______。 2 n

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2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 , 2

an an?1 ? 2an ? an?1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3. 数列 ?an ? 中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?

? | an | ,求 Sn 。

4. 已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 11 , S9 ? 153 , (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设 an ? log2 bn ,证明 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn

5. 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 令 bn

? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 .

n ? an ?3 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和的公式.

6. 在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)令 bn ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

7. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 3 , S15 ? 225 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

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1 n ?1 an 8. 在数列 {an } 中, a1 ? , an?1 ? 3 3n a (1)证明 { n } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; n (2)求 {an } 的前 n 项和 Sn

9. 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。

10. 已知各项均不相等的等差数列{ an }的前四项和为 S4=14,且 a1 , a3 , a7 成等比。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2) 设 Tn 为数列 ? 最小值。

?

1 ? * 求实数 ? 的 ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 ,对一切 n ? N 恒成立, ? an an ?1 ?

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sn?a ?= 2s2a n ?∈ 5 N*) 11. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 且 n+1(n 1 n+1 n ?

(1)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
2 n (2)若 f ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ' (1)

12. 已 知 数 列 {an } 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 点 (n, Sn ) 在 抛 物 线

3 2 1 1 1 x ? x 上;各项都为正数的等比数列 {bn } 满足 b1b3 ? , b5 ? . 2 2 16 32 (I)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; y?
(II)记 Cn ? anbn ,求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn .

1 1 ,公比 q ? 。 3 3 1 ? an (1) S n 为 ?an ? 的前 n 项和,证明: S n ? ; 2 (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ......? log3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式。
13. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ?

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14. 设数列 ?an ? 为单调递增的等差数列, a1 ? 1 ,且 a3 , a6 , a12 依次成等比数列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 an ;
a

(Ⅱ )若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

15. 已知 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 且 a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , {bn } 是等比数列,

S 4 ? b4 ? 10 . (Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;
(Ⅱ) 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn ,n ? N , 证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn( n ? N )
* *

16. 已知数列{ an }满足 a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2

(n ? 2) . (1)证明:数列{ an +2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ;
(2) 若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 (an ? 2) , 设 Tn 是数列 {

3 bn Tn ? } 的前 n 项和. 求证: 2 an ? 2

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17. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 令 bn ? n a g a n? l o 1 n, 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Tn , 求 使 不 等 式
2

Tn ? (n ? 1)(Sn ? 2) ? 43 ? 0 成立的正整数 n 的最小值.

18. 已知 S n 是等比数列 ?a n ?的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的公比 q ; (Ⅱ)证明: a2 , a8 , a5 成等差数列.

19. 数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: Sn ? 2an ? 3n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

1 3 ,数列{ bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 S n ? 3n ? 9

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20. 已知数列 {an } 中, an ? 2 n p ? qn( p, q 为常数) (1)若 p ? q ? 1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2)若 p ? 1 ,问常数 q 如何取值时,使数列 {an } 为等比数列?

21. 已知数列 ?an ?为等差数列, ?an ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? a 3 ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?bn ?满足 a n bn ?

3 , S5 ? 5 2

1 , Tn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? ? ? bn bn ?1 ,求 Tn . 4

1 n ?1 an 。 22. 在数列 {an } 中, a1 ? , an?1 ? 3 3n a (1)证明 { n } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; n (2)求 {an } 的前 n 项和 S
n

23. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* 且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差 数列. (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? . an 2

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24. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? (? ? 1) ? ? an ,其中 ? 是不等于 ?1 和 0 的常数. (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2) 设数列 ?an ? 的公比 q ? f (? ) , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 求数列 ?

1 且n ? 2 ) , , bn ? f (bn ?1 )( n ? N? , 3

?1? ? 的前 n 项和为 Tn . ? bn ?

2 25. 已知函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f (an ? 1) ? 1,且 a1 ? 3 ,

(Ⅰ)设 bn ? log2 (an ? 1) ,证明:数列 ?bn ?为等比数列; (Ⅱ)设 cn ? n?2bn ? 1? ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

an ? 1 .

26.已知数列 {an },(n ? N ) 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m , n( m ? n) 均有:

am ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ?
(1)求 a0 , a2 ;

1 (a ? a 2 n ) . 2 2m
* *

(2)求证:数列 {am?1 ? am }(m ? N ) 是等差数列,并求 an (n ? N ) 的通项; (3)令 cn ? an ? 3n ? 1( n ? N ) ,求证:
*

?c
k ?1

n

1
k

?

3 . 4

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27. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 , 2an ?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ( n ? N* ) . (Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? an ? ? ? n2 ,若 b2 n ?1 ? b2 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2

28. 在数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn ,且 Sn ?

n(n ? 1) . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; a (Ⅱ)设 bn ? n ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,比较 Tn 与 2 的大小. 2n

29. 已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2. (I)求数列{an}, {bn}的通项公式; (II)设 c n ?

2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ? Sn 2

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30. 设 Sn 为 数 列 {an } 的 前

n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N ? 时 , 点 (an , Sn ) 都 在 函 数

1 1 f ( x) ? ? x ? 的图象上。 2 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; 3 (2)设 bn ? log 3 (1 ? 2 S n ) ? 10 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2

31. 已知递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x -7x+10 的两个零点.数列{bn}满足 点(bn,Sn)在直线 y=-x+1 上,其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

2

2 32. 已知函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f (an ? 1) ? 1,且 a1 ? 3 ,

(Ⅰ)设 bn ? log2 (an ? 1) ,证明:数列 ?bn ?为等比数列; (Ⅱ)设 cn ? n?2bn ? 1? ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

an ? 1 .

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33. 记公差不为 0 的等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S3 ? 9, a3 , a5 , a8 成等比数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式 an 和 Sn ; (2)若 cn ? n2 ? ?an , n ? 1,2,3?, 问是否存在实数 ? ,使得数列 ?cn ?为单调递增数列?若 存在,请求出 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由.

34. 已知各项均不相等的等差数列{ an }的前四项和为 S4=14,且 a1 , a3 , a7 成等比。 (1)求数列{ an }的通项公式; (2) 设 Tn 为数列 ? 最小值。

?

1 ? * 求实数 ? 的 ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 ,对一切 n ? N 恒成立, a a ? n n ?1 ?

35. 设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

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36. 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; ﹣ (Ⅱ )设 bn=(4﹣an)qn 1(q≠0,n∈ N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn

37. 等比数列{an}的前 n 项和为 sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 sn.

38. 已知数列{an}的首项 (Ⅰ )证明:数列 (Ⅱ )求数列

, 是等比数列;

,n=1,2,3,….

的前 n 项和 Sn.


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