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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分66 几何概型


开卷速查(六十六)

几何概型

A 级 基础巩固练 π? ? 1.在区间?0,2?上随机取一个数 x,使得 0<tanx<1 成立的概率
? ?

是(

) 1 A.8 1 B.3 1 C.2 2 D.π

π 4 1 π 解析:由 0<tanx<1,得 0<x<4,

故所求概率为π=2. 2 答案:C 2.已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[-2,1].?x ∈[0,1],f(x)≥0 的概率是( 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.4
?f? 0?≥0, ? 解析:由?x∈[0,1],f(x)≥0 得? 有-1≤k≤1,所以所 ? ?f?1?≥0,

)

1-?-1? 2 求概率为 = . 1-?-2? 3 答案:C
? ?0≤x≤2, 3.设不等式组? 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机 ? ?0≤y≤2

取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A.4 B. 2 C.6 D. 4

)

解析:坐标系中到原点距离不大于 2 的点在以原点为圆心,2 为半

? ?0≤x≤2, ? 径的圆内及圆上, 表示的区域 D 为边长为 2 的正方形及其 ?0≤y≤2 ?

π×4 4- 4 4-π 内部,所以所求的概率为 4 = 4 . 答案:D 4.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零 点的概率为( )

1 2 3 1 A.2 B.3 C.4 D.4

解析:要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0, 即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0, ∴a-2b<0. 0≤a≤1, ? ? 作 出 ?0≤b≤1, ? ?a-2b<0 1 1 1-2×1×2 3 =4. 1×1 答案:C

的 可行域 ,易 得该 函数无 零点 的概 率 P =

5.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx+ 3cosx≤1” 发生的概率为( 1 A.4 ) 1 B.3 1 C.2 2 D.3
? ?

π? ? 解析:由 sinx+ 3cosx≤1 得 2sin?x+3?≤1, π? 1 ? 即 sin?x+3?≤2.
? ?

π ?π 4π? 由于 x∈[0,π],故 x+3∈?3, 3 ?,
? ?

π? 1 ? ?π ? π ?5π 4π? 因此当 sin?x+3?≤2时,x+3∈? 6 , 3 ?,于是 x∈?2,π?.
? ? ? ? ? ?

由几何概型公式知事件 “sinx + 3cosx≤1” 发生的概率为 P = π π-2 1 =2. π-0 答案:C

6.如图,△ABC 和△DEF 都是圆内接正三角形,且 BC∥EF.将一 颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在△ABC 内”,B 表示事件“豆子落在△DEF 内”,则 P(B|A)=( 3 3 3 1 2 A. 4π B. 2π C.3 D.3 解析:设△AGH 的面积为 S,则 S 正六边形 GHIJKM=6S,S 正△DEF=9S, )

6S P?BA? S圆 2 所以 P(B|A)= = = ,故选 D. P?B? 9S 3 S圆 答案:D y≤x, ? ? 7.若不等式组?y≥-x, ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域为 M,x2+y2≤1

所表示的平面区域为 N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在 区域 N 内的概率为__________. 解析:∵y=x 与 y=-x 互相垂直,∴M 的面积为 3,而 N 的面积 π 4 π π 为4,所以概率为3=12. π 答案:12 8. 在[-6,9]内任取一个实数 m, 设 f(x)=-x2+mx+m, 则函数 f(x) 的图像与 x 轴有公共点的概率等于__________. 解析:函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点应满足 Δ=m2+4m≥0,解 得 m≤-4 或 m≥0,又 m∈[-6,9],故-6≤m≤-4 或 0≤m≤9,因 2+9 11 此所求概率 P= 15 =15. 11 答案:15 9.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开 图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向图 2 中虚线围成的 1 矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是4,则 此长方体的体积是__________.

图1

图2

解析: 设题图 1 长方体的高为 h, 由几何概型的概率计算公式可知, 质点落在长方体的平面展开图内的概率 P= 1 =3 或 h=-2(舍去), 故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案:3 10.已知集合 A=[-2,2],B=[-1,1],设 M={(x,y)|x∈A,y∈ B},在集合 M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 内的概率; 2 (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 2 的概率. 解析:(1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8.因 x2+y2=1 的面积 2+4h 1 =4,解得 h ?2h+2??2h+1?

S1 π S1=π,故所求概率为 P1= S =8.

(2)由题意

|x+y| 2 ≤ 2 即- 1≤x + y≤1,形成的区域如图中阴影部 2

S2 1 分,面积 S2=4,所求概率为 P= S =2. B级 能力提升练

?0≤x≤1, ? 11.设不等式组? 表示的平面区域为 D,在 D 内任取一 ? ?0≤y≤1

1 点 P(x, y), 若满足 2x+y≤b 的概率大于4, 则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(1,+∞) B.(0,2) D.(2,+∞)

)

解析:区域 D 表示以点 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正 方形,其面积 S1=1.根据题意,b>0,设正方形 OABC 位于直线 2x+y =b 下方部分面积为 S2, 因为直线 2x+y=b 在 x 轴, y 轴上的截距分别 b 1 b2 b 2 1 S2 1 为2,b,则当 0<b≤1 时,S2=2· = ≤ . 故题设, P = = S 2> ,则 2 4 4 S1 4 b>1,故选 C. 答案:C 12.设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x2},从集 合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 的概率是__________.

解析:在直角坐标系中分别作出集合 A,B 所表示的区域,从集合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 的区域为图中阴影部分, 1 ? 17 ? 1 2 ? x dx+ +2?= ,则从集 由定积分知识可求得阴影部分的面积为 2? 2 ? 3 ?
??0 ?

17 3 17 合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 的概率为 8 =24. 17 答案:24 13.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具, 它的六个面中,有两个面标的数字是 0,两个面标的数字是 2,两个面 标的数字是 4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作 为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C:x2+y2≤10 内的概率; (2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率.

解析:(1)以 0、2、4 为横、纵坐标的点 P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、 (2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共 9 个,而这些点中,落在区域 4 C 内的点有:(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共 4 个,故所求概率为 P=9. (2)∵区域 M 的面积为 4,而区域 C 的面积为 10π, 4 2 ∴所求概率为 P=10π=5π. 14.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它 们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条 船不需要等待码头空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求 它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析:(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y, 则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x≥4 或 y-x≤-4. 0≤x<24, ? ? 作出区域?0≤y<24, ? ?y-x>4或y-x<-4. 为事件 A,

设“两船无需等待码头空出”

1 2×2×20×20 25 则 P(A)= =36. 24×24 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,两船 不需等待码头空出,则满足 x-y≥2 或 y-x≥4.

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域 0≤x<24, ? ? ?0≤y<24, ? ?y-x>4或x-y>2. 1 1 × 20 × 20 + 2 2×22×22 442 221 P(B)= =576=288. 24×24


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