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【志鸿优化设计】2015届高考数学一轮总复习精品课件:4.2 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式


4.2 同角三角函数的基本关系式 及三角函数的诱导公式

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -2-

考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,
(k∈Z) 2 sin =tan cos

α ≠ π +



.
π 2

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π± α 的正弦、余弦、正切的诱 导公式,并能灵活运用.

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -3-

1.同角三角函数的基本关系式

sin2α+cos2α=1 ; sin (2)商数关系: tan α= ≠ π + ,k∈Z cos 2
(1)平方关系: 举出其他代换“1”的式子吗? π 2 2 答案:1=sin α+cos α=tan
4

.

想一想三角变换中,“1”的代换技巧经常使用,如 1=sin2α+cos2α,你还能

=cos2α(1+tan2α)
(sin+cos) +(sin-cos) = 2 k =… 此时 ≠ 2 ,k∈Z
2

2

.

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -4-

2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系
角 2kπ+α(k∈Z) π+ α -α

图示

与角 α 终 边的关系 角 图示 与角 α 终 边的关系

相同
π 2

关于原点对称

关于 x 轴对称
π 2

π -α





关于 y 轴对称

关于直线 y=x 对称

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -5-

3.诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变 符号看象限 二 π+ α -sin α -cos α tan α 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π -α sin α -cos α -tan α 五
π 2


π 2





cos α sin α

cos α -sin α

函数名改变 符号看象限

即 α+k· 2π(k∈Z),-α,π± α 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面加上 一个把 α 看成 号.

锐角

时原函数值的符号; ± α 的正弦(余弦)函数值,分别

π 2

等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -6-

想一想有人说 sin(kπ-α)=sin(π-α)=sin α(k∈Z),你认为正确吗? 答案:不正确.当 k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sin

α; 当 k=2n+1(n∈Z) 时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·π-α]=sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sin α.

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -7-

4.特殊角的三角函数值
角α 角α的 弧度数 sin α cos α 0° 0 30° 6 1 2 3 2 3 3 1 45° 4 2 2 2 2 60° 3 3 2 1 2 3 1 0 不存 在 - 3 1 2

90° 2

120° 2 3 3 2

150° 5 6 1 2 3 2 3 3

180° π

270° 3 2 -1 0 不存

0 1

0 -1

tan α

0

0



第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -8-

基础自测
1.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin α=( ) A.12 13 5 13

B.

12 13

C.±

12 13

D.

5 12

关闭

cos(α-π)=-cos α=- ,cos α= .sin α=± 1-cos 2 α=± ,
13 13 13

5

5

12

∵ α 是第四象限角,∴ sin α=- . A 13
解析

12

关闭

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -9-

2.已知 sin x=2cos x,则 sin2x+1=( A.
6 5

) C.
4 3

B.

9 5

D.

5 3

关闭

∵ sin2x+cos2x=1, ∴ sin x+
4
2

1 2

sin =1,
9
关闭

2

∴ sin2x= ,∴ sin2x+1= . 5 5 B
解析

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -10-

3.已知 α 是第四象限角,tan α=- ,则 sin α 等于( A. C.
1 5

5 12

)

B.-

1 5 5 13

5 13

D.-

关闭

由 tan α=

sin

cos

=- ,sin2α+cos2α=1 及 α 是第四象限角,解得 sin α=- .
12 13
关闭

5

5

D
解析 答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -11-

4.已知

sin+3cos =5,则 3cos-sin

sin2α-sin αcos α 的值是

.

关闭

由 α=

sin +3cos 3cos -sin

=5,得

tan +3 3-tan

=5,即 tan α=2.所以 sin2α-sin αcos
2 5
关闭

si n 2 α -sin cos

2 si n 2 α +co s 2 α 5

=

ta n 2 α -tan ta n 2 α +1

= .
解析

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -12-

5.已知 sin(3π+α)=lg 为 .

1
3

10

,则

cos(π+) cos(-2π) + 的值 cos[cos(π-)-1] coscos(π-)+cos(-2π)

关闭

由于 sin(3π+α)=-sin α,lg 3
cos -18 co s 2 α +cos

1

=

1 1+cos

+

1 1-cos

=

10 2

=- ,得 sin α= ,原式=
3 3

1

1

-cos

cos (-cos -1)

+
关闭

si n 2 α

=18.
解析

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -13-

考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例 1】 已知 tan α= ,则 cos 2α+sin2α 的值为
1 4

.

关闭

cos 2α+sin α=1-2sin α+sin α=cos α=
16 17

2

2

2

2

co s 2 α

co s 2 α +si n 2 α

=

1 1+ta n 2 α

=

16 17
关闭

解析 考点一 考点二 考点三 误区警示

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -14-

方法提炼 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化,利用 α ≠ π + ,k∈Z 可以实现角 α 的弦切互化. 2.注意公式逆用及变形应 用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 3.求值或化简中一定要注意角 α 的范围.
2 sin =tan cos

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -15-

举一反三 1 已知 cos α=5,则 cos 2α+sin2α 的值为(
A.
9 25

3

)

B.

18 25

C.

23 25

D.

34 25

关闭

由 cos α= ,得 cos 2α+sin2α=2cos2α-1+1-cos2α=cos2α= ,故选 A.
5 25
关闭

3

9

A
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示 答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -16-

考点二

诱导公式的应用

【例 2-1】 化简:
sin(540°-) 1 cos(360°-) · · . tan(900°-) tan(450°-)tan(810°-) sin(-)

关闭

原式= x 1 tan

sin (180 °- )

tan (180 °- )

·

1

tan (90°- )tan (90°- )

·

cos

-sin

=

sin -tan

·tan x·tan

=sin x.
答案

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -17-

【例 2-2】 已知

cos2 (nπ+)·sin2 (nπ-) f(x)= (n∈Z). cos2 [(2n+1)π-]

(1)化简 f(x)的表达式; (2)求 f
π 2 014

+f

503π 1 007

的值.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -18-

解:(1)当 n 为偶数, 即 n=2k(k∈Z)时, f(x)= =
co s 2 (2k π + )·si n 2 (2k π - ) co s 2 [(2×2k+1)π - ] co s 2 x ·(-sin )2 (-cos )2

co 2 ·si n 2 (-x ) co s 2 (π - )

=

=sin2x(n=2k);

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -19-

当 n 为奇数, 即 n=2k+1(k∈Z)时, f(x)=
co s 2 [(2k+1)π + ]·si n 2 [(2k+1)π - ] co s 2 {[2× (2k+1)+1]π - } (-cos )2 si n 2 x (-cos )
2

=

co s 2 [2k π +(π + )]·si n 2 [2k π +(π - )] co 2 [2× (2 +1)π +(π - )]

=

co 2 (π + )·si n 2 (π - ) co s 2 (π - )

=

=sin2x(n=2k+1),

综上得 f(x)=sin2x. (2)f
π 2 014 π 2 014 π 2 014

+f =1.

503 π 1 007

=sin2

π

2 014

+sin2

1 006 π 2 014

=sin2

π 2 014

+sin2

π 2

-

π 2 014

=sin2

+cos2

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -20-

方法提炼 1.利用诱导公式化简求值时的原则为: (1)“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角 函数. (2)“大化小”,利用公式一将大于 360° 的角的三角函数化为 0° 到 360° 的 三角函数,利用公式二将大于 180° 的角的三角函数化为 0° 到 180° 的三角函 数. (3)“小化锐”,利用公式六将大于 90° 的角化为 0° 到 90° 的角的三角函 数. (4)“锐求值”,得到 0° 到 90° 的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非 特殊角可由计算器求得.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -21-

2.含有参数的代数式化简时,要注意分类讨论. 3.诱导公式中“符号看象限”是指把 α 从形式上看作锐角,从而 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α, -α, +α 分别是第一、三、四、二、一、二象限的 角.
π 2 π 2

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -22-

举一反三 2 化简:
cos(π+) cos(-2π) + cos[cos(π-)-1] sin -3π cos(-π)-sin 3π+θ 2 2

.

关闭

原式=

-cos

cos (-cos -1)

+

cos cos (-cos )+cos

=

1 1+cos

+

1 1-cos

=

2 si n 2 θ

.

答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -23-

考点三 sin x± cos x 与方程思想
【例 3】 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . (1)求 tan α 的值; (2)把
1 用 cos2 α-si2 1 5

tan α 表示出来,并求其值.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -24-

解:(1)方法一:联立
1 5

sin + cos = , sin2 α + cos 2 α = 1,②
5

1



由①得 cos α= -sin α,将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0. sin = , cos = - ,
5 5 3 4

∵ α 是三角形的内角,∴

∴ tan α=- .
3

4

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -25-

方法二:∵ sin α+cos α= ,
5

1

∴ (sin α+cos α) =

2

1 2 5

,
1 24 25

即 1+2sin αcos α= ,∴ 2sin αcos α=- ,
25

∴ (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ ∵ sin αcos α=- <0 且 0<α<π,
25 12

24 25

=

49 25

.

∴ sin α>0,cos α<0,∴ sin α-cos α>0, ∴ sin α-cos α= ,
5 7

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -26-



sin + cos = , sin-cos =
4 3 5 7 5

1



sin = , cos = - ,
5 5 3

4

∴ tan α=- . (2)
4 3 1

co s 2 α -si n 2 α 1

= =

si n 2 α +co s 2 α co 2 -si n 2 α -

=

si n 2 α +co s 2 α co 2 co s 2 α -si n 2 α co 2

=

ta n 2 α +1 1-ta n 2 α

.∵ tan

α=- ,∴

ta n 2 α +1 1 -ta n 2 α

co s 2 α -si n 2 α

=

4 2 +1 3 4 2 1- 3

=- .
7

25

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -27-

方法提炼 1.已知 asin x+bcos x=c 可与 sin2x+cos2x=1 联立,求得 sin x,cos x,一般此 法不常用,原因是计算麻烦. 2.sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x 之间的关系为 (sin x+cos x)2=1+2sin xcos x, (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x, (sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代 数式的值. 3.关于 sin x,cos x 的齐次式,往往转化为关于 tan x 的式子.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -28-

举一反三 3 已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sin θ 和 cos
θ,θ∈(0,2π),求 m 的值.
关闭

由韦达定理可知 sin + cos = sincos = ,② 2 2+ 3 由①式平方得 1+2sin θcos θ= ,
2

3+1 , 2



∴ sin θcos θ= ,由②得 =
4 2

3



3 4

.∴ m= .
2

3

答案 考点一 考点二 考点三 误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -29-

误区警示

因“平方”而导致增解致误
3-1 ,则 2

【典例】 已知 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= A.- 3或C.- 3
3 3 3 3 3 D.2

tan θ 的值为( )

B.-

错解:由 sin θ+cos θ= θ·cos θ=- , ∴ sin θ·cos θ=
sin·cos sin2 θ+cos2 θ 3 4

3-1 两边平方得 2

1+2sin θ·cos θ=1- ,即 sin

3 2

=

tan 3 =, 1+ta2 4 3 3

解之,得 tan θ=- 3或 tan θ=- . 错因:由 sin θ+cos θ=
考点一 考点二
3-1 两边平方扩大了 2

θ 的取值范围引起增解.

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -30-

正解:方法一:由 sin θ+cos θ= 由 sin θ·cos θ=
sin·cos sin2 θ+cos2θ

3-1 两边平方得 2 tan 3 =, 1+tan2θ 4

sin θ·cos θ=- ,

3 4

=

解得 tan θ=- 3或 tan θ=- , 由于 θ∈(0,π),0<sin θ+cos θ= ( 3-1)<1, ∴ θ∈
π ,π 2 1 2

3 3

,|sin θ|>|cos θ|.∴ |tan θ|>1,即 θ∈

π 3 , π 2 4

.∴ tan θ<-1,∴ tan θ=- ,

3 3

舍去.故 tan θ=- 3.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -31-

方法二:由 sin θ+cos θ= 两边平方得 sin θ·cos
2

3-1 , 2 3 θ=- , 4 3 θ=1+ 2

∴ (sin θ-cos θ) =1-2sin θ·cos
1 2

=

4+2 3 4 π ,π 2

=

3+1 2

2

.

∵ θ∈(0,π),sin θ+cos θ= ( 3-1)<1,∴ θ∈ θ=
3+1 . 2

.∴ sin θ-cos θ>0,∴ sin θ-cos

由 得

3-1 , 2 3+1 sin-cos = , 2 3 1 sin θ= ,cos θ=- .∴ tan 2 2

sin + cos =

θ=- 3.

答案:C
考点一 考点二 考点三 误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -32-

反思提升 1.本题易错点在于对 sin θ+cos θ 平方后,不注意验证而产生 增解,正确做法为结合角 θ 的范围及 sin θ+cos θ 的取值范围对结果进行取 舍.正解中方法一侧重利用变形过程中正切值的范围进行取舍 ,方法二侧重 利用 sin θ+cos θ 值的范围进行取舍. 2.在三角变换中,涉及对原式进行平方或开方等运算时,谨防丢解或增 解,要养成检验意识;涉及在三角形中解决问题时,要注意角的约束条件或隐 含信息.

考点一

考点二

考点三

误区警示

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -331 2 3 4

1.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈ - ,0 ,则 tan(2π-α)的值为( A.2 5 5

1 4

π 2

)

B.

2 5 5

C.±

2 5 5

D.

5 2

关闭

sin(π-α)=sin α=log8 =- ,又 α∈ - ,0 ,得 cos α= 1-sin2 α =
4 3 2

1

2

π

,tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α== B 3 cos

5

sin

2 5 5

关闭

.
解析 答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -341 2 3 4

2.若 cos α=- ,且 α∈ π,

3 5

3π 2

,则 tan α=

.

关闭

由 1+tan2α= 则 tan2α= .
9 16

1

co s 2 α

,

又因 α∈ π, 则 3 tan α= .
3

3π 2

,故 tan α>0,
关闭

4

4

解析

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -351 2 3 4

1 2 sin[+(2+1)π]+sin[-(2+1)π] (n∈Z). sin(+2π)·cos(-2π)

3.已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象限角,计算:
关闭

∵ cos(π+α)=- ,
2

1

∴ -cos α=- ,cos α= .
2 2

1

1

则 = = =

sin [ +(2 +1)π ]+sin [ -(2 +1)π ]

sin ( +2π )·cos ( -2π ) sin (2π +π + )+sin (-2π -π + ) sin (2π + )·cos (-2π + ) sin (π + )+sin (-π + ) sin ·cos -sin -sin (π - ) sin ·cos 2 cos

=

-2sin sin cos

=-

=-4.

答案

第四章

4.2

同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 -361 2 3 4

4.在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

由 sin A+cos A= 2, ∴ 1+2sin Acos A=2.∴ sin 2A=1. ∵ A 为△ABC 的内角, ∴ 2A= ,∴ A= .
2 4 π π

关闭

由 3cos A=- 2cos(π-B),∴ 3cos = 2cos B.∴ cos B= .
4 2

π

3

∵ 0<B<π,∴ B= .
6

π

∵ A+B+C=π,∴ C= .∴ A= ,B= ,C= .
12 4 6 12



π

π



答案


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