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2016合肥一模理科数学(含答案)


合肥市 2016 年高三第一次教学质量检测 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟,祝 各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限
? ?

1 (其中 i 是虚数单位,满足 i 2 ? ?1) 对应的点位于( 2?i
B.第二象限
? ?



C.第三象限 ) C.

D.第四象限

2. sin18 ? sin 78 ? cos162 ? cos 78 等于( A. ?

3 2

B. ?

1 2

3 2

D.

1 2

3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取 5 人,记录他们的考试成绩, 得到如右图所示的茎叶图,已知甲班 5 名同学成绩的平均数为 81,乙班 5 名同学的 中位数为 73,则 x ? y 的值为( ) B. ?2 1 4.“ x ? 1”是“ x ? ? 2 ”的( x A.2 C.3 ) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 D. ?3

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 5.执行如下程序框图,则输出结果为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知 l , m, n 为三条不同直线, ? , ? , ? 为三个不同平面,则下列判断正确的是( A .若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C.若 ? ? ? ? l , m / /? , m / / ? ,则 m / /l B.若 m ? ? , n / / ? , ? ? ? ,则 m ? n



D.若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l ? m, l ? n ,则 l ? ?

7. ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 cos A ? ( A.2 ) B.

7 , c ? a ? 2, b ? 3, 则 a 等于 8
D.

5 2

C .3

7 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线相同 , 8. 若双曲线 C1 : 2 8 a b 且双曲线 C2 的焦距为 4 5 ,则 b 等于( )
A .2 B.4 C.6 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. D.8 ) D.8

47 6

B.

15 2

C.

23 3

10.某企业的 4 名职工参加职业技能考核,每名职工均可从 4 个备选考核项目中任意抽取一个 参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为( )

A.

9 16

B.

27 64

C.

81 256

D.

7 16


11.在 A.12

? ( x ? 1)
k ?1

n

k

的展开式中含 x 2 项系数与含 x10 项系数相等,则正整数 n 的取值为( B.13
2 x 2

C.14

D.15

12.函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? a, g ( x) ? 2 ? x ,若 f [ g ( x)] ? 0 对 x ?[0,1] 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( ) A. [?e, ??) B. [? ln 2, ??) C. [?2, ??) D. (? ,0]

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题至第 21 题为必考题,每个考生都必须作答,第 22 题 至第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知集合 A ? {0,1,3}, B ? {x | x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ?
2

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? 15.已知等边 ?ABC 的边长为 2,若 BC ? 3BE, AD ? DC ,则 BD ? AE ? ? 2 2 16. 存在实数 ? , 使得圆面 x ? y ? 4 恰好覆盖函数 y ? sin( x ? ? ) 图象的最高点或最低 k 点共三个,则正数 k 的取值范围是
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? (Ⅰ)求证:数列 ?

1 n ?1 , an?1 ? an , n ? N *. 2 2n

? an ? ? 为等比数列; ?n? (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和.

18(本小题满分 12 分) 某医院对治疗支气管肺炎的两种方案 A, B 进行比较研究 ,将志愿者分为两组 ,分别采用方案 A 和方案 B 进行治疗,统计结果如下: 有效 无效 合计 96 120 使用方案 A 组 72 使用方案 B 组 32 合计 (Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率; (Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?

n(ad ? bc)2 附: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 P( K 2 ? k0) 0.50
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

19(本小题满分 12 分) 四棱锥 E ? ABCD 中 , AD / / BC, AD ? AE ? 2BC ? 2 AB ? 2, AB ? AD , 平面 EAD ? 平 面 ABCD ,点 F 为 DE 的中点. (Ⅰ)求证: CF / / 平面 EAB ; (Ⅱ)若 CF ? AD ,求二面角 D ? CF ? B 的余弦值.

20(本小题满分 12 分) 设 A, B 为抛物线 y ? x 上相异两点,其纵坐标分别为 ?1, 2 ,分别以 A, B 为切点作抛物线的
2

切线 l1 , l2 ,设 l1 , l2 相交于点 P . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ) M 为 A, B 间抛物线段上任意一点,设 PM ? ? PA ? ? PB ,试判断 如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由.

???? ?

??? ?

??? ?

? ? ? 是否为定值,

21(本小题满分 12 分)

x ,其中 e ? 2.71828?是自然对数的底数. 4 ( Ⅰ ) 设 g ( x) ? ( x ? 1) f '( x) ( 其中 f '(x ) 为 f ( x) 的导函数 ), 判断 g ( x) 在 (?1, ??) 上的单调
已知函数 f ( x) ? e 2 ? 性; (Ⅱ)若 F ( x) ? ln( x ? 1) ? af ( x) ? 4 无零点,试确定正数 a 的取值范围.

x

请考生在第 22 题,23 题,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 是圆 O 的直径 , 点 C 在圆 O 上 ( 异于点 A, B) , 连接 BC 并延长至点

D ,使得 BC ? CD ,连接 DA 交圆 O 于点 E ,过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于 点F . (Ⅰ)若 ?DBA ? 60? ,求证:点 E 为 AD 的中点; 1 (Ⅱ)若 CF ? R ,其中 R 为圆 C 的半径,求 ?DBA 2

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴且两坐标 已知直线 l : ? ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2 系 中 具 有 相 同 的 长 度 单 位 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? 2 ? 2 3? sin ? ? a(a ? ?3) (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点,求实数 a 的值.

24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0 ,记 A ?

a ? b, B ? a ? b .

(Ⅰ)求 2 A ? B 的最大值; (Ⅱ)若 ab ? 4, 是否存在 a, b ,使得 A ? B ? 6? 并说明理由.


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