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2012年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷


2012 年辽宁省普通高中学生学业水平考试模拟卷
1.下列说法正确的是 ( ) (A) ? ? N
*

(B) ? 2 ? Z

(C) 0 ? ?

(D) 2 ? Q

2.三个数 a ? 3

0.7

, b ? 0.7 , c ?

log 3 0.7 的大小顺序为(
3

) (D) c ? b ? a

(A) b ? c ? a 3. 2sin

(B) b ? a ? c 的值为( )

(C) c ? a ? b

?
12

? cos

?
12

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2


(D)1

4. 函数 y ? 4sin 2 x( x ? R) 是 ( (A) 周期为 2? 的奇函数 (C) 周期为 ? 的奇函数

(B)周期为 2? 的偶函数 (D) 周期为 ? 的偶函数

5.已知 a ? (1, 2) , b ? ? x,1? ,当 a + 2b 与 2a - b 共线时, x 值为(



(A) 1

(B)2

(C)

1 3

(D)

1 2

6. 某公司有员工 150 人,其中 50 岁以上的有 15 人,35~49 岁的有 45 人,不到 35 岁的有 90 人.为 了调查员工的身体健康状况,采用分层抽样方法从中抽取 30 名员工,则各年龄段人数分别为 ( ) (B) 5, 9, 16
1 2

(A) 5, 10, 15

(C) 3, 9, 18

(D) 3, 10, 17

7.在下列函数中:① f ( x) ? x 2 , ② f ( x) ? x 3 ,③ f ( x) ? cos x ,④ f ( x) ? x , 其中偶函数的个数是 ( (A)0 (B)1 ) ( C)2 (D)3

8. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示, 则数据在[50,70)的频率约为( )

(A)0.25

(B)0.05

(C)0.5 9. 把函数 y ? cos(x ? 小值为( (A)

(D)0.025

4? ) 的图象向右平移 ? ( ? >0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 ? 的最 3
(B)

? 6

)

? 3

(C)

2? 3

(D)

4? 3

10. 如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形. 直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正 方形内的概率为( ) (A)

1 13

(B)

2 13

(C)

3 13

(D)

4 13

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11. 已知 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 2x+4y 的最小值为( ? x ? 3. ?
(A)6 (B) 12 (C) -6

) Input x if x>0 then (D)-12

y ? cos x

Else 12.条件语句⑵的算法过程中,当输入 x ? 输出的结果是( A. ? )

4? 时, 3
3 2

y ? sin x
End Print y 第7题

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案填在题中的横线上) 13.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,给出四个命题:①若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? ; ②若 l / /? , ? / / ? , l ? ? ③若 l ? ? , ? / / ? , l ? ? ; ④若 l / /? , ? ? ? , l ? ? . 则 则 则 则 真命题的个数为 .
2

14.在等差数列 {an } 中,已知 a2 ? a8 ? 10, 则a5 的值为


主视图 2 左视图

15.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯 视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积为

2 2



16.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式:

俯视图

① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ;

② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是 (把你认为正确的不等式的序号全写上). 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明或演算步骤) A+C 3 17.(10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos = . 2 3 (Ⅰ)求 cosB 的值; (II)若 BA · =2,b=2 2,求 a 和 c 的值. BC

? ??? ??? ?

18.(10 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD ,

?ABC ? 60? , PA ? AC ? a , PB ? PD ? 2a ,
点 E 是 PD 的中点.证明: (Ⅰ) PA ⊥平面 ABCD ;(Ⅱ) PB ∥平面 EAC . 19.(10 分) 某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (I)求课外兴趣小组中男、女同学的人数; (II)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试验,求 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (III)在(II)的条件下,两名同学的试验结束后,男同学做试验得到的试验数据为 68、70、 71、72、74,女同学做试验得到的试验数据为 69、70、70、72、74,请问哪位同学的试验更稳 定?并说明理由.

20.(10 分) 已知圆 M 过两点 A (1,-1), B (-1,1),且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PC 、 PD 是圆 M 的两条切线, C 、 D 为切点, 求四边形 PCMD 面积的最小值.

21.(12 分) 在数列 ? an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 3 (Ⅰ)设 bn ?

n ?1



an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 3n

(Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n .

大连市 2012 年高二学业水平考试模拟测试参考答案与评分标准 一、选择题 1.B;2.D;3.A;4. C;5. D;6.C;7.C;8. B;9. B;10. A;11. C;12. B. 二、填空题 13.1;14.5;15. 三、解答题 A+C 3 B π A+C 3 17.解:(1)∵cos = ,∴sin =sin( - )= , 2 分 2 2B 31 2 2 2 3 ∴cosB=1-2sin = . ................................................................................5 分 2 3 ? ??? ??? ? 1 BC (2)由 BA · =2 可得 a· cosB=2,又 cosB= ,故 ac=6, .........................6 分 c· 3 2 2 2 2 2 由 b =a +c -2accosB 可得 a +c =12, .....................................................8 分 ∴(a-c)2=0,故 a=c,∴a=c= 6...............................................................10 分 18.证明:(1)?底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,
?

8 ;16.①④. 3

··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ? AB ? BC ? CD ? DA ? AC ? a . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · 2 分

? PA ? AC ,? PA ? AB ? a , PB ? 2a ,
··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ? PA ? AB ,同理可证 PA ? AD , · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · 4 分 又? AB ? AD ? A ,? PA ? 平面 ABCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ··········· ········· ·········· ········· (2)连结 AC,BD 相交于 O ,则 O 为 BD 的中点. ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· ? E 为 PD 的中点,? PB ∥OE . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · ·6 分 又? OE ? 平面 EAC , PB ? 平面 EAC ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ··········· ········· 8 ·········· ··········

··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· ? PB ∥平面 EAC . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · 10 分

n 4 1 1 2分 ? ? ?每个同学被抽到的概率为 . m 60 15 15 课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为 3,1. ................... 4 分 (II)把 3 名男同学和 1名女同学记为 a1 , a2 , a3 , b 则选取两名同学的基本事件有
19.解:(I) P ?

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b), (a2 , a3 ), (a2 , b), ( a3 , b), 共 6 种,其中有一名女同学的有 3 种 3 1 ?选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ? ? . ................... 8 分 6 2 68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 (III) x1 ? ? 71 , x2 ? ? 71 5 5 (68 ? 71)2 ? ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? ? ? (74 ? 71) 2 2 s12 ? ? 4 , s2 ? ? 3.2 2 5 5 ................. 10 分 ?女同学的实验更稳定. 0 20.解:(1)法一:线段 AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为 x ? y ? 0 . 2分 0 9 ? x ? y ? 0, 解方程组 ? 所以圆 M 的圆心坐标为(1,1). 0 ? x ? y ? 2 ? 0. 2 2 3 ··········· ····· 4 故所求圆 M 的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ·········· ······

?(1 ? a) 2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 根据题意得 ?(?1 ? a) ? (1 ? b) ? r , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · ?a ? b ? 2 ? 0. ? 解得 a ? b ? 1, r ? 2 . 2 2 故所求圆 M 的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · 分 ··········· ····· 4 ·········· ······ (2)由题知,四边形 PCMD 的面积为 1 1 ··········· ····· ·········· ····· S ? S?PMC ? S?PMD ? CM ?PC ? DM ?PD . · · · · · · · · · · ·· · · · · 6 分 2 2 又 CM ? DM ? 2 , PC ? PD ,
所以 S ? 2 PC ,而 PC ? | PM | ? | CM | ?
2 2

2 2 2 2 法二:设圆 M 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 5

| PM |2 ? 4 ,

2 即 S ? | PM | ?4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········

因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可, 即在直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上找一点 P ,使得 PM 的值最小, 所以 PM
min

?

3 ?1 ? 4 ?1 ? 8 32 ? 42

? 3 ,· · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · 分 ··········· ·········· · 9 ·········· ··········· ·

所以四边形 PCMD 面积的最小值为

S ? | PM |2 ?4 ? 2 32 ? 4 ? 2 5 . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ··10 分 ··········· ·········· · ·········· ···········

21.解: (Ⅰ) an ?1 ? 3an ? 3

n ?1

,∴

an ?1 an ? ? 1 ,于是 bn ?1 ? bn ? 1 , 3n ?1 3n

∴ ?bn ? 为首项和公差为 1 的等差数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · (Ⅱ)由 b1 ? 1 , bn ? n 得,

an ··········· ··· ·········· ··· ? n .∴ an ? n ? 3n . · · · · · · · · · · ·· · · 6 分 n 3

Sn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n , 3Sn ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,
两式相减,得 2 Sn ? n ? 3 解出 Sn ? ( ? )3 ②
n ?1

? (31 ? 32 ? ? ? 3n ) , · · · · · · · · · · ·· · · · · 10 分 ··········· ···· ·········· ·····

n 2

1 4

n ?1

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 ·········· ··········· ····· ? . · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·· · · · · · 分 4


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