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两角和与差的正切2


两角和与差的正切

1

复习

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ?

sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

2

两角和的正切公式:

/>tan(?

sin(α+β) ? ?) ? cos(α+β)

sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ 记:T(? + ? )
3

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tan ? ? tan(? ? ) tan[? ? (? ? )] ? 1 ? tan ? tan(? ? )

tanα- tanβ = 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记T(? -? )
4

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 记: T (? + ? ) 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记:T(? - ? )

注意:

1?必须在定义域范围内使用上述公式。 即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存在就 不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来 ? 解。如:已知tan ? =2,求 tan( ? ? )不能用 T(? ? ? )
2

2?注意公式的结构,尤其是符号。
5

问:如何求cot(a+β)?
有关两角和差的余切问题,一般都是将它由同角公 式的倒数关系化为两角和差的正切,用公式来解决.

1 1- tanαtanβ cot(α+β)= = tan(α+β) tanα+ tanβ
1 1+ tanαtanβ cot(α-β)= = tan(α-β) tanα- tanβ
6

例1

1: 求tan165?和tan285?的值:
2、化简: (1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案( : 1)tanα+ tanβ

(2)tanα

o o tan71 tan26 3、求值: (1) 1+ tan71o tan26o

1- 3tan75o (2) 3 + tan75o
(2) -1
7

答案:

(1) 1

练习 1.求下列各式的值:

1 ? tan 75 (1) 1 ? tan 75
(2) tan17?+tan28?+tan17?tan28?

(3)tan 20 ? tan 40?? 3 tan 20? tan 40
8

特别地
正切公式的变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 tanαtanβ)= tan(? ? ? )

9

2、已知 tan ?、 tan ? 是方程ax ? bx ? c ? 0(b ? 0, a ? c)
2

的两根, 求 tan(? ? ? )

若改为求cot(? +? )

10

例2

2 ? 1 已知 tan(? ? ? ) ? ,tan( ? ? )= , 5 4 4

2 变式:已知 cot ? ? 2,tan(? ? ? )=- , 3 求 tan( ? ? 2? )的值。
11

? 求 tan(? ? )的值。 4


例3

把下列各式化为一个角的三角函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x
12



a sin x ? b cos x
2 2

a sin x ? b cos x为一个角的三角函数形式
? a ? a ?b ? sin x ? 2 2 a ? b ? a ? cos x ? a 2 ? b2 ? b

? 令? ?

cos ? ? sin ? ?

a 2 ? b2 b a 2 ? b2

? a 2 ? b2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ?

b tan ? ? a

? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ?

或= a ? b cos ? x ? ? ?
2 2
13

练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

(1) 2 ? sin ? ? cos ? ?
3 1 (2) sin ? ? cos ? 2 2
2 6 ?? ? ?? ? (3) sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 ?6 ? 4 ?6 ?
14

练习

4、(1)求函数y ? sin x ? cos x的值域.
(2)函数y ? 3sin 2 x ? 3 3 cos 2 x ? 1的 最小值是 最大值是 ,对应的x值是 ,对应的的x值是 ; 。

15


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