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高二数学不等式知识点


不等式的知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对

称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

(异向不等式相除) (10) a ? b, ab ? 0 ? 1 ? 1 (倒数关系)
a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开 方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b2 ? 2ab(或a 2 ? b2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 . 2

a=b 时取等号)

极值定理:若 x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y

时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 3

a=b=c 时取等号)

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a b

a=b 时取等号)
| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

(6)a ? 0时,x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a; |

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式

(1)平均不等式:

如果 a,b 都是正数,那么

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b 2 (当仅当 ? . 2 2

a=b 时

取等号) (2)柯西不等式:
若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) a a a a 当且仅当 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 ○
? f ( x) ? 0 ? 2 ? ? ? 定义域 ○ f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? 0 3 ○ ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 2 ? ? f ( x) ? [ g ( x)] ?

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)( a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(0 ? a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 2 3 ○应用分类讨论思想去绝对值; ○应用数形思想;○应用化归思想等价转化
| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?


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