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《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第十二章 离散型随机变量及其分布列


名师伴你行
2016级高考数学一轮复习课件

§12.4 离散型随机变量及其分布列

[高考调研 明确考向] 考纲解读 ?理解取有限个值的离散型 随机变量及其分布列的概 念,了解分布列对于刻画 随机现象的重要性. ?理解超几何分布及其导出 过程,并能进行简单的应 用. 考情分析 ?分布列的求法单独命题较 少,多与期望与方差的求

法相结合. ?常在解答题中考查,难度 中低档.

知识梳理 1.离散型随机变量的分布列 1 ______来表示,那 如果随机试验的结果可以用一个 □ 么这样的变量叫做随机变量;按一定次序一一列出,这样的 2 __________________. 随机变量叫做□

2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1, x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P =(X=xi)=pi,则表 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

3 ____________,简称为X的 称为离散型随机变量X的 □ 4 ________.有时为了表达简单,也用等式□ 5 __________表 □ 示X的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0,i=1,2,…,n; ② ?pi=1.
i=1 n

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布: 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为 X P 0 1-p 1 p

6 __________称为成功概率. ,其中p=□

(2)超几何分布列: 在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中含有X
k n-k CM CN-M 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为:P(X=k)= Cn N

(k=0,1,2,…,m),其中m=

7 □

____________,且

8 □

______________,则称分布列为超几何分布列.

X P

0
n-0 C0 · C M N-M Cn N

1
n -1 C1 C M N-M Cn N

… …

m
n-m Cm C M N-M Cn N

1 变量 答案: □

2 离散型随机变量 □ 3 概率分布列 □

4 分布列 □ 5 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n □ 6 P(X=1) □ 7 min{M,n} □ 8 n≤N,M≤N,n、M、N∈N* □

名师微博 ●一类表格 统计就是通过采集数据,用图表或其他方法去处理数 据,利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策,而离 散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格.第一 行数据是随机变量的取值,把试验的所有结果进行分类,分 为若干个事件,随机变量的取值,就是这些事件的代码;第 二行数据是第一行数据代表事件的概率,利用离散型随机变 量的分布列,很容易求出其期望和方差等特征值.

●两条性质 ①第二行数据中的数都在(0,1)内;②第二行所有数的和 等于1. ●三种方法 ①由统计数据得到离散型随机变量分布列;②由古典概 型求出离散型随机变量分布列;③由互斥事件、独立事件的 概率求出离散型随机变量分布列.

基础自测 1.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的 随机试验结果是( A.2颗都是4点 B.1颗1点,另1颗3点 C.2颗都是2点 D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点 )

解析:由于抛掷1颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6 这6种情况之一,而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和, 所以X=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是:1颗是1点, 另1颗是3点,或者2颗都是2点,故选D.

答案:D

2.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个 号码,不放回地任意抽取两个球,设两个球号码之和为X, 则X的所有可能取值个数为( A.25 B.10 ) C.7 D.6

解析:X的可能取值为 1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2, 2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.

答案:C

i 3.若随机变量X的分布列为P(X=i)= 2a (i=1,2,3),则 P(X=2)=( 1 A.9 1 B.6 ) 1 C.3 1 D.4

1 2 3 解析:由分布列的性质得2a+2a+2a=1, 2 1 ∴a=3,P(X=2)=2a=3.

答案:C

4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所 选3人中女生人数不超过1人的概率是__________.

解析:设所选女生人数为x,则x服从超几何分布, 其中N=6,M=2,n=3,则
3 1 2 C0 C C 4 2 4 2C4 P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)= 3 + 3 = . C6 C6 5

4 答案: 5

1 1 5.若ξ是离散型随机变量,P(ξ=x1)= 3 ,P(ξ=x2)= 3 且 x1<x2,又已知E(ξ)= __________. 4 3 ,D(ξ)= 2 9 ,则x1+x2的值为

4 2 1 4 解析:由E(ξ)=3,得3x1+3x2=3.① 2 由D(ξ)=9,得
? 4?2 2 ? 4?2 1 2 ?x1- ? × +?x2- ? × = .② 3? 3 ? 3? 3 9 ?

解由①②组成的方程组,得x1=1,x2=2. 所以x1+x2=3.

答案:3

考点一

离散型随机变量分布列的性质

[例1] 设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列.

解析:由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, ∴m=0.3. 首先列表为: X 2X+1 |X-1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3

从而由上表得两个分布列为:

(1)2X+1的分布列: 2X+1 P 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3

(2)|X-1|的分布列: |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

方法点睛

①利用分布列中各概率之和为1可求参数的

值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.②若 X是随机变量,则2X+1,|X-1|等仍然是随机变量,求它们 的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据对应的概率写 出分布列.

变式训练1 (1)随机变量ξ的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c

其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)=__________. (2)设随机变量Y的分布列为: Y P -1 1 4 2 m 3 1 4

1 3 7 则事件“Y≤ ”和“ ≤Y≤ ”的概率为__________. 2 2 2

解析:(1)2b=a+c,又a+b+c=1, 1 2 ∴b= ,a+c= . 3 3 1 1 1 (2)∵4+m+4=1,∴m=2.
? 1? 1 ? ? ∴P Y≤2 =P(Y=-1)=4, ? ? ?3 7? 3 P?2≤Y≤2?=P(Y=2)+P(Y=3)=4. ? ?

2 1 3 答案:(1)3 (2)4和4

考点二

求离散型随机变量的分布列

[例2]

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一

2 件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 3 .现 有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.

(1)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率; (2)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分 布列; (3)随机选取3件产品,求这3件产品都不能通过检测的概 率.

解析:(1)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A,事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等 品通过检测”, 6 4 2 13 ∴P(A)=10+10×3=15. (2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.
3 0 2 1 C4 C6 1 C4 C6 3 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 30 C10 10 1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C6 1 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = . C10 2 C10 6

∴X的分布列如下: X P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B, 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过 检测”, 1 ? 1? 3 1 ? ? = 所以,P(B)=30· . 3 810 ? ?

方法点睛

求离散型随机变量分布列的步骤:①找出随

机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n);②求出各取值 的概率P(X=xi)=Pi;③列成表格并用分布列的性质检验所 求的分布列或某事件的概率是否正确.

变式训练2

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各两个,

从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每 个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的 最大数字,求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X的分布列; (3)计分介于20分到40分之间的概率.

解析:(1)方法一:“一次取出的3个小球上的数字互不
1 1 1 C3 2 5C2C2C2 相同”的事件记为A,则P(A)= C3 =3. 10

方法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的 事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事 件记为B,则事件A和事件B是对立事件.
1 2 1 C5 C2C8 1 因为P(B)= = , 3 C10 3

1 2 所以P(A)=1-P(B)=1- = . 3 3

(2)由题意,X所有可能的取值为2,3,4,5.
2 1 2 C2 C2+C1 1 2C2 P(X=2)= = ; 3 C10 30 2 1 2 C4 C2+C1 C 2 4 2 P(X=3)= = ; 3 C10 15 2 1 2 C6 C2+C1 C 3 6 2 P(X=4)= = ; 3 C10 10 2 1 2 C8 C2+C1 8 8C2 P(X=5)= = ; 3 C10 15

所以随机变量X的概率分布列为: X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15

(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记 2 3 为C,则P(C)=P(X=3或X=4)=P(X=3)+P(X=4)= 15 + 10 13 = . 30

考点三

超几何分布

[例3]

一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从

7 袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是9. (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随 机变量X的分布列.

解析:(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白 球”为事件A,设袋中白球的个数为x.
2 C10 7 -x 则P(A)=1- C2 =9,解之得x=5.故白球有5个. 10

(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,
k 3-k C5 C5 其中P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10

于是可得其分布列为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

方法点睛

①对于服从某些特殊分布的随机变量,其分

布列可以直接应用公式给出.②超几何分布描述的是不放回 抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取 值的概率实质上是古典概型.

变式训练3

某校高三年级某班的数学课外活动小组中

有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中的男生人数,求X的分布列.

解析:依题意随机变量X服从超几何分布,
k 4 -k C6 C4 ∴P(X=k)= 4 (k=0,1,2,3,4). C10 0 4 1 3 C6 C4 1 C6 C4 4 ∴P(X=0)= 4 = ,P(X=1)= 4 = , C10 210 C10 35 2 2 3 1 C6 C4 3 C6 C4 8 P(X=2)= C4 =7,P(X=3)= C4 =21, 10 10 4 0 C6 C4 1 P(X=4)= C4 =14. 10

∴X的分布列为: X P 0 1 210 1 4 35 2 3 7 3 8 21 4 1 14

易错矫正(三十五) [试题]

对随机变量理解不清致误

(2011· 山东,12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队

队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一 盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假 设各盘比赛结果相互独立.

(1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学 期望E(ξ). 错解:设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的 事件为F,则P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)=0.4,

(2)由题意知ξ=1,2,3 P(ξ=1)=P(DEF)+P( D E F )+P(DEF)=0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.15. ∴P(ξ=2)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.5. ∴ξ分布列为: ξ P 1 0.35 2 0.5 3 0.15

∴E(ξ)=1×0.35+2×0.5+3×0.15=3.95.

错因:上述解答中出现的错误点有: (1)第(1)中至少两人获胜,理解为只有两人获胜忽视了 三人获胜也满足. (2)第(2)中ξ的理解不深.红队队员获胜的盘数认为最少 胜一盘所以ξ误取1,2,3而导致错误;还有求P(ξ=2)时利用了 对立事件,由于ξ取值错误,P(ξ=2)求时应为P(ξ=2)=1- P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3).实质上P(ξ=2)的求法可分类去 求,即P(ξ=2)=P( D EF)+P(DEF)+P(DE F ),这样利用分 布列的性质进行检验时可查出错误避免失误.

正解:(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜 C的事件为F,则 D , E , F 分别表示甲不胜A、乙不胜B、 丙不胜C的事件.(2分) 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F ) =0.5.(3分) 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF, DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独 立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.6×0.5×0.5=0.55.(5分)

(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3. 又由(1)知DEF、 D E F 、DEF是两两互斥事件,且各盘 比赛的结果相互独立, 因此p(ξ=0)=P(DEF)=0.4×0.5×0.5=0.1,(7分) P(ξ=1)=P(DEF)+P( D E F )+P(DEF) =0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.(10分)

由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4, 所以ξ的分布列为: ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

因此E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. (12分)


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