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2.3.1平面向量基本定理与2.3.2平面向量正交分解及坐标表示.doc


§2.3.1 平面向量基本定理 §2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示
学习目标 1.掌握平面向量基本定理的内容. 2.理解基底及夹角的概念,并能运用基底表示平面内任一向量. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一、课前准备 ? ? ? ? ? ? 复习 1:向量 b 、 a a ? 0 是共线的两个向量,则 a 、 b 之间的关系可以表示为 ?? ?

? ? ?? ?? ?? ?? ? ? 复习 2:给定平面内任意两个向量 e1 、 e2 ,请同学们作出向量 3e1 ? 2e2 、 e1 ? 2e2 .

?

?

.

二、新课导学 ※ 学习探究 新知 1:平面向量基本定理 1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内两个 任一向量,那么有且只有一对实数 ?1 , ?2, 使 量 e1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题 1:复习 2 中,平面内的任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢?

??

?? ?

? ?

的向量,a 是这一平面内的 。其中,不共线的这两个向

?

? ?

理解此定理要注意:

?? ?? ? (1) 我们把不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2) 基底不唯一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式唯一. λ 1,λ 2 是被

? a , e1 , e2 唯一确定的数量
? ? ?

新知 2:两向量的夹角与垂直;平面向量正交分解及坐标表示 问题 2:如果两个向量不共线,则它们的位置关系我们怎么表示呢? 则 。 叫做向量 a 与 b 的夹角。如果 ?AOB ? ? ,
?

2.两向量的夹角与垂直: 我们规定: 已知两个非零向量 a , b , OA ? a , OB ? b , 作

?

?

?

则 ? 的取值范围是 ;

⑴当 ? ? 0? 时,a 与 b 方向

?



? ? ⑵当 ? ? 180? 时,a 与 b 方向

? ? ⑶当 ? ? 90? 时, a 与 b 注意:

,记作:

.

? ? (1)对于两个共线的向量 a , b ,在求夹角时一定要先把他们平移到起点相同,这两个共 起点的向量所夹锐角,钝角或直角就是它们的夹角。 (2)两个向量垂直可理解为这两个向量所在的直线互相垂直,两个向量平行(共线) ,可理 解为这两个向量的夹角为 0°或 180° 在不共线的两个向量中, ? ? 90? ,即两向量 垂直是一种重要的情形,把一个向量 分解为__________ ___,叫做把向量正交分解。 例如把图中木块所受的重力分解为向下的力 F1 和对
斜面的压力 F2 . 问题 3:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示. 对于直 角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? 3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 ___ ___ 作为基底。对于平面内的任一个向量 a ,由平面向量基本定理可知, ? 有且只有一对实数 x,y 使得____________,这样,平面内的任一向量 a 都可由 __________唯一确定, ? 我们把有序数对________叫做向量 a 的坐标,记作=___________此式叫做向量的 ? ? 坐标表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。几个特殊向 量的坐标表示
?

i ? ___________,j ? _________,o ? ___________
三、典型例题 例 1、 如图:已知梯形 ABCD 中,AB‖DC,且 AB=2DC,E、F 分别是 DC、AB 的中点, 设 AD = a, AB = b , 试用 a ,b 为基底表示 DC、BC、EF E D C

?

? ?

?

A F

B

例 2、确定下列各图中向量 a 与向量 b 的夹角 ? 的大小:

??? ? ??? ? 例 3 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60? ,求向量 OA 的坐标.

例4

见教材 P96 例 2

※ 当堂检测

? ? 1、设 e1 , e 2 是同一平面内所有向量的一组基底,则以下各组向量中不能作为基底的是
( ) A. C.

2、已知 e1 , ① ?1

? ?

? ? ? ? e1 + e 2 和 e1 - e 2 ? ? ? ? e1 +2 e 2 和 2 e1 + e 2

? ? ? ? e1 -3 e 2 和 4 e1 -6 e 2 B. 2 ? ? ? e1 + e 2 和 e 2 D.
) ②若有实数 ? 1 ,

? ? e1 + ?2 e 2 ( ? , ? 为实数)可以表示该平面内所有向量; ? ? ? ?2 使 ?1 e1 + ?2 e 2 = 0 ,则 ?1 = ?2 =0。
1

e 2 是同一平面内两个不共线的向量,那么下列两个结论中正确的是(
2

A.① A.3

B.②

C.①② C.9 D.0

D.以上都不对

3.已知向量 e1、 2 不共线, e 实数 x、 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2, x+y 的值等于( ) y 则

B.6

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面向量基本定理;同一平面内任一向量都可以表示为两个 不共线 向量的线性组合。 即

? ?? ?? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2

在解具体问题时,要适当地选取基底,使其他向量能够用基底来表示,选择了不共线的 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? 两个向量 e1 、 e2 ,平面上的任何一个向量 a 都可以用 e1 、 e2 唯一表示为 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , ?? ?? ? 这样几何问题就转化为代数问题,转化为只含有 e1 、 e2 的代数运算. 2. 两向量的夹角与垂直; 3. 平面向量的坐标表示. 四、课后作业(A 组必做,B 组选做) A 组:1. 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 的交点,下列向量组,其中可作为这 个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是( ) ? ? ? ??? ???? ???? ??? ? ???? ??? ??? ??? ? ① AD 与 AB ② DA 与 BC ③ CA 与 DC ④ OD 与 OB A.①② B.③④ C.①③ D.①④ ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 2. 已知向量 e1 、e2 不共线, 实数 x 、y 满足 ? 3x ? 4 y ? e1 ? ? 2x ? 3 y ? e2 ? 6e1 ? 3e2 , x ? y 的 则 值等于( A. 3 ) B. ?3 C. 0 D. 2

3. 若 O 、 A 、 B 为平面上三点, C 为线段 AB 的中点,则( ???? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ??? ??? ? ? A. OC ? OA ? OB B. OC ? OA ? OB C. AB ? 2OC

) D. OC ?

? ? ? ? =2 e1 - e 2 ,如果A,B,D三点共线,则k的值为

? 2

?

????

4.已知 e1 , e 2 是同一平面内两个不共线的向量,且 AB =2 e1 +k e 2 ,CB = e1 +3 e 2 ,CD

?

?

?

? ? 1 ??? ??? OA ? OB 2

?

?

?

B 组: 已知AM是△ABC的BC边上的中线, AB = a ,AC = b , AM = 1、 若 则 ( A.

?

?



? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 ( a - b )B. - ( a - b )C.- ( a + b )D. ( a + b ) 2 2 2 2

2、已知点 A(2,2) B(-2,2) C(4,6) D(-5,6) E(-2,-2) F(-5,-6) 在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC

??? ??? ??? ?

BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

??? ??? ??? ?


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