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2014年北京市海淀区高三数学二模试题(文科)


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (文科) 2014.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.

已知全集为 R ,集合 A ? {x | x ≥ 1} ,那么集合 ?R A 等于 A. {x | x ? 1} B. {x | x ? ?1} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? ?1}

2. 已知命题 p: ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为 A. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 B. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 D. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0

(0, +?) 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的是
A. y ? x3 B. y ?

x

C. y ? cos x

D. y ? 2

x

4.设 a ? log 2 3 , b ? log 4 3 , c ? sin 90? ,则 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a

? x ? y ? 1 ? 0, 5.下面给出的四个点中, 位于 ? 表示的平面区域内,且到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 ?x ? y ? 1 ? 0


2 的点是 2
B. ( ?2,1) C. (0,3) D. (1,1)
B A D C

A. ( ?1,1)

6.已知向量 AC , AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示, 若 AC ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? ? A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3

7. 如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定 了与 A,B 不共线的一点 C ,然后给出了三种测量方案:( ?ABC 的角

B

A, B, C 所对的边分别记为 a , b, c ):
① 测量 A, C , b ② 测量 a, b, C ③测量 A, B, a
A

则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为 A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
C1 B1 A1 D1

8. 已知点 E , F 分别是正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AB, AA 1 的中点,点

M , N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有
D

F C A E B

A.0 条

B.1 条

C.2 条

D.无数条

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 复数 2+i 的模等于______. 10. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左顶点, 则 p ? _____. 11. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为_______. 12. 下列函数中: ① y ? ? sin 2 x ;② y ? cos 2 x ;③ y ? 3sin(2 x ?
开始

S=0,n=1 S=S+n

n ? n2 ? 1

?
4

),


其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数 f ( x ) ? sin 2 x 的图象 重合的是_____.(填上符合要求的函数对应的序号)

n>10
是 输出 S

?a , x ? 3, 13. 已知实数 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? ? ? ax ? b , x ? 3.
x

结束

若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N* ) ,且 {an } 是等差数列,则 a ? ___, b ? ____. 14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验, 把一块试验田划分为 8 块面积相等的区域 (除 了种植密度,其它影响作物生长的因素都保持一致) ,种植密度和单株产量统计如下:
种植密度(株数/m2)
5 4.5 4 3 2.4 2 1
1.28 1.0 0.72 0.6 0.4 0.2

单株产量(千克)

区域
1 2 3 4 5 6 7 8

区域
1 2 3 4 5 6 7 8

O

代号

O

代号
2

根据上表所提供信息,第_____号区域的总产量最大,该区域种植密度为_____株/ m .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有零点,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 13 分) 下图为某地区 2012 年 1 月到 2013 年 1 月鲜蔬价格指数的变化情况:

记 Δx ? 本月价格指数 ? 上月价格指数. 规定:当 Δx ? 0 时,称本月价格指数环比增长; 当 ?x ? 0 时,称本月价格指数环比下降;当 ?x ? 0 时,称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较 2012 年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小(不要求计算过程) ; (Ⅱ) 直接写出从 2012 年 2 月到 2013 年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降 的月份. 若从这 .. 12 个月中随机选择连续的两个月进行观察,求所选两个月的价格指数都 环比下降的概 . 率; (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)

17.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA1 ? 底 面 ABC ,
C1 B1 F A1

AB ? AC, AC ? AA1 ,E、F 分别是棱 BC、CC1 的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面 AA1 C1C; (Ⅱ) 若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 , 试确定点 D 的位置,并说明理由; (Ⅲ)证明: EF ⊥A1C.

C E B

A

18.(本小题满分 13 分)
1 3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? b ,其中 a , b ? R 且 a ? 0 . 3

(Ⅰ)求证:函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与 f ( x ) 总有两个不同的公共点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为

2 ,短轴端点分别为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 BC 与 x 轴交于点 M ,判断以 线段 MD 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 给定正整数 k ? 3 , 若项数为 k 的数列 ?an ? 满足:对任意的 i ? 1,2, (其中 Sk ? a1 ? a2 ?

, k ,均有 ai ≤

Sk k -1

? ak ) ,则称数列 ?an ? 为“Γ 数列”.

3 32 33 (Ⅰ)判断数列 ?1,3,5, 2, 4 和 , 2 , 3 是否是“Γ 数列”,并说明理由; 4 4 4
(Ⅱ)若 ?an ? 为“Γ 数列”,求证: ai ? 0 对 i ? 1,2,

, k 恒成立;

(Ⅲ)设 ?bn ? 是公差为 d 的无穷项等差数列,若对任意的正整数 m ≥ 3 , b1 , b2 , 均构成“Γ 数列”,求 ?bn ? 的公差 d .

, bm


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