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数学基础知识、常见结论详解


数学必修 1-5 基础知识、常见结论详解
系统全面 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。 知识精要 一册在手 时刻明心 一、集合与函数的概念

集合元素的互异性:如:

A ? { x, xy, lg(xy)} , B{0, | x |, y} ,求 A ;
?

>
(2)集合与元素的关系用符号 ? , ? 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 N ;正整数集 N (4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 、N+;整数集 Z ;有理数集 Q 、实数集 R 。 。

注 意 : 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 : A ? { x | y ? x 2 ? 2 x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2 x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2 x ? 1} ; D ? { x | x ? x 2 ? 2 x ? 1} ;
E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? Z , y ? Z } ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2 x ? 1} ; G ? { z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ?

y } x

(5)空集是指不含任何元素的集合。 ( {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 。 ...................... 注意:条件为

A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。

二、元素与集合、集合与集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?,? ”是表示元素 与集合 之间关系的,空间几何体中的体现 点与直线(面)的关系 ; .. .. (2)集合间的基本关系 符号“ ? , ? ”是表示集合 与集合 之间关系的,空间几何体中的体现 面与直线(面)的关系 。 .. .. 子集 交集

A? B

真子集

相等 并集 A

A ? B ? { x | x ? A且x ? B} ;

B ? { x | x ? A或x ? B} ;

补集 CU A ? { x |

x ? U 但x ? A}
A, B ,则: A; A ? B ? B ? A ; A? B ? A? B ;

(3)对于任意集合



A B?B



A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? B ? A;

-1-

C U A ? B ? U ? A ? B ; CU A ? B ? ? ? B ? A ;
③ (CU A) ? (CU B) ?

CU ( A ? B) ; (CU A) ? (CU B) ? ? CU ( A ? B) ;
;若 n 为奇数,则 n ? 2k+1 ; 3k ; 若 n 被 3 除余 1, 则 n ? 3k+1 或 3k-2; 若 n 被 3 除余 2, 则 n ? 3k+2

(4)①若 n 为偶数,则 n ? 2k ②若 n 被 3 除余 0, 则n ? 或 3k-1;(k ? Z) 三、集合中元素的个数的计算:

(1)若集合 A 中有 n 个元素,则集合 真子集的个数是 2 -2。 (2)韦恩图的运用: (3)区分 ?
N

A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子集的个数是 2 -1,所有非空
N N

?

?
?

四、函数及其表示 (一)函数的概念: 函数

y ? ? ( x ) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为

1 或 0 个。

(二) 、函数的三要素: 定义域 , 对应法则 , 值域 。 相同函数的判断方法:① (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: ⑤方程法 (2)函数定义域的求法: ① 定义域相同 ;②对应法则相同 (两点必须同时具备)

y?

f ( x) ,则 g ( x ) ? 0 ; g( x )



y ? 2 n f ( x ) (n ? N * ) 则 f ( x ) ? 0 ;
? f ( x )? 0 ? ; g( x) ,则 ? f ( x ) ? 1 ? g ( x )? 0 ?



y ? [ f ( x )]

0

,则

f ( x) ? 0 ;

④如:

y?log f ( x)



y ? a x ,则 a ? 0且a ? 1 ;



y ? tan[ f ( x )] ,则 f ( x ) ? k? ?

?
2



⑦含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数

y ? f ( x ) 的定义域是 [0,1] ,求 ? ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 的定义域。

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已 知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇形面积为 S ,则 S (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: -2-

? f (r ) ? 10r ? r 2 ;定义域为 o ? r ? 10 。

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
②逆求法(反求法、反函数法,分离常数法) :通过反解,用

y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等

式,得出

y 的取值范围;常用来解,型如: y ?

ax ? b , x ? ( m , n) ; cx ? d

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想,型如; ⑤三角有界法: 转化为只含正弦、 余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域, 如;y

? ?2(sinx ? 2) 2 ? 2

⑥基本不等式法:转化成型如:

y? x?

k ( k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1| (1 ? x ? 3)
⑨判别式法:形如

a1 x 2 ? b1 x ? c1 f ( x) ? (a ? 0) 的函数化为关于 X 的方程由判别式求 Y 的范围。 a2 x 2 ? b2 x ? c2 2
y? a ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [?1,1]) (2 种方法) ; a ? bx

求下列函数的值域:①

x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 , x ? ( ? ?,0) (2 种方法) , x ? ( ? ?,0) (2 种方法) ②y? ;③ y ? ; x x ?1
(三) 、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法(同增异减)和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。证明单调性只能根据定义法或导数法。 结论: (1)单调性的运算性质:增函数+增函数是增函数,减函数+减函数是减函数,增函数-减函数是增函数, 减函数-增函数是减函数; (2) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性具有相同的单调性, 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反 的单调性; (3)倒数求函数的单调性:

f ( x )' ? 0 的对应区间分别单调递增, f ( x )' ? 0 的对应区间分别单调递减。

奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x)

? f(x)为偶函数;
-3-

f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x) 判别方法:定义法, 应用:把函数值进行转化求解。 结论: (1)如果一个奇函数 图像法

? f(x)为奇函数。

,复合函数法

f ( x ) 在 x ? 0 处有定义,那么 f (0) ? 0
y 轴轴对称。

(2)图像特征:奇函数的图像关于原点中心对称,偶函数的图像关于 偶函数 ? 偶函数=偶函数,奇函数的反函数是奇函数。

(3)在公共的定义域上,奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数,奇函数 ? 奇函数=偶函数, 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 (四) 、函数的图像 (1)识图(分布范围、变化趋势、对称性、周期性、单调性等) ,作图(描点法、变换法) ,用图 (2)图形变换:函数图像变换: (重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 1:平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过向左平移 2 个 单位得到函数y=f(2x . . +4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 a (m,n)平移的意义。 2:对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称

y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。 (注意:它是一个偶函数) 3:伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(b+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线

x?

a?b 对称; 2

如: (1)

y ? f ( x ) 的图象如图,作出下列函数图象:
y y=f(x)

y ? f (? x ) ; (2) y ? ? f ( x ) ; (3) y ? f (| x |) ; (4)

y ?| f ( x ) | ; (5) y ? f ( 2 x ) ; (6) y ? f ( x ? 1) ;
(7)
?1 y ? f ( x) ? 1 ; (8) y ? ? f ( ? x ) ; (9) y ? f ( x ) 。

五、映射与函数: (1)映射的概念: (象与原象) 如:若

O (2,0) (0,-1 )

x

A ? {1,2,3,4} , B ? {a , b, c} ;问: A 到 B 的映射有

34

个, B 到

A 的映射有

43 个;

-4-

二、基本初等函数 一、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式:

y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数;

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 x ? ?

b 2a

;顶点为 ( ?

b 4ac ? b2 , ); 2a 4a

两点式:

y ? a( x ? x1 )( x ? x 2 ) ;对称轴方程是 x ?

x1 ? x2 2

;与 x 轴的交点为 ( x1 ,0);( x2 ,0) ;

顶点式:

y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 x ? k ;顶点为 (k , h) ;

①一元二次函数的单调性: 当a

? 0 时: [?

b b b , ?? ) 上为增函数; ( ??, ? ] 上为减函数;当 a ? 0 时: ( ??, ? ] 上 2a 2a 2a

为增函数; [?

b , ?? ) 上为减函数; 2a

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 Ⅰ、若对称轴在给定的区间上,则

y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式,

a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若对称轴不在给定的区间上,则

a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型: (1)对称轴固定,区间也固定。如:

y ? x 2 ? x ? 1, x ?[?1,1]

(2)对称轴含参数(即对称轴变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之 外。 (3) 对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. ③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程

y ? x 2 ? x ? 1, x ? [a, a ? 1]

f ( x ) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为

x1 , x 2 ;则:(考虑四个方面 1:开口方向;2:判别式;3:对称轴位置;4:端点值的正负)
-5-

根的情况

x2 ? x1 ? k
在区间 ( k ,??) 上有两 根

x1 ? x2 ? k
在区间 ( ??, k ) 上有两 根

x1 ? k ? x 2
在区间 ( k ,??) 或

等价命题

(??, k ) 上有一根

充要条件

? ? ??0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

? ? ??0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

f (k ) ? 0

注意:若在闭区间 [m, n] 讨论方程 布的情况,得出结果,在令

f ( x ) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 ( m, n) 上实根分

x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。

(3)反比例函数:

y?

k k ( x ? 0) ? y ? a ? x x?b

(4)指数函数:

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
s

指数运算法则: a

? a t ? a s?t ;

as ? a s ? t ; (a s )t ? a st 。 at

指数函数:y= a

x

(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1

和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 (同则大于 1,异则小于 1) (5)对数函数:

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
x x ? loga y ? loga ( xy ) ;log a x ? loga y ? loga ( ) ;loga xn ? n loga x ; y
a

对数运算法则:loga

对数运算: loga

1

? 0 , loga ? 1 , (a ? 0, a ? 1)
b

对数换底公式和恒等式: loga

?

logc logc

b a

(a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0) , a loga ? N ,

N

对数函数:y= loga

x

(a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分

a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 -6-

注意: (1)

y ? a x 与 y ? loga x 的图象关系是关于直线 y=x 对称;

(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同 底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 六、对钩函数

y? x?

k ( k ? 0) 的图象: x

定义域:

x ? 0 ;值域: (?? ,? k ]

[ k ?? , ; )

奇偶性:奇函数;

单调性:

是增函数; (? k ,0 (??, ? k ]及[ k , ??) ), ( 0, k ) 是减函数。

一切函数问题。定义域优先 ............
七、函数的应用 (1)函数与方程 1 函数的零点与方程的根、求函数的零点的方法①直接求方程的根②图象法③零点存在性定理。 2 二分法:能用二分法求解的,图象一定要穿越 x 轴;即在给定区间 ( a , b ) 上 (2)函数模型及其应用 一次函数(直线上升) ;指数函数(爆炸式);对数函数(缓慢增长) 给定函数模型解决实际问题;建立确定的函数模型解决实际问题 三、空间几何体 一、柱、锥台、球的本质特征 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图 。 ....... 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角(直接法或向量法 cos ? 距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{0 .90 }(直接法和 cos ?
0 0

f (a ) f (b) ? 0

?

? ?? a ? b ? ? 900 )和异面直线间的 0 | a | ? | b | ? ? 90 ? ? ? ? ?

? cos ?1 cos ? 2 或

向量法 ?

?

?
2

? ? 或? ? ? ?

?
2

) -7-

⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理 . 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系 与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交, (垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明 线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ ?

?直接法 ?体积法 ? S射 S原


(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ( cos ?

①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法,一般是二面交的两个面只有一个公共点,两个面的交线不容易找到时用此法。 5.棱柱 (1)掌握棱柱的定义、分类,理解直棱柱、正棱柱的性质。 (2)掌握长方体的对角线的性质。 (3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以及它们 的特有性质。 (4)S 侧=各侧面的面积和。思考:对于特殊的棱柱,又如何计算? (5)V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算? 6.棱锥 1. 棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心)

2. 相关计算:S 侧=各侧面的面积和

,V=

1 3

Sh

7.球的相关概念:S 球=4π R

2

V 球=

4 3

πR

3

球面距离的概念大、小圆概念及截面性质

8.正多面体:掌握定义和正多面体的种数(是哪几个?) 。 掌握欧拉公式:V+F-E=2 主要思想与方法: 1.计算问题: (1)空间角的计算步骤:一作、二证、三算 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 范围:0°<θ ≤90° 方法:①平移法;②补形法. -8范围:0°≤θ ≤90° 方法:关键是作垂线,找射影. 其中:V 顶点数 E 棱数 F 面数 9.会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。

二面角

方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 . 注:二面角的计算也可利用射影面

积公式 S′=Scosθ 来计算 (2)空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 .七种距离之间有密切联系, 有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间 的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点 . 求点到平面的距离:(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长 .(2)转移法,转化成求另一点到该平 面的距离.(3)体积法. 求异面直线的距离:(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法,依据 是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 . 2.平面图形的翻折,要注意翻折 前后的长度、角度、位置的变化,翻折前后在同一个三角形中的角度、长度 .. 不变 3.在解答立体几何的有关问题时,应注意使用转化的思想: ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. ②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ③补法把不规则的图形转化成规则图形,把复杂图形转化成简单图形. ④利用三棱锥体积的自等性,将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. ⑤平行转化

⑥垂直转化

八、平面解析几何 (一)直线与圆知识要点 1.直线的倾斜角与斜率 k=tgα ,直线的倾斜角α 一定存在,范围是[0,π ],但斜率不一定存在。牢记下列 图像。 斜率的求法:依据直线方程 够根据方程,说出几何意义。 3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条 直线的位置关系。 (斜率相等还有可能重合) 4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。 5.点到直线的距离公式。 6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。 8.圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r
2 2 2

依据倾斜角

依据两点的坐标

K

2.直线方程的几种形式,能根据条件,合理的写出直线的方程;能

O


π α

-9-

圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0 圆锥曲线方程 直线与圆:

2

2

注意表示圆的条件。

掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。

方的 解 的 情 况 。 ?位 置 关 系 , 经 常 抓 为 程 ? 解 ?弦 长 。 运 用 韦 达 定 理 决 ?面 积 。 注 意 合 理 分 析 ?

注意点: (1)注意防止由于“零截距 ”和“无斜率 ”造成丢解 ... ... (2)要学会变形使用两点间距离公式 d

? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
或d

,当已知直线 l 的斜率 k 时,公

式变形为 d

? 1 ? k 2 x 2 ? x1

? 1?

1 y 2 ? y1 k2



(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论: 1. 直线的倾斜角α 的范围是[0,π ) 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系:当倾斜角是锐角是,斜率 k 随着倾斜角α 的增大而增大。当α 是钝角 时,k 与α 同增减。 3. 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4. 两直线:L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2 ? A1A2+B1B2=0 5. 点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。 6. 有关对称的一些结论 ① ② ③ ④ 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 如何求点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b)对 称的直线方程有时什么? 如何处理与光的入射与反射问题? 8.曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为: (1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴 (4)原点 (5)直线 y=x (6)直线 y=-x (7)直线 x=a 9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 - 10 (a,-b) , (-a,b) , (-a,-b) , (b,a)

点 P(x0,y0),圆的方程:(x-a) +(y-b) =r . 如果(x0-a) +(y0-b) >r 如果 如果
2 2 2 2 0 0 0 0

2

2

2

? 点 P(x ,y )在圆外; (x -a) +(y -b) <r ? 点 P(x ,y )在圆内; (x -a) +(y -b) =r ? 点 P(x ,y )在圆上。
2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2

10.圆上一点的切线方程:点 P(x0,y0)在圆 x +y =r 上,那么过点 P 的切线方程为:x0x+y0y=r . 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问 题。d>r ? 相离 半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d<|R-r| ? 两圆内含
2 2 2 2

d=r ? 相切

d<r ? 相交

13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为 d,两圆的 d=r+R ? 两圆相外切 d=|R-r| ? 两圆相内切 d=0,两圆同心。

14.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x +y +D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 18.直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=

1 ? k 2 | x1 ? x 2 |
十、概率统计 P(A)=0,随机事件的定义 0<P(A)<1。

1.必然事件 P(A)=1,不可能事件

互斥事件(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生,这时 P(A?B)=0)P(A+B)=P(A)+ P(B) 对立事件(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。这时 P(A?B)=0)P(A) + P(B)=1 2.等可能事件的概率: (1) :古典概率:基本事件个数有限个,基本事件等可能的;

(2)古典概率公式:P(A)= 3.几何概率

m n

理解这里 m、n的意义。

三、导 1.求导法则: (c) =0
n / /



这里 c 是常数。即常数的导数值为0。
n-1 / -1 /

(x ) =nx

特别地:(x) =1

(x ) = (

1 ) =-x x
/

-2

(f(x)±g(x)) = f (x)±g (x)

/

/

/

(k?f(x)) = k?f (x)

/

/

2.导数的几何物理意义: k=f (x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V=s (t)
/ /

表示即时速度。a=v (t)

/

表示加速度。 - 11 -

3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 ㈠

f ?( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。

f ?( x ) ? 0 能推出 f ( x ) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x ) ? x 3 在 (??,??) 上单调递增,


f ?( x ) ? 0 ,∴ f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件。


f ?( x ) ? 0 时, f ?( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。 f ?( x ) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x ) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f ( x ) 为增函数, f ?( x ) ? 0 。∴当 f ?( x ) ? 0 时, f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分必要条件。

若将 就一定有 ㈢

f ?( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。

f ( x ) 为增函数,一定可以推出 f ?( x ) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x ) ? 0 ,即为 f ?( x ) ? 0 或 f ?( x ) ? 0 。 当函数在某个区间内恒有 f ?( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 为常数, 函数不具有单调性。 ∴ f ?( x ) ? 0


f ( x ) 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导

数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论 以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程, 已知 (3)解不等式

y ? f ( x)

(1)分析

y ? f ( x ) 的定义域;(2)求导数 y ? ? f ?( x )

f ?( x ) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式 f ?( x ) ? 0 ,解集在定义域内

的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性。以下以 增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小 值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 f (x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 ? f (x0)=0
/ /

y ? f ( x ) 在某个区间内可导。

判断极值,还需结合函数的单调性说明。 - 12 -

4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 n 次多项式的导数问题属 于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意:

①若 ab>0,且 a<b,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b ?

0 ,则

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? ab ; 2
2

基本变形:① a ? b

? 2 ab ; (

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) ②若 a , b ? R ,则 a ? b ? 2ab , 2 2
2

基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ?

p (常数) ,当且仅当 a ? b 时, a ? b最小为2 ab ? 2 p ;

当a

? b ? S (常数) ,当且仅当 a ? b 时, ab最大为(

a+ b 2 s 2 ) ? 2 4



常用的方法为:拆、凑、平方;

如:①函数

y ? 4x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2

8。

②若正数

x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值 3 ? 2 2 。 x y

- 13 -

三、绝对值不等式: ?(| a | ? | b |)

?|a|?|b| ?|a?b|?|a|?|b|

注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设 a , b ? (2) | a

R ,则 a 2 ? 0, (a ? b) 2 ? 0 (当且仅当 a ? b 时取等号)

; | a |? ? a (当且仅当 a ? 0 时取等号) ; ? | a |? a ?| a | |? a (当且仅当 a ? 0 时取等号)

(3) a

? b, ab ? 0 ?

1 1 1 1 ? ; ? ? a ? b, ab ? 0或b ? 0 ? a ; a b a b
A? B ? 0 ? A? B

五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证??只需证??,只需证?? (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如:

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 ; a 2 ? 1 ? a
1 n ? 2( n ? n ? 1) 等



n(n ? 1) ? n ; 2( n ? 1 ? n ) ?
⑵将分子或分母放大(或缩小)

⑶利用基本不等式,如: log3 ? lg 5

?(

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

n( n ? 1) ?
⑷利用常用结论: Ⅰ、

n ? ( n ? 1) 2

k ?1? k ?

1 k ?1 ? k
- 14 -

?

1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 ? ? ? 2 k ( k ? 1) k ? 1 k k



1 1 1 1 (程度大) ? ? ? 2 k ( k ? 1) k k ? 1 k
; (程度小)

Ⅲ、

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 k k ? 1 ( k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和 代数换元。如: 已知

x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin? ;

已知 已知

y ? a ? x 2 ( a ? 0 ),可设 x ? a sin? , 则y ? a cos? ;
x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin? ( 0 ? r ? 1 );
x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin? ; a 2 b2 x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a se c? , y ? b tan? a 2 b2


已知

已知

(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ?

b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 x ?

b a

;⑵若 a

? 0 ,则 x ?

b a



Ⅱ、 ax ?

b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 x ?

b a

;⑵若 a

? 0 ,则 x ?

b a



(2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 ? 进行讨论: (5)绝对值不等式:若 a

? 0 ,则 | x |? a ? ?a ? x ? a ; | x |? a ? x ? a或x ? ?a ;

注意:(1).几何意义: |

x |:

;|

x ? m |:



(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴ 对绝 对值 内的 部分 按大 于、 等于 、小 于零 进行 讨论 去绝 对值 ;① 若

a?0



| a |?

;②若 a

? 0 则 | a |?
- 15 -

;③若 a

? 0 则 | a |?



(3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ⑴

f ( x) ?0? g( x ) f ( x) ?0? g( x )
f ( x ) |?| g( x ) |?

;⑵

f ( x) ?0? g( x ) f ( x) ?0? g( x )






;⑷



(5) |

(7)不等式组的解法: 分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集, 即是这个不等式组的解集, 在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况 (有时要分析△) ,比较两个根的大小 , 设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参数,要分

x1 ? x 2 、 x1 ? x 2 、

x1 ? x 2 讨论。
五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问 题: (1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 n 项和 S n ,则其通项

为 an

? S 1 ( n ? 1), 若 a1 ? S1 满足,则通项公式可写成 a n ? S n ? S n?1 . ?? ? S n ? S n?1 ( n ? 2, n ? N ).

(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练 地进行计算,是高考命题重点考查的内容. (3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习 应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比 数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 S n

?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 及 S n ? na1 (q ? 1) ;已知 S n 1? q

求 a n 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解. - 16 -

(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有 关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用, 决不是简单地模仿和套用所能完成的 .特别 注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减) 、摆动(周期) 、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= ?

?

S 1 ( n ? 1)

? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

10、等差数列的通项公式:a n

? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ,d ?

an ? am n?m

(其中 a1

为首项、 a m 为已知的第 m 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常数。

11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= na 1

?

n( n ? 1) d 2

S n=

n(a1 ? a n ) 2

Sn= na n

?

n( n ? 1) d 2

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正比例式。 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (是关于 n 的正比例式);

(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1

a1 (1 ? q n ) 当 q≠1 时,Sn= 1? q
三、有关等差、等比数列的结论

Sn=

a1 ? a n q 1? q

14、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 a m

? a n ? a p ? aq

? a n ? a p ? aq

- 17 -

17、等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。

(q ? ?1) 时成立。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an ? bn}、 ?

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列。 ? bn ? ? b n ?

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 24、{an}为等差数列,则
an

(为什么?)限定了公比为正 .......

?c ? (c>0)是等比数列。

25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是等差数列。 26. 在等差数列

?an ?中:
S偶 ? S奇 ? nd ? S偶 ? an?1
S偶 S奇 S奇 S偶 ? ? an?1 an

(1)若项数为 2 n ,则

(2)若数为 2n ? 1 则, S 奇

n ?1 , S 2 n?1 ? an?1 ? (2n ? 1) n

27. 在等比数列

?an ?中:
S偶 S奇 ?q

(1)

若项数为 2 n ,则

(2)若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q

四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n 30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如 an= nC100 32、求数列{an}的最大、最小项的方法: - 18 n



an+1

? ? 0 递增 ? -a =?? ? ? 0 常数列 ? <0 递减 ?
n

如 an= -2n2+29n-3



an ?1 ? an

? ? 1 递增 ? ? ? 1 常数列 ? ? 1 递减 ?

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 33、在等差数列

?an ? 中,有关 S

n n ? 156
2

n

的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当

>0,d<0 时,满足

的项数 m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念:

取最小值。

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算: (1)

A1 A2 ? A2 A3 ? L ? An?1 An ? A1 An .
. ? x2 , y1 ? y2 )

(2)若 a=( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 a ? b=( x1

向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量

AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形

ABCD ,则两条对角线的向量

AC = a + b , BD = b -

a , DB = a - b
且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a

? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱.
a +( b +c)=( a + b )+c
(结合律);

向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律);

a +0= a

a +(- a )=0.

3.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。 (1)︱ ?

a ︱=︱ ? ︱?︱ a ︱;
- 19 -

(2) 当 ? >0 时, ?

a 与 a 的方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向相反;当 ? =0 时, ? a =0.

(3)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? ? a =( ?x1 , ?y1 ) . 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? (2) 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 a ∥b ? 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 ,? 2 , 使得 a = ?1 e1+

a.

x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

?2 e .
2

4.P 分有向线段 P 1P 2 所成的比: 设 P1、P2 是直线 l 上两个点,点 P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 ? 使 P 1P = ?

P P2



?

叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比。

? >0;当点 P 在线段 P1 P2 或 P2 P ? <0; 当点 P 在线段 P 1P 2 上时, 1 的延长线上时,
分点坐标公式:若

P1 P

=?

P P2

;P 1 , P, P 2 的坐标分别为(

x1 , y1 ) , ( x , y

),(

;则 x2 , y 2 )

?x 2 ? x ? x11? ?? ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ?
5. 向量的数量积: (1) .向量的夹角:

( ? ≠-1) , 中点坐标公式:

x2 ? x ? x1 ? ? y ? y1 2 ? y2 2 ?



已知两个非零向量 a 与 b,作 OA = a , (2) .两个向量的数量积:

OB =b,则∠AOB= ?

(0

0

? ? ? 1800 )叫做向量 a 与 b 的夹角。

已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ? ,则 a ?b=︱ a ︱?︱b︱cos ? . 其中︱b︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 e? a = a ?e=︱ a ︱cos ? - 20 (e 为单位向量);

a ⊥b ? a ?b=0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a ,b 为非零向量);︱ a ︱= a ? a ? x1 ? y1
cos ? =

2

2

;

a?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



(4) .向量的数量积的运算律:

a ?b=b? a ;( ? a )?b= ? ( a ?b)= a ?( ?
6.主要思想与方法:

b);( a +b)?c= a ?c+b?c.

本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理 向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角, 判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进 行综合考查,是知识的交汇点。

- 21 -


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