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2008-2012五年高考数学三角函数大题


2008
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π , ? ? 0 )为偶函数,且函 数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f ?

π . 2

?π? ? 的值; ?8?
π 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 6

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平秱

g ( x) 的单调递减区间.

17.解:(Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数, 所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ? 即 ? sin ? x cos ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? ? ? 0. 6?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

因为 ? ? 0 ,且 x ? R , 所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

又因为 0 ? ? ? π , 故? ?

π π ? . 6 2

所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? 由题意得

? ?

π? ? ? 2cos ? x . 2?



π ? 2? ,所以 ? ? 2 . ? 2

故 f ( x) ? 2cos 2 x . 因此 f ?

π ?π? ? ? 2cos ? 2 . 4 ?8?
π 个单位后,得到 6

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平秱

π? ? f ? x ? ? 的图象, 6? ?

所以 g ( x) ? f ? x ? 当 2kπ ≤ 2 x ? 即 kπ ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2cos ?2 ? x ? ?? ? 2cos ? 2 x ? ? . 6? 6 ?? 3? ? ? ?

π ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ), 3

π 2π ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3

因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z ). 6 3?

2009
17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos 2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在

x ? ? 处取最小值.

(1)
(2)

求 ? 的值; 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2 , f ( A) ?

3 ,求角 2

C.
17. 解:

(1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x

? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,

由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

.

( 2 )由(1)知 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

因为 f ( A) ? cos A ?

? 3 ,且 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? . 6 2
a b ? , sin A sin B

又因为 a ? 1, b ?

2, 所以由正弦定理,得

也就是 sin B ?

b sin A 1 2 , ? 2? ? a 2 2

因为 b ? a ,所以 B ?

?
4

或B ?

3? . 4

当B ?

?
4

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

7? ; 12

当B ?

3? ? 3? ? ? . 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12

综上所述, C ?

7? ? 或C ? 12 12

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角 函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

2010
(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,

(Ⅰ)求 ? 的值;

1 (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得 2

? ? ? 函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 16 ?
17.【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变 形、转换和求解的能力。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2,

所以

g ( x) ? f ( 2 x) ?

2 ? 1 sin(4 x ? ) ? 2 4 2。



0? x?

?

?

6 时, 4

? 4x ?

?
4

?

?
2

2 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 4 所以 2
因此 1 ? g ( x) ?

1? 2 , 2 ?

故 g ( x) 在区间 ? 0, ? 内的最小值为 1. ? 16 ?

??

2011
17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 (Ⅰ)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A 1 , b ? 2 ,求 ? ABC 的面积 S . 4

(Ⅱ)若 cos B ?

17.【解析】考查三角函数的概念计算,解三角形的相关内容,容易题。 解:(1)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所以

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = = ,即 cos B b sin B

sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,
即 sin C ? 2sin A ,所以

sin C =2. sin A

(2)由(1)知

sin C c =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦 sin A a

2 2 2 2 2 2 2 定理得: b ? c ? a ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) ? (2a) ? a ? 4a ?

1 ,解得 a=1,所以 4

b=2.

2012
(17)(本小题 满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知
sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C .

(Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

(17)(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,

∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4


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