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高中数学必修2第四章圆与方程课件--4.1.1圆标准方程-人教A版


4.1.1
2016/12/19

让我们一起来欣赏如 下几幅风景画,我们能 发现什么几何图形?
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如设 何此 写圆 出的 此半 圆径 的为 方 程米 ?, r
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复习引入
我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两点 确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y r A

M

O
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x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.
因此一个圆最基本要素是圆心和半径.

如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐 标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆 心A (a,b) 的距离. y
r
O
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M (x , y )

A(a,b) x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗?

符合上述条件的圆的集合:
p ? ?M || MA |? r?

y

r O
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M (x , y )

A(a,b)
x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示? 2 2 ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? . 根据两点间距离公式: P 1P 2 ? 则点M、A间的距离为: MA ? 即:

?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 .

p ? ?M | MA |? r?
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2
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2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上? 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标 适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就 说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b), 半径为r的圆上. 把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆的 方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle).
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注意以下三点:

1.已知圆心C(a,b),半径为r,则圆的标
准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

2.当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为
x2+y2=r2. 3.圆的标准方程的优点在于明确地指出了

圆心和半径.
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练习:1、写出下列各圆的方程: (1)圆心在点C(3, 4 ),半径是
5 (x-3)2+(y-4)2=5

(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25

补充练习: 写出圆的圆心坐标和半径: (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2

(-1,2) (-a,0)

3 |a|

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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么?通过比较点到圆心的距离和半径r
的大小关系

(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
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点M0在圆上

点M0在圆内
点M0在圆外

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3),半径长等于5的圆的方 M1 (5,?7 ) M 2 (? 5 ,?1) 是否在这 程,并判断点 , 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3),半径长等于5的圆的标准 方程是: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25
y

M2
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o
A M1

x
点M1在圆上,点M2在圆内

典型例题
?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3), C(2, -8),求它的外接圆的方程.

例2

分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
2 2 2 解:设所求圆的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

( 1)

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程(1).于是

?(5 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
2 2 2

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典型例题
?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3), C(2, -8),求它的外接圆的方程.

例2

分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.

解: 解此方程组,得:

? a ? 2, ? ?b ? ?3, ? r 2 ? 25. ?
2 2 ? ABC ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25. 所以, 的外接圆的方程
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小结: 1.圆的标准方程中含有三个参变数,必须 具备三个独立的条件;才能定出一个圆的 方程,当已知曲线为圆时,一般采用待定 系数法求圆的方程。 2.求圆的标准方程的一般步骤为: (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2;
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(2)根据已知条件,建立关于a、b、r的

方程组;
(3)解此方程组,求出a、b、r的值;

(4)将所得的a、b、r的值代回所设的圆
的方程中,就得到所求的圆的标准方程.

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例题分析
例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程.
y
A O C x l

B

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例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.
分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小.圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),由于圆心C与A, B ' l 两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上.又 ' 圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 l 的交点,半径长 等于|CA|或|CB|. 解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: 2 2

k AB
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? 2 ?1 ? ? ?3 2 ?1

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程. 解:因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2
即 x ? 3y ? 3 ? 0
'

圆心C的坐标是方程组

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0
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的解.

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程. ? x ? ?3, 解: 解此方程组,得 ? ? y ? ?2. 所以圆心C的坐标是 (?3,?2)
圆心为C的圆的半径长

r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5
所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

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练习: (1)圆心在点C(-2,1)并过点A(2,-2); (2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5 . (3).已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以 P1P2为直径的圆的方程,

并判断M(6,9)和N(5,3)是在圆上、圆外, 还是在圆内?
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(1)圆心在点C(-2,1),并 过点A(2,-2);
? 解:(1)所求圆的半径r=|CA|=5,因为 圆心在点C(-2,1),所以所求圆的方程 为(x+2)2+(y-1)2=25.

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(2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5. 解:(2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方 程为(x-a)2+(y-b)2=5. 已知圆过点(0,1)和点(2,1),代入圆的方 程得 ? a2 ? 1 ? a1 ? 1 ? a 2 ? (1 ? b)2 ? 5 解得 ? ? 或 ? 2 2 b ?3
?(2 ? a) ? (1 ? b) ? 5
?b1 ? ?1

?

2

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x -1)2+(y-3)2=5。
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(3).已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以 P1P2为直径的圆的方程,并判断M(6,9)和 N(5,3)是在圆上、圆外,还是在圆内? 解:由已知得圆心坐标为C(5,6),半径r 的平方为r2=10 所以圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10, 将M,N点的坐标代入方程得 (6-5)2+(9-6)2=10,(5-5)2+(3-6)2<10, 所以点M在圆上,点N在圆内.
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例4.求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在 直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程。 解法1. 直线AB的斜率k=-1,所以AB的垂 直平分线m的斜率为1, AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 7 5 x = 2 , y= 2 . 因此直线m的方程为y-
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7 2

=x -

5 , 2

即x-y-1=0.

又圆心在直线l上,所以圆心是直线l与直线 m的交点,解联立方程组
? x ? y ?1 ? 0 ? ?2 x ? 7 y ? 8 ? 0



?x ? 3 ? ?y ? 2

所以圆心的坐标是C(3,2),半径 r=|CA|= 13 , 所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
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解法2. 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y- b)2=r2,由题意得
? a?2 ?(6 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? ? 2 2 2 b ? 3 ? 解得 (1 ? a ) ? (5 ? b ) ? r ? ? r 2 ? 13 ? ? 2 a ? 7 b ? 8 ? 0 ?

所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
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练习题: 1.圆(x-1)2+(y+1)2=2的周长是( (A) 2π (C)2
2 π

C)

(B)2π (D)4π

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2.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方

程是( C ) (A)x2+y2=25 (B)x2+y2=5
(C)(x-3)2+(y-4)2=25, (D)(x+3)2+(y+4)2=25,
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3.已知圆心在P(-2,3)并且与y轴相切,

则该圆的方程是(
(A)(x-2)2+(y+3)2=4

) B

(B)(x+2)2+(y-3)2=4
(C)(x-2)2+(y+3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=9
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4.过点A(1,-1),B(5,6)且圆心在直线

x+y-2=0上的圆的方程为(
(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4

C)

(C)(x-1)2+(y-1)2=4
(D)(x+1)2+(y+1)2=4
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知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程 圆心在原点的 圆的标准方程 判断点与圆 的位置关系
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