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高一 等比数列的概念及其性质应用(含答案)


等比数列的概念及其性质应用
知识梳理

教学重、难点

作业完成情况

典题探究 例 1 已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ?

1 ,则公比 q =( 4
D.



A .

? 6
<

br />B.

? 4

C.

? 3

? 2

例 2 若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则公比 q =__________. 例 3 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? .求 ?an ? 的通项公式

例 4 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列 {an } 的首项、 公 比.

1

演练方阵 A 档(巩固专练) 1.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2 ? 1, 则 a1 =
2

(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

2.已知等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ??? a30 ? 230 , 那么 a3 ? a6 ? a9 ??? a30 等 于 A. 2
10

( B. 2
20



C. 2

16

D. 2

15

3. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,求 a3 ? a5 的值。

4. 已知等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 2n ,求首项和公比 q .

5.已知等比数列 ?an ? 中, a5 =20,a15 ? 5, 求 a20 .

6.已知等比数列 ?an ? , a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8 ,求 an .

7.在等比数列 ?an ? 中,若 a3 ? 4, a9 ? 1 ,则 a6 ? __________. 8.求下列各等比数列的通项公式:

(1) a1 ? ?2, a3 ? ?8;

(2) a1 ? 5, 且2an?1 ? ?3an

9.一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的 第 1 项与第 2 项 .
2

10.已知 ?an ? 等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项公式。 3

B 档(提升精练) 1.在等比数列 ?an ? 中若 a3 ? 4, a11 ? 1 ,则 a7 ? ___________. 2.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? a ? a ? 0? , a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 ? ___________. 3.已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数。

4. {an } 为等差数列 ( d ? 0) , {an } 中的部分项组成的数列 ak1 , ak2 ,?akn 恰为等比数列,且

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? ? ? kn 。

5.在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m ? ________. A.9 B.10 C.11 D.12 6.已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 =10 ,则 a4 a5a6 = _________. (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 7.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,3.... ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ? ……+log2 a2n-1 ? (
A.

) C. n
2

n(2n ? 1)

B.

(n ? 1)2

D. (n ? 1)

2

3

8.在等比数列 {an } 中, a2010 =8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

(

)

9.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, (1)求证数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求 an 的表达式。

10.已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ,求数列 {an } 的通项公式。

2

C 档(跨越导练) 1.在等比数列 {an } 中, 且 a1 ? a2 ???? a7 ? a8 ? 16, 则 a4 ? a5 的最小值为________. an ? 0 , 2.设 {an } 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 {an } 是递增数列”的________条 件. 3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , S8 ? 32 , 则

S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.

4.设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) ,若数列 ?bn ? 有连续 四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q = 5. 设 a1 ? 2 , an ?1 ? .

2 a ?2 * , bn ? n , n ? N , 则 数 列 ?bn ? 的 通 项 公 式 an ? 1 an ? 1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2

bn =



6.已知数列 {an } 的各项都是正数且 a1 ? 1 ,(n ? 1)an?1 ? (1 ? n)an?1an ? 2nan ? 0 , 求数

4

列 {an } 的通项公式。

7. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

8.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 n ,求数列 {an } 的通项公式。

9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

10.设有数列 {an } , a1 ?

5 ,若以 a1 , a2 , a3 ,?, an 为系数的二次方程 an?1 x2 ? an x ? 1 ? 0 都 6

有根 ? , ? ,且满足 3? ? ?? ? 3? ? 1 。 (1)求证:数列 {an ? } 是等比数列。 (2)求数列 {an } 的通项 an

1 2

5

等比数列的概念及其性质应用参考答案
典题探究 例 1 答案 D
3 解析:设等比数列的公比是 q ,?a5 ? a2q ,? q ?
3

1 1 ,? q ? .故选 D. 8 2

例 2 答案:2 解析: 例3 解析:由题意知, ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 an ? 3 例4 解析:设 ?an ? 的公比为 q .由已知可得
n ?1

a3 +a5 40 ?q? ? 2. a2 ? a4 20



a1q ? a1 ? 2 , 4a1q ? 3a1 ? a1q 2 ,
所以 a1 (q ? 1) ? 2 , q 2 ? 4q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 3 或 q ? 1 , 由于 a1 (q ? 1) ? 2 .因此 q ? 1 不合题意,应舍去,故公比 q ? 3 ,首项 a1 ? 1 . 演练方阵 A 档(巩固专练) 1、答案 B
2 8

解析: 设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 正数,所以 q ? 2、答案 B

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B. ? ? q 2 2
x x ? ? 230 , 所以 x ? 220. 210 220

解析: 设 a3 ? a6 ? a9 ??? a30 =x, 则根据等比数列性质得, x ? 3、解析:

? a1 ? 0 ? a3 ? 0, a5 ? 0 ? a3 ? a5 ? 0
2 2 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? a3 ? 2a3a5 ? a5 ? (a3 ? a5 ) 2 ? 25

? a3 ? a5 ? 5
4、解析: a1 ? 3 ? 2 ? 6, a2 ? 3 ? 2 ? 12 ? q ?
2

5、解析:

q10 ?

a15 5 1 ? ? a5 20 4

a2 ? 2. a1

? q5 ? ?

1 5 5 1 ? a20 ? a15 q 5 ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2 2

6

2 6、解析: a1a2a3 ? a2 ?8

∴ a2 ? 2

∴?

?a1 ? 4 ?a1 ? a3 ? 5 ? a1 ? 1 或 ? ?? ? a3 ? 1 ? a1 ? a3 ? 4 ?a3 ? 4
n ?1

当 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 时, q ? 2, an ? 2n?1

1 ?1? 当 a1 ? 4, a2 ? 2, a3 ? 1 时, q ? , an ? 4 ? ? ? 2 ?2?
7、答案 ?2
2 解析: a6 ? a3 ? a9

a6 ? ?2

8、解析: (1) a3 ? a1q ? q 2 ? 4 ? q ? ?2 (2) q ?

?an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2)n?1 ? (?2)n .

an ?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? )n ?1 . 2

9、解析:?

18 3 3 a 2 a 2 16 ? ? q ? , ? a2 ? 3 ? 12? ? 8, a1 ? 2 ? 8 ? ? . 12 2 2 q 3 q 3 3
1 或 q ? 3 , an ? 2 ? 33?n 或 an ? 2 ? 3n?3 . 3
B 档(提升精练)

10、解析: q ?

1、答案:2
2 解析 a7 ? a3 ? a11

a7 ? 2 (-2 舍去)∵当 a7 ? ?2 时, a7 ? a3q4 ? 4q4 ? 0

b2 2、答案: a

? a ? a ? b2 a ? a16 a25 ? a26 解析: 15 ? ? q10 ,∴ a25 ? a26 ? 15 16 ? a5 ? a6 a a5 ? a6 a15 ? a16
2

3、解析

a ? ?a ?aq ? 27 ??????????? (1) ? q a 设这三个数分别为 , a, aq ,则 ? a2 2 2 2 ? a ? a q ?91???? o ?? (2) q ? ? q2

由 (1) 得 a ? 3 ,代入 (2) 得 q ? ?3或q ? ?

1 3

? 当 q ? 3 时,这三个数分别为 1,3,9;

7

当 q ? ?3 时,这三个数分别为 ?1,3, ?9 ;

1 时,这三个数分别为 9,3,1; 3 1 当 q ? ? 时,这三个数分别为 ?9,3, ?1 。 3
当q ? 4、解析:设等差数列的公差为 d,等到比数列的公比为 q,则 则题意得 a52 ? a1a17 ,

?(a1 ? 4d )2 ? a1 (a1 ? 16d )
又q ?

即d ?

a1 2

a5 a1 ? 4d ? ?3 a1 a1

?akn ? ak1 ? 3n?1 ? a1 ? 3n?1 ? ? ? ? ? ? ? (1)
由 {an } 是等差数列,有 akn ? a1 ? (kn ? 1)d ? a1 ? (kn ? 1)

a1 2

? akn ?

kn ? 1 a1 ? ? ? ? ? (2) 2

由(1) (2)得 kn ? 2? 3n?1 ?1

?k1 ? k2 ? ?? kn ? (2? 30 ?1) ? (2? 31 ?1) ? ?? (2? 3n?1 ?1)
?2 1?(3n ? 1) ? n ? 3n ? n ? 1 . 3 ?1

5、答案:C 解析: am ? q10 ,所以 m=11. 6、答案:A 解析: a1a2 a3 , a4 a5a6 , a7 a8a9 成等比数列,所以 a4 a5a6 = 5 2 . 7、答案:C 解析: 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2
2 2n

, a n ? 0 , 则 an ? 2 ,
n

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
8、答案 A 解析:

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

9、解析:(1)证明: 由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1)
8

又 an+1≠0



an?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. - (2)由(1)知 an+1=(a1+1)qn 1 - - 即 an=(a1+1)qn 1-1=2· 2n 1-1=2n-1 10、解析:由 an?1 ? an 得
2

lg an?1 ? lg an

2

∴ lg an?1 ? 2 lg an ∴ {lg a n } 是以 lg a1 为首项,2 为公比的等比数列 ∴ lg an ∴ an

? 2 n?1 lg a1 ? 2 n?1 lg 3 ? lg 32
n ?1

n ?1

? 32

C 档(跨越导练) 1、答案:2 2 4 解析:由已知得(a4a5) =16,因为 an>0,所以 a4a5=2,所以 a4+a5≥2 a4a5=2 2. 2、答案:充分必要 解析:因为{an}是首项大于零的等比数列,所以当 a1<a2 时,有 q>1,所以数列{an}是递增数 列,反之,若数列{an}是递增数列,则 an<an+1,所以 a1<a2. 3、答案:C
2 解 析 : 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

S8 ? 8a1 ?

56 90 d ? 32 得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所以 S10 ? 10a1 ? d ? 60 .故选 2 2

C 4、答案:-9 解析:?an ? 有连续四项在集合 ??54, ?24,18,36,81 ? ,四项 ?24,36, ?54,81 成等比数列,公 比为 q ? ?

3 , 6q = -9 2

5、答案:2n+1

2 ?2 an?1 ? 2 an ?1 a ?2 解析: 由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是首项 2 an?1 ? 1 an ? 1 ?1 an?1
为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2
n?1

? 2n?1

9

6、解析: 由 (n ? 1)an?1 ? (1 ? n)an?1an ? 2nan ? 0

2

2



(an?1 ? an )[(n ? 1)an?1 ? 2nan ] ? 0
∵ an?1 ? an ? 0 ∴ (n ? 1)an?1 ? 2nan ∴ {nan } 是以 2 为公比, 1 ? a1 ? 1 为首项的等比数列 ∴ nan ? 2n?1 ∴ an ?

2 n ?1 n


7、解析:令 an?1 ? x ? 3(an ? x) 变形得 an?1 ? 3an ? 2 x

对比递推公式系数得 2 x ? 1 , x ?

1 代入①得 2

1 1 ? 3(a n ? ) 2 2 1 1 3 ∴ {a n ? } 是以 a1 ? ? 为首项,3 为公比的等比数列 2 2 2 1 3 n ?1 1 n ∴ an ? ? ? 3 ? ? 3 2 2 2 a n ?1 ?
∴ an

?

1 n 1 ?3 ? 2 2


8、解析:令 an?1 ? x ? 2n?1 ? 3(an ? x ? 2n ) 变形得 an?1 ? 3an ? x ? 2 n 对比递推公式系数得 x ? 1 ,代入①得

an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
∴ {an ? 2 } 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列
n
1
n ∴ an ? 2 ? 3 ? 3 n ?1

∴ an ? 3 ? 2
n

n

9、解析:令 an?1 ? xn ? y ? 3[an ? x(n ? 1) ? y]
10



变形得 an?1 ? 3an ? 2 xn ? 3x ? 2 y 对比递推公式系数得: ?

?2 x ? 2 ?? 3x ? 2 y ? 1

解得 ?

?x ? 1 代入①得 ?y ? 2

an?1 ? n ? 2 ? 3[an ? (n ? 1) ? 2]
∴ {an ? (n ? 1) ? 2} 是以 a1 ? (1 ? 1) ? 2 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列 ∴ an ? (n ? 1) ? 2 ? 3 ? 3n?1 ? 3n ∴ a n ? 3n ? n ? 1 10、解析: (1) ? ? ? ?

an 1 , ?? ? an ?1 an ?1

代入 3? ? ?? ? 3? ? 1 得

1 1 an ? an ?1 ? 3 3

1 1 1 1 an ?1 ? ? 3 2 ? 1 (定值) 2 ?3 ? 1 1 3 an ?1 ? an ?1 ? 2 2 an ?

? 数列 {an ? 1} 是等比数列。
2
(2)因为数列 {an ? } 是公比为

1 2

1 1 5 1 1 的等比数列,且其首项为 a1 ? ? ? ? 3 2 6 2 3

1 1 1 n ?1 1 n ? ( ) ?( ) 2 3 3 3 1 n 1 即 an ? ( ) ? 3 2
所以 an ?

11


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