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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:构造一次方程组的技巧


一、利用同类项的定义构造: 例 1:已知

1 a 3n ? m b n ? m 和 9999 7?n a m?10 是同类项,则 m 2 ? n 2 ? ________ b . 1999
m 的值等于________. n

二、利用二元一次方程的定义构造: 例 2:若 3x 3m?5n?9 ? 4 y 4m?2n?7 ? 2

是二元一次方程,则 三、利用方程组的解的定义构造: 例 3:若 ?

?x ? 2 ?ax ? 3 y ? 1 是方程组 ? 的解,求 a、 b 的值. ?y ? 1 ?2ax ? by ? 5

四、利用相反数的性质构造: 例 4:已知 a 的相反数是 2b ? 1 , b 的相反数是 3a ? 1 ,则 a ? b ? ________ .
2 2

五、利用非负数性质构造: 例 5:如果实数 x, y 满足 x ? 2 ? ?x ? y? ? 0 ,那么 x ? ________ .
2
y

六、利用多项式恒等性质构造: 例 6:已知多项式 2 x 2 ? 3xy ? 2 y 2 ? x ? 8 y ? 6 可以分解为 ?x ? 2 y ? m??2 x ? y ? n? 的

形式,那么

m3 ? 1 ? ________ . n2 ?1

七、利用一次方程的解的特征构造: 例 7 : 已 知 关 于 x 的 方 程 a?x ? 3? ? b?3x ? 1? ? 5?x ? 1? 有 无 穷 多 个 解 , 那 么

a ? ________, ? ________ b .
八、取特殊值构造:
3 2 例 8 : 设 x ? 2 x ? ax ? b 除 以 ?x ? 2??x ? 1? 所 得 的 余 式 为 2 x ? 1 , 那 么

a ? ________, ? ________ b .
九、弱化某些未知数构造: 例 9:若 2 x ? 5 y ? 4 z ? 0, 十、利用新运算的定义构造: 例 10:对于实数 x, y 定义一种新运算 ? : x ? y ? ax ? by ? c, 其中 a、b、c 为常数,等 式右边是通常的加法与乘法运算. 已知: 3 ? 5 ? 15,

3x ? y ? 7 z ? 0, 则 x ? y ? z ? ________ .

4 ? 7 ? 28, 那么 1 ?1 ? ________ .


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