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2013-2014学年高中数学《3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式》一课一练1 新人教A版必修4


3.1
一、选择题: 1.sin

两角和与差的正弦、余弦正切公式

25 π 11π 11π 5π cos -cos sin 的值是( 6 12 6 12
2 2

) C.-sin
π 12

A.-

B.

2 2

D.sin

π 12

2.若 sin(α +β )cosβ -cos(α + β )sinβ =0,则 sin(α +2β )+sin(α -2β ) 等于( ) A.1 二、解答题 3.已知
π 3π π π 3 3π 5 <α < ,0<β < ,cos( +α )=- ,sin( +β )= ,求 4 5 4 13 4 4 4

B.-1

C.0

D.±1

sin(α +β )的值.

π π ? b cos 5 5 =tan 8 π ,求 b . 4.已知非零常数 a、b 满足 π π 15 a a cos ? b sin 5 5 a sin

5.已知0<α <

cos 2? π π 5 ,sin( -α )= ,求 的值. π 13 4 4 cos( ? ? ) 4

1

6.已知 sin(α +β )=

tan? 2 3 ,sin(α -β )= ,求 的值. tan ? 3 4

7.已 知 A、B、C 是△ABC 的三个内角且 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2.试判断此三角形 的形状特征.

8.化简

sin 7? ? cos15? sin 8? . cos 7? ? sin 15? sin 8?

9. 求值: (1)sin75°; (2)sin13°cos17°+cos13°sin17°.

10. 求 sin

7π 2π π 2π cos -sin sin 的值. 18 9 9 9

1 1. 在足球比赛中,甲 方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进(如下图) ,试问甲方边 锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大?(设乙方球门两个端点分别为 A、B)
A B O

C

2

12. 已知

π 3π 12 3 <α <β < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值. 4 13 5 2

13. 证明 sin(α +β )sin(α -β )=sin α -sin β ,并利用该式计算 sin 20°+ sin80°?sin40°的值.

2

2

2

14. 化简: [2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]? 2 sin 2 80? .

15. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2, (1)若 x∈R,求函数的最大值和最小值; (2)若 x∈[0,
π ] ,求函数的最大值和最小值. 2

3

参考答案 1.B 2. C

3.解:∵ ∴

π 3π <α < , 4 4

π π < +α <π . 2 4 π 3 +α )=- , 5 4

又 cos( ∴sin(

π 4 +α )= . 5 4 π , 4

∵0<β < ∴

3π 3π < +β <π . 4 4

又 sin( ∴cos(

3π 5 +β )= , 4 13

3π 12 +β )=- , 4 13

∴sin(α +β )=-sin[π +(α +β ) ]=-sin[ ( =-[sin( =-[

π 3π +α )+( +β ) ] 4 4

π π 3π 3π +α )cos( +β )+cos( +α )sin( +β ) ] 4 4 4 4

4 12 3 5 63 ?(- )- ? ]= . 5 13 5 13 65 b 8π π ,用 、 的三角函数表 a 15 5

4.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出 示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.

π π π b π π b π ? b cos sin ? cos sin ? cos 5 5 ? 5 a 5 ,则 5 a 5 ? tan 8 π . 解:由于 π π π b π π b π 15 a cos ? b sin cos ? sin cos ? sin 5 5 5 a 5 5 a 5 a sin

8π π 8π π 8π π sin cos ? cos sin sin( ? ) b 15 5 15 5 ? 15 5 =tan π = 3 . 整理,有 ? a cos 8 π cos π ? sin 8 π sin π cos( 8 π ? π ) 3 15 5 15 5 15 5

5.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以 及变角技巧.解题过程中,需要注意到( α )=2α .

π π π π π +α )+( -α )= ,并且( +α )-( - 2 4 4 4 4

4

解:cos(

π π π π 5 +α )=cos[ -( -α ) ]=sin( -α )= , 13 2 4 4 4 π , 4

又由于0<α < 则 0<

π π π π π -α < , < +α < . 2 4 4 4 4

所以 cos(

π π 5 12 -α )= 1 ? sin 2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 13 13 4

π π 5 12 sin ( ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 13 13
π π cos[( ? a) ? ( ? ? )] 4 4 π cos( ? ? ) 4

cos 2? ? 因此 π cos( ? ? ) 4

π π π π cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 = π cos( ? ? ) 4 5 12 12 5 ? ? ? 24 = 13 13 13 13 ? . 5 13 13

6. 分析: 当题中有异 角、 异名时, 常需化角、 化名, 有时将单角转化为复角 (和或差) 本 . 题是将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化. 欲求 值. 解:∵sin(α +β )= ① ∵sin(α -β )= ② 由(①+②)÷(①-②)得
tan? =-17. tan ? tan ? tan? sin ? cos ? 的值,需化切为弦,即 ,可再求 sinα cosβ 、cosα sinβ 的 ? tan ? tan ? cos? sin ?

2 2 ,∴sinα cosβ +cosα sinβ = . 3 3

3 3 ,∴sinα cosβ -cosα sinβ = . 4 4

7.分析:从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系 去判断 角的大小及关系,这是常用的基本方法.可以先化去对数符号,将对数式转化为有理式,然后 再考察 A、B、C 的关系及大小,据此判明形状特征. 解:由于 lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2,

5

可得 lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC, 即 lgsinA=lg2sinBcosC, sinA=2sinBcosC. 根据内角和定理,A+B+C=π , ∴A=π -(B+C) . ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 移项化为 sinCcosB-sinBcosC=0, 即 sin(B-C)=0. ∴在△ABC 中,C=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 8.分析:这道题要观察出 7°+8°=15°,解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余 弦公式. 解: = = =
sin 7? ? cos15? sin 8? cos 7? ? sin 15? sin 8?

sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin 15? sin 8?

sin 15? cos 8? ? cos15? sin 8? ? cos15? sin 8? cos15? cos 8? ? sin 15? sin 8? ? sin 15? sin 8?

sin 15? cos15?

=2- 3 .

9









1







=sin



30°+45°



=

sin30°cos45°+cos30°sin45°=
2? 6 . 4

2 3 2 1 ? + ? = 2 2 2 2

(2)原式= sin(13°+17°)=sin30°= 10.解:观察分析这些角的联系,会发现 sin
7π 2π π 2π cos -sin sin 18 9 9 9

1 . 2

π π 7π = - . 18 9 2

=sin =sin

7π 2π π 7π 2π cos -sin( - )sin 18 9 18 9 2 7π 2π 7π 2π cos -cos sin 18 9 18 9

6

=sin( =sin =
π 6

7π 2π - ) 18 9

1 . 2
π ) , 2

11.解:设边锋为 C,C 到足球门 AB 所在的直线的距离为 CO=x,OB=b,OA=a(a>b>0,

a、b 为定值) ACO=α ,∠BCO=β ,∠ACB=α -β =γ (0<γ < ,∠
则 tanα =
a b ab ,tanβ = (x>0, >0) . x x x

a b ? tan? ? tan ? a ? b ab a ?b ? x x ? ? 所以 tanγ =tan(α -β )= ≤ . 1 ? tan? tan ? 1 ? ab x x 2 ab x2

ab π ,即 x= ab 时,上述等式成立.又 0<γ < ,tanγ 为增函数,所以当 x 2 a ?b x= ab 时,tanγ 达到最大,从而∠ACB 达到最大值 arctan . 2 ab

当且仅当 x=

所以边锋 C 距球门 AB 所在的直线距离为 ab 时,射门可以命中球门的可能性最大.

12.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α =(α -β )+(α +β ) . 由于
π 3π π π <α <β < ,可得到 π <α +β < ,0<α -β < . 4 2 2 4
4 5 ,sin(α -β )= . 5 13

∴cos(α +β )=-

∴sin2α =sin[ +β )+(α -β ) (α ] =sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β ) =(- =-
3 12 4 5 )? +(- )? 5 13 5 13

56 . 65

13.证明:sin(α +β )sin(α -β )=(sinα cosβ +c osα sinβ ) (sinα cosβ - cosα s inβ ) =sin α cos β -cos α sin β =sin α (1-sin β )-(1-sin α )sin β =sin α -sin α sin β -sin β +sin α sin β =sin α -sin β ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

7

所以左边=右边,原题得证. 计算 sin 20°+sin80°?sin40°,需要先观察角之间的关系.经观察可知 80°=60°+ 20°,40°=60°-20°, 所以 sin 20°+sin80°?sin40°=sin 20°+sin(60°+20°)?sin(60°-20°) =sin 20°+sin 60°-sin 20° =sin 60° =
3 . 4
2 2 2 2 2 2 2

分析: 此题目要灵活运用“化切为弦”的方法, 再利用两角和与差的三角函数关系式整理 化简. 14.解:原式=[2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]? 2 sin 2 80? =[2sin50°+sin10°(1+ 3 =[2sin50°+sin10°(
sin 10? ) ]? 2 cos2 10? cos10?

cos10? ? 3 sin 10? ) ]? 2 cos2 10? cos10?

=(2sin50°+2sin10°?

cos 50? )? 2 cos10° cos10?

=2 2 (sin50°cos10°+sin10°?cos50°) =2 2 sin60°= 6 . 15.解: (1)设 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ 则 t =1+2sinxcosx. ∴2sinxcosx=t -1. ∴y=t +t+1=(t+
2 2 2

π )∈[- 2 , 2 ] , 4

1 2 3 3 ) + ∈[ ,3+ 2 ] 2 4 4

∴ymax=3+ 2 ,ymin= (2)若 x∈[0,

3 . 4

π ] ,则 t∈[1, 2 ] . 2

∴y∈[3,3+ 2 ] , 即 ymax=3+ 2 ymin=3.

8


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