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圆锥曲线基础选择题练习


圆锥曲线基础选择题练习 1.如果实数 满足等式 ,那么 的最大值是( D ) A、 B、 C、 D、 2.若直线 与圆 相切,则 的值为( D ) A、 B、 C、 D、 3. 已知椭圆 的两个焦点为 、 , , AB 过点 , 且 弦 则△ 的周长为 ( D ) (A) (B) 10 20 (C)2 (D) 4.椭圆 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右

焦点的距离是( B ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8 5. 椭圆 的焦点 、 , 为椭圆上的一点, P 已知 , 则△ 的面积为 A ) ( (A) (B) (C) 9 12 10 (D)8 6.椭圆 上的点到直线 的最大距离是(D ) (A)3(B) (C) (D) 7.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是(D ) (A) (B) (C) 或 (D) 或 8. 过双曲线 的右焦点 F2 有一条弦 PQ, |PQ|=7,F1 是左焦点, 那么△F1PQ 的周长为 C ) ( (A)28 (B) (C) (D) 9.双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ,则双曲线的离心率为( B) (A) (B) (C) (D) 10.如果椭圆 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( D ) (A) (B) (C) (D) 圆锥曲线的填空题练习

1.与椭圆

具有相同的离心率且过点(2,-

)的椭圆的标准方程是



. ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的

12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(

标准方程是 3.过抛物线

. (p>0)的焦点 F 作一直线 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1

垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么 |P1Q1|= 4.若直线 . (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若

过抛物线

被抛物线截得的线段

长为 4,则 a=
1

5 已知双曲线

,则一条渐近线与实轴所构成

的角的取值范围是_________.[ EQ \f(π,4), EQ \f(π,3)]. 解析:依题意有

,∴

,即

,∴

,得

,∴

一、抛物线有关选择题 1.抛物线 的焦点坐标是 ( C ) A. B. C. D. 2.抛物线 的焦点到准线的距离是( B ) A. B. C. D. 3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 到焦点的距离为 5, 则抛物线方程为( D ) A. B. C. D. 4.抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程是 ( A ) A. B x= C D x= 5.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的长是( C ) A B4 C 8 D 2 6. 抛物线的顶点在原点, 焦点在 y 轴上, 其上的点 到焦点的距离为 5, 则抛物线方程为 (D ) A. B. C. D. 7 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+|PF| 取最小值,P 点的坐标为( B ) (A)(3,3) (B)(2,2) (C)( ,1) (D)(0,0) 8 过抛物线 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、 q,则 等于(C ) (A)2a (B) (C) (D) 解:作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线 段分别为 p,q,则 p=q=|FK| , 二、与抛物线有关的解答题 9.求经过点 的抛物线的标准方程. 解:由于点 P 在第三象限,所以抛物线方程可设为: 或 在第一种情形下,求得抛物线方程为: ;在第二种情形下,求得抛物线方程为: ; 10 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小. 解:如图,设抛物线的点 P 到准线的距离为|PQ|,由抛物线定义可知:|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|,显然当 P、Q、A 三点共线时,|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2),可设 P(x0,2)代入 y2=2x 得 x0=2.故点 P 的坐标为(2,2). 11.已知圆 与顶点原点 O,焦点在 x 轴上的抛物线交于 A、B 两 点,△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线 C 的方程. 解:设所求抛物线 ,因为△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点,所以 AB⊥X 轴,则可设 A , , .而 , , 由题意 ,可得 ,即 .又 A 点既在圆上又在抛物线上所以 得 所以 , 对抛物线做题方法的一些总结
2

1.重视定义在解题中的应用; 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的 转化。 2 注意确定四种标准方程的条件,明确抛物线的焦距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中的 系数的关系。

一、双曲线几何性质有关的选择题 1.下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D

A

-y2=1 和

-

=1

B

-y2=1 和 y2-

=1

C y2-

=1 和 x2-

=1

D

-y2=1 和

-

=1

2. 已知双曲线 (D ) A.1

的一个顶点到它的一条渐近线的距离为

, 则

B.2

C.3

D.4

3.与双曲线

有共同的渐近线,且经过点 A

的双曲线的一个焦点到

一条渐近线的距离是 (C ) A 8 B 4 C 2 D 1 2 2 4.双曲线 kx +4y =4k 的离心率小于 2,则 k 的取值范围是 ( C ) A (-∞,0) B (-3,0) C (-12,0) D (-12,1) 5 已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值 为 (D) (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5

6 如果双曲线

=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 (A )

(A)

(B)

(C)

(D)

7、设

分别是双曲线

的左、右焦点,若双曲线上存在点

,使



,则双曲线的离心率为(B )

A.

B.

C.

D.
3

8.已知双曲线

的左右焦点分别为 的面积等于(C ) (C)





的右支上一点,且

,则 (A) (B)

(D)

二.双曲线几何性质有关的填空题 双曲线几何性质有关的填空题

9.双曲线

的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是



10、若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为

,则 a+b 的值是



11.已知双曲线 近线夹角

的离心率的取值范围是

,则两渐

的取值范围是



三、双曲线几何性质有关的解答题 12.设椭圆与双曲线有共同焦点 F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的 2 倍, 试 求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法 1:设交点为 P(x,y),双曲线的实半轴长为 a (2<a<4),则椭圆长半轴长为 2a,

由半焦距为 4, 得它们的方程分别为:

(1) 和

=1 (2)

(2)(4─(1)得:

(3),代入(1)得:a2=2|x|

再代入(3)化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 解法 2: 用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得: 1P|=3( |F2P| 或 3( |F1P|=|F2P| . |F 即: 3 或 3 ,

化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9. 对双曲线几何性质的一些感悟 1 涉及双曲线上的点 到两个焦点 、 的距离问题为 ,即为焦半径公式,

请同学们可以尝试推导。 2 解决直线与双曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项的系 数和判别式,有时借助图形的几何性质更方便。 一、双曲线性质有关的选择题

4

1.方程 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是( A (0, ) B (0, ) C ( ,0) D ( ,0)

B



2.焦点为 ,且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是 (B A. B. C. D. ( D



3.若 ,双曲线 与双曲线 有 A.相同的虚轴 B.相同的实轴



C.相同的渐近线 D. 相同的焦点

7、双曲线 的两焦点为 在双曲线上,且满足 , )

则 的面积为(A

解:假设 ,由双曲线定义 且 ,

解得 而 由勾股定理得 8、给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ ④ ,其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A.①③ B.②④ C.①②③ ( D ) D.②③④

二.双曲线性质有关的解答题 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为 ; (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 .

(1)解:焦点在 x 轴上,设所求双曲线的方程为 =1.由题意,得 以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 . (2)解1:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为 =1 解得 , .所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 .

解得 , .∴ .所

由题意,得

同理可求当焦点在 y 轴上双曲线的方程为 .

解2:设以 为渐近线的双曲线的方程为
5

当 >0时, ,解得, = . 此时,所要求的双曲线的方程为 .

当 <0时, ,解得, =-1.此时,所要求的双曲线的方程为

双曲线性质有关试题解题技巧 1.由已知双曲线方程求基本量,注意首先将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦点 位置。 2 渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为 的双曲线方程可设为 ,若与 有共同的 渐近线也可以设出双曲线系

一、双曲线标准方程有关的选择题 1 动点 A 到点 B 及点 双曲线的一支 C 的距离之差为 两条射线 D ,则点 的轨迹是(D )

双曲线

一条射线 ( D ) 或

2.方程 A. B.

表示双曲线,则 C.

的取值范围是 D.

3. 双曲线 A.4 B. C.8

的焦距是 D.与

( C )

有关

4 如果双曲线 AF2| 等于( D ) A.5+

-y2=1 的两个焦点为 F1、F2,A 是双曲线上一点,且|AF1|=5,那么|

B.5+2

C.8

D.11

5.过双曲线 ( A ) A.28 B.22

左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 C.14 D.12

(F2 为右焦点)的周长是

6、
6

答案 A

7、 设

分别是双曲线

的左右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且

则 A. 8 已知

=(B ) B. C. D.

是双曲线的两个焦点, 是双曲线上任一点 Q (不是顶点)从某一焦点引 , ( B ) D 双曲线

的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是 A 直线 B 圆 C 椭圆 二、双曲线标准方程有关的填空题

9 过点 A(-2

, 4

)、 B(3, -2

)的双曲线的标准方程为

.



=1

10. 与双曲线 16x2-9y2=-144 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程为 =1 )





11.方程

+

=1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题:

①曲线 C 不可能是圆; ②若 1<k<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线, k<1 或 k>4; 则

④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k<

.其中正确的命题是__________.(③④)

解析:当 4-k=k-1,即 k=

时表示圆,否定命题①,显然 k=

∈(1,4),

∴否定命题②;若曲线 C 为双曲线,则有(4-k)(k-1)<0,即 4<k 或 k<1,故命题③正确;若曲

线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-k>k-1>0,解得 1<k<

,说明命题④正确. 答案:③④

7


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