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7 立体几何学案


第七章
7.1 空间几何体的结构、表面积、体积 一、知识梳理: 1.柱、锥、台、球 的结构特征 圆柱

立体几何

二、例题选讲 1.下面各图中,棱柱的个数是( )

棱柱 A 1 B 2 C 3 D 4

圆锥

棱锥

2.给出下列命题:①圆柱的底

面是圆,②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形,③连结圆 柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线,④圆柱的任意两条母线互相平行,其中正确命 题的个数共有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

圆台

棱台



A

B

C

D )

4.用长为 4,宽为 2 的矩形作为侧面围成一个圆柱,则此圆柱轴截面面积为( 2.表面积 A
8

?

B 8

C

4

?

D

2

?

5.圆锥轴截面是等腰直角三角形,其底面积为 10,则它的侧面积为( A 10 2 3.体积 三、练习 1.下列命题正确的是( A C ) B
10 2?



C

5 2

D

5 2?

由五个平面围成的多面体只能是四棱锥

B 棱锥的高线可能在几何体之外

仅有一组对面平行的六面体是棱台 D 有一个面是多边形, 其余各面是三角形的几何体是棱锥

1

2.下面图形中是正方体展开图的是

10. 已知球的半径为 10cm, 若它的一个截面圆的面积是 36?cm ,则球心与截面圆圆心的距离是____.

2

A.

B.

C.

D.

3.下列说法不正确的是( ) A 圆柱的侧面展开图是一个矩形 C 圆台平行于底面的截面是圆面 4.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A
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11.球面上三点 A、B、C,若 AB=18,BC=24,AC=30,且球心到 ? ABC 所在平面的距离等于球半径的 一半,求这个球的表面积.

B 圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形 D 半圆绕直径所在的直线旋转一周得到的是球 )
3 3

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3

B

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2 3

C

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D

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4 3

12.直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各顶点都在同一球面上,若 A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? B A C ? 120 ? , 则此球的表面积等于 。

5.若三个球的表面积之比是 1:2:3,则它们的体积之比是( A
1: 2 :3



B

1:

2 :

3

C

1: 2 2 :3 3

D

1: 4 :7

13.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。 (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表 面积是( A 2 5?
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) B
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5 0?

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1 2 5?

D

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都不对 )
3 :3

7.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A
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14.求棱长为6的正四面体的外接球和内切球的体积。

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3 :1

B

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2:

3 D

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8. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A
3
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5

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?R

3

B

3
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?R

3

C

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?R

3

D

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?R

3

24

8

24

8

9.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2 cm ,则球的表面积是( A
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8? cm

2



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1 2 ? cm

2



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1 6 ? cm

2



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2 0 ? cm

2

2

7.2 空间几何体的三视图 一、知识梳理: 正视图:________________,侧视图:_______________俯视图:__________________. __________、__________、___________统称为几何体的三视图 二、例题选讲 2、一个建筑物的三视图如右图,则组成该建筑物的组合体是( A C 圆柱和圆锥 B 正方体和圆锥 )

3. (2007 年海南、宁夏卷) 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸 (单位: , cm) 可得这个几何体的体积是 ( A. B.
4000 3 8000 3 cm cm
3



3

20 20 正 视 图 10 10 20 侧 视 图

C. 2000cm D. 4000cm

3

正四棱柱和圆锥 D 正方形和圆

3

3. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

20 俯 视 图 2 5.(2009 宁夏海南卷文)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm )为 (A) 4 8 ? 1 2 2 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 6、图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________
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(B) 4 8 ? 2 4 2 (D) 3 6 ? 2 4 2

(C) 3 6 ? 1 2 2

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1.(2009 辽宁卷理)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 则该几何体的体积为 。 图(1) A.3 m 图(2)
3

B.4 m

3

C.6 m

3

D.12 m

3

3343

4.如右图所示的直观图,其平面图形 ? A O B 的面积为( A. 3 B.
3 2 2


2

C. 6

D.. 3

2

7.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个 正三棱柱的高和底面边长分别为______、 。

2 3

主视图

左视图

俯视图

3

7.3 点、直线、平面之间的位置关系 一、知识梳理 1、平面的基本性质 公理 1: ____________________________________ 符号语言:______________________________ 公理 2:_____________________________________ 符号语言:______________________________ 公理 3:_____________________________________ 符号语言:______________________________ 2、空间中直线与直线的位置关系____________ 公理 4:_____________________________________ 符号语言:______________________________ 3、空间中直线与平面的位置关系: ___________________________ 4、平面与平面的位置关系: _________________________ 5.异面直线所成角:______________________________________ 推理格式: 6.直线与平面所成角:_____________________________ 推理格式:

二、例题选讲 如图,正方体 ABCD ? A ? B ?C ?D ? 中,求 ①直线 B A ? 与 C C ? 所成的角; ②直线 A A ? 与 BC 所成的角; ③直线 B A ? 与 C B ? 所成的角. ④直线 B D 与 A C 所成的角;
/

D' A' B'

C'

D A B

C

练习: 1.下列说法正确的是( ) A. 三点确定一个平面; C.一条直线和一个点确定一个平面;

B.两条直线确定一个平面; D.梯形一定是平面图形

2.平面 ? ? 平面 ? =直线 l ,点 A ? ? , B ? ? , C ? ? ,且 C ? l . AB ? l ? R ,过 A , B , C 三点确 定的平面为 ? ,则 ? ? ? 是( ) D 以上都不对 ( ) D.既不充分也不必要条件 )

A 直线AC B 直线 BC C 直线CR 3.两条直线异面是两条直线不平行的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

4.若 a , b 是异面直线, b , c 是异面直线,则 a , c 的位置关系是(

A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 5.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A 一定平行 B 一定相交 C 一定异面 D 相交或异面 6.如图,空间四边形 S ? ABC 中各边及对角线的长都相等.若E,F分别为 SC,AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )
C

S E B F A



90

?



60

?



45

?



30

?

7. 如图,正方体 ABC D ? A ? B ?C ?D ? 中,直线 D ?A 与 D B 所成的角大小为________, B D 与 A C ? 所 7.平面与平面所成角(二面角) :______________________________________ 二面角的特点:二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面。 推理格式: 成的角大小为________。D ?A 与平面 AC 所成的角为________, A C ? 与平 面 AC 所 成 的 角 的 正 弦 为 ________ , 二 面 角 C ? ? A B ? D 的 大 小 为 _______。
D?
C?

A?

B?

D
A
4

C
B

7.4 平行与垂直 一、知识梳理: (一)平行 1.直线与平面平行 判定定理:_____________________________________________ 符号表示:________________________________ 处理方法 _________________________________ 转化思路 ________________________________ 直线与平面平行的性质定理:_____________________________________________ 符号表示:________________________________ 处理方法 _________________________________ 2. 平面与平面平行的判定定理:_____________________________________________ 符号表示:_______________________________ 处理方法 _________________________________ 转化思路 ________________________________ 平面与平面平行的性质定理: (1) (2) (3)____________________________________________ 二、例题选讲 例 1. 已知正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 、 分别是 A A1、 B D 1 的中点。 M N 求证: MN∥平面 ABCD。

例 2.已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱垂直于底面,? B A C ? 90 , A B ? A A1 ? 2 , A C ? 1 ,M、 N 分别是 A1 B1 , B C 的中点. (Ⅰ)证明: A B ? A C 1 ; (Ⅱ)证明: M N ∥ 平面 A A1C 1C . C1 A1
1

?

M

B1

C N A B

例 3.如图所示, P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为 AB、PC 的中点, 平面 PAD∩平面 PBC =l.求证: (1)BC ∥ l; (2)MN ∥平面 PAD

5

三、巩固练习 1.平面α ∥平面β ,点 A、C∈α ,点 B、D∈β ,则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是( A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB 与 CD 相交 D.A、B、C、D 四点共面 )



7.已知:如图, A B C ? A1 B1C 1 是正三棱柱, D 是 A C 的中点,求证: A B1 // 平面 D B C 1
A1 B1

2. 内存在着不共线的三点到平面β 的距离均相等”是“α ∥β ”的( “α A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件

C1

D.既不充分也不必要 )
A B

3.平面α ∥平面β ,直线 a?α ,P∈β ,则过点 P 的直线中( A.不存在与α 平行的直线 C.有且只有—条直线与 a 平行 4.下列命题中为真命题的是( )

B.不一定存在与α 平行的直线 D.有无数条与 a 平行的直线

D

C

A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.垂直于同一条直线的两个平面平行 C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等,则这两个平面平行. D.若三直线 a、b、c 两两平行,则在过直线 a 的平面中,有且只有—个平面与 b,c 均平行. 5.判断题 (1)若直线 a ,平面 ? 、 ? ,满足 ? // ? , a // ? , 则 a // ? ; ( (2)若平面 a 内有两条直线都平行于平面 ? ,则 a // ? ; ( (3)若平面 a 内有无数条直线都平行于平面 ? ,则 a // ? ; ( (4)若平面 a 内有两条相交直线都平行于平面 ? ,则 a // ? ; ( (5)如果平面 a 内的任意直线都平行于平面 ? ,则 a // ? .( ) ) ) ) )

8.09 宣武)如图三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, ( 底面为正三角形, 侧棱垂直于底面, 1 ? 2 , AB ? 2 , AA 若 N 为棱 AB 中点. 求证:(1) AC 1 ∥平面 NB 1 C ;(2) A1 C 1 与平面 NB 1 C 所成的角正弦值.
C C1

A N B

A1

B1

6.如图 ,正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,M、N 分别是 B1 D1、 B C 1 的中点.求证:MN∥平面 A B B1 A1 .

9. (2008 安徽)如图,在四棱锥 O ? A B C D 中,底面 A B C D 四边长为 1 的菱形, ? A B C ?

?
4

,

O A ? 底 面 A B C D , O A ? 2 , M 为 O A 的中点, N 为 B C 的中点.证明:直线 M N ‖ 平 面 O C D .

O

M

A B
6

D N C

(二)垂直 1.直线与平面垂直的判定定理: ________________________________________________________________ 转化思路 ________________________________ 2.直线与平面垂直的性质定理:

3.已知 PA⊥面 ABC,AB⊥BC,AD⊥PB,AE⊥PC,求证:DE⊥PC

P E

A ____________________________________________________________ 3.平面与平面垂直的判定定理: ________________________________________________________________ 转化思路 ________________________________ 4.平面与平面垂直的性质定理: ______________________________________________________________________ 处理方法 ________________________________ M 转化思路 ________________________________ 二、例题选讲 1.已知 M 是菱形 ABCD 所在平面外一点,且 MA=MC. 求 证:AC ? DM
B o C D A

D B

C

4.(2009 东城)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , AA 1 ? 4 , D 为 A B 中点. (Ⅰ)求证: AC ? BC 1 ; (Ⅱ)求证: AC 1 ∥平面 CDB 1 ; (Ⅲ)求二面角 C 1 ? AB ? C 的大小.
C1 A1 B1

C A D

B

2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 得 中点. 求证: (1)BC⊥PD; (2)PB⊥DE; (3)PA∥平面 EDB.

7

5.已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面为菱形, ? D A B ? 60 ? , 且 侧面 PAD 为等边三角形, PAD⊥面 ABCD. 面 求(1)PB 与面 ABCD 所成的角; (2)求证 AD⊥PB;

三、练习 1.判断下列命题正误。 (1)垂直于同一直线的二直线平行; (2)平行于同一直线的二直线平行; (3)垂直于同一平面的二直线平行; (4)平行于同一平面的二直线平行; (5)垂直于同一直线的二平面平行; (6)平行于同一直线的二平面平行; (7)垂直于同一平面的二平面平行; (8)平行于同一平面的二平面平行 ; (9)平面 ? 内有无数个点到平面 ? 的距离相等, 则 ? ∥ ? ; (10)若直线 l 与两平面 ? 、 ? 都不垂直, 则 ? 、 ? 不平行 ; (11)若直线 l,m 是异面直线,且 l? ? ,m? ? , 则 ? ∥ ? . 2.已知两条相交直线 a , b , a // 平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 ( ) A. b ? ? B. b ? ? C. b // ? D. b 与 ? 相交,或 b // ? 3.已知直线 a 、 b 和平面 ? ,那么 a // b 的一个必要不充分的条件是 ( ) A. a // ? , b // ? B. a ? ? , b ? ? C. b ? ? 且 a // ? D. a 、 b 与 ? 成等角

6. (2009 宁夏海南理)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。

4. 空间中,a 、b 是不重合的直线,? 、? 是不重合的平面, 则下列条件中可推出 a // b 的是 ( A. a ? ? , b ? ? , ? // ? 5.下列四个命题: ①若 ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b ; ③若 a ∥ b , a , c ∥ ? , b , c ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ②若 ? ∥ ? , a ? ? ,则 a ∥ ? ; ④若 a ∥ ? , a ∥ ? ,则 ? ∥ ? . B. a // ? , b ? ? C. a ? ? , b ? ? D. a ? ? , b ? ?



其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在一个平面内,和这个平面的一条垂线垂直的直线有 ( ) A. 1 条 B. 2 条 C.无数条 D.任意一条 7.直线 a ? 平面α ,直线 b∥α ,则 a 与 b 的关系是 ( ) A a∥b B a 与b垂直相交 C a? b D a与b垂直且异面 8.下列条件中,能使直线 m ? 平面 ? 的是 ( ) A. m ? 直线b,m ? 直线c, b ? ? , c ? ? C. m ? b ? A ,b⊥ ? B. m ? 直线b,b∥ ? D. m ∥b,b⊥ ? ( )

9. ? 、 ? 表示平面, a 、 b 表示直线,则 a // ? 的一个充分条件是

A. ? ? ? ,且 a ? ?
8

B. ? ? ? ? b ,且 a // b

C. a // b ,且 b // ?

D. ? // ? ,且 a ? ?

10.三棱柱 A1 B1C 1 ? A B C 中,侧棱 A A1 ? 底面 A1 B1C 1 ,底面三角形 A1 B1C 1 是正三角形,E 是 B C 中点,则下列叙述正确的是 A. C C 1 与 B1 E 是异面直线 C. A E , B1 C 1 为异面直线,且 A E ? B1C 1 B. A C ? 平面 A B B1 A1 D. A1C 1 // 平面 A B1 E

15.如图,点 P 在正方体 ABC D ? A ? B ?C ?D ? 的对角线 B D ? 上, ? P D A ? 60 ? . (1)求 DP 与 C C ? 所成角的大小; D? (2)求 DP 与平面 A A ? D ?D 所成角的大小.
A?
P

C?

B?

D A

C

11.如图所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A—BCD,则在三棱锥 A—BCD 中,下列命题正确的是 ( ) A、平面 ABD⊥平面 ABC B、平面 ADC⊥平面 BDC C、平面 ABC⊥平面 BDC D、平面 ADC⊥平面 ABC

D C B A
C D

A

D

B

C

16.如图,ABCD 与 ABEF 是两个全等正方形,AM=NF,求证: (1)MN ∥ 平面 BCE; (2)MN ⊥ AB.

A B A1 B1 B

12. 如上图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆上异于 A、B 的一点,PA 垂直于圆 O 所在的平面,则△ PAB、△PAC、△PBC、△ABC 中,直角三角形的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 13. 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,求 A 1 B 与平面 A1 B 1 CD 所成的角. A1 B1 D A B D1 C1

C

14.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角 形的边长为 1,求 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角.

17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, P C ⊥底面 A B C , A B ? B C , D 、 E 分别是 A B 、 P B 的中点. (1)求证: D E ∥平面 P A C ; P (2)求证: A B ⊥ P B ; (3)若 P C ? B C ,求二面角 P ? A B ? C 的大小. E C A D B

A1 B1

C1

A B

C

9

18.如图,已知正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD, PA=AD, E、F 分别是 AB、PC P 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD ; (2)求证:EF⊥平面 PCD; F (3)*求平面 PAD 与平面 PBC 所成的角.
D A

C B

21.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 得中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. P (1)求证 PA∥平面 EDB; E (2)求证:PB⊥平面 EFD; F (3)求二面角 C-PB-D 的大小.
D

C

E

A

B

19.如图所示,PA ? 面 ABCD,ABCD 是正方形,E、F 分别是 AB、PD 的中点, P A ? a ,二面角
P ? C D ? B 为 4 5 。求证:
0

P
? 平 面 PCD

(1) A F ? 平 面 P C E ; (2) 平 面 P C E



F

D

C

A

E

B

22.如图在四棱锥 S ? A B C D 中, ,底面 A B C D 是正方形,其他四个侧面都是等边三角 形, A C 与 B D 的交点为 O , E 为侧棱 S C 上一点。 S (Ⅰ)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证: S A ∥平面 B D E (Ⅱ)求证:平面 B D E ? 平面 SA C ;

P 20. 2009 北京改编) ( 如图, 在三棱锥 P ? A B C 中, A ? 底面 A B C ,
?

P A ? A B , ? A B C ? 60 ,

?

(Ⅲ)当二面角 E ? B D ? C 的大小为 4 5 ? 时,试判断点 E 在 S C 上的位置,并说明理由。

D A O B

C

? B C A ? 9 0 .点 D , E 分别在棱 P B , P C 上,且 D E // B C 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)求证: B C ? 平面 P A C ; (2)当 D 为 P B 的中点时,求 A D 与平面 P A C 所成的角的正弦; (3)是否存在点 E 使得二面角 A ? D E ? P 为直二面角?并说明理由.

10

B

7.5 空间向量解决问题
一、预备知识 1. a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 (1) a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? z1 z 2
? ? ? ? a ?b (3) co s < a,> ? ? ? ? b a ?b

2.求直线和平面所成的角
? 平面 ? 的法向量为 n ,直线 AB 与平面 ? 所成的角为 ? ,则 ? n

?

?

? ?

(2) a ?

?

??? ? ? s in ? ? c o s < A B, n>
x1 ? y 1 ? z 1
2 2 2

A

x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 x1 ? y 1 ? z 1 ?
2 2 2

P
2 2

x2 ? y2 ? z2
2

3.求点到平面的距离
n 点 P 到平面 ? 的距离是 d ? P A ? co s < P A,> ??? ? ??? ? ?

? n

(4) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 ? 0 (证明线线垂直的方法) 2.法向量 与平面 ? 垂直的向量 n ,称为平面 ? 的法向量。
( b 求法: 常设 n ? x , y , z), 在平面内取两个不共线的向量 a、 ,n ? a = n ? b ? 0 列方程组求出一个 n . ?

?

?

? ?

A
? 例题:平面 ? 的一个法向量为 n

=(-2,-1,1), A ? ? ,A (-1,1,2 ) ,P (1,3,6 ),则 PA 与 ? 所成的角的正弦 .

?


? ? ? ? ? ?

,P 到 ? 的距离为

?

4.求二面角 两个平面 ? 、 ? 的法向量分别为 n1,2 ,则 ? 、 ? 所成的二面角 ? 与 < n1,2> 大小相等或互补。 n n 结论的时候一定要根据实际图中的二面角大小去回答问题
D1 C1
B1
?? ?? ?
?? ?? ?

例 1.在空间直角坐标系 Oxyz 内,平面 xOy 的一个法向量可以是_____________,平面 xOz 的一个 法向量可以是_____________.
? 例 2.若 A (0, 2, 0) , B (1, ? 1, 3) , C ( ? 2,1, 0) 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,

例 1. 正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, (1)求证: B D1 ? 面 A B1C ; (2)求 C C 1 与平面 A B1C 所成的角; (3) D 1 到平面 A B1C 的距离;(4)求二面角 B1 ? A C ? B 的余弦值.
A

A1

? 则 x : y : z ? ________________,写出一个法向量 n ?



二、利用空间向量解决如下问题: 证明问题 1.证 AB⊥平面 ? ? 证 A B ? a , A B ? b (其中 a , b 是 ? 内 两 相 交 直 线 ) 2.证 AB∥平面 ? ? 证 A B ? n , (其中 n是 ? 法 向 量 ) 或证 AB∥平面 ? ? 证 A B ? a , A B ? a , a ? ? 计算问题 1.求异面直线所成的角 异面直线 AB、CD 所成的角的余弦值 用
??? ??? ? ? c o s ? ? c o s < A B, D> ? C ??? ??? ? ? AB ? CD ??? ? ??? ? AB ? CD

D

B

C

?

?

?

?

B C D

A

11

例 2.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 B1C1、 C1D1 和 CC1 的中点. (1)求证:A1G⊥平面 DBEF; F C1 D1 (2)求点 A1 到平面 DBEF 的距离. E A
1

例 3.如图,在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 中, A D ? A A1 ? 1, A B ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明: D 1 E ? A1 D ; (2)当 E 为 A B 的中点时,求点 E 到面 A C D 1 的距离; (3) A E 等于何值时,二面角 D1 ? E C ? D 的大小为
?
4

D1 A1 D A E B B1

C1

B1 D A B

G C

C



例 3. (10 北京) 如图, 正方形 A B C D 和四边形 A C E F 所在的平面互相垂直,C E
AB ? 2 , C E ? EF ? 1.

? AC

,E F ∥ A C , 4.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, ? ACB ? 90 , AA 1 ? BC ? 2 AC ? 2 . (Ⅰ)若 D 为 A A1 中点,求证:平面 B 1 C D
?
o

(I)求证: A F ∥平面 B D E ; (II)求证: C F ? 平面 B D E ; (III)求二面角 A ? B E ? D 的大小.

平面 B1C 1 D ;
A1

C1

B1

(Ⅱ)在 A A1 上是否存在一点 D ,使得二面角 B1 ? C D ? C 1 的大小为 60°? (Ⅲ)求 C1 到平面 B1CD 的距离。

D C A B

12

三、练习 1.在正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,如图E、F分别是 BB 1 ,CD的中点, (1)求证: D 1 F ? 平面 ADE; (2)求 E F , C B1 所成角度的余弦值
A1 D1 B1 E D A F B C C1

4. 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥底面 ABCD, PA=AB=1,A D ? 点 F 是 PB 的中点,点 E 在 BC 边上移动。 (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF; (3)当 BE 为何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45° 。

3,

P F A D C E B

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 M 为 AA1 的中点,问当 N 位于 AB 上何处时,MN ? M C 1 ?
D1 A1 M D A N B C B1 C1

5. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, AB= 3, BC=1, PA=2, 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点,求: (1)D1E 与平面 BC1D 所成角的余弦值; D1 (2)二面角 D-BC1-C 的余弦值; 1 (3)C 到平面 DBC1 的距离。 A
1

E 为 PD 的中点. C1 B1 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

P E D A B C

D A

C E B

13

6.如图,在 Rt△ AOB 中, ? OAB ?

?
6

,斜边 AB=4,Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋

8. (2010 宣武一摸)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形 , ∠ABC=∠BAD=90°, PA ? PB ? BC ?
1 2 AD . E 为 AB 中点,F 为 PC 中点.

转得到,且二面角 B-AO -C 是直二面角.动点 D 在斜边 AB 上. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值; (3)求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值.
D A

(I)求证:PE⊥BC; (II)求二面角 C—PE—A 的余弦值; (III)若四棱锥 P—ABCD 的体积为 4,求 AF 的长.

P

O C

B

A E B

F D C

7.如图,四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A1 D ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 是边长为 1 的正方形,侧 棱 A A1 ? 2 .(Ⅰ)求证: C 1 D // 平面 A B B1 A1 ; (Ⅱ)求直线 B D1 与平面 A1C 1 D 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? A1C 1 ? A 的余弦值. B1 A1 C
1

? 9.(2010 崇文一摸)三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,侧棱与底面垂直, AB ? BC ? BB1 ? 2 , ? ABC ? 90 ,

D
1

M , N 分别是 AB , A1C 的中点.

A M B C

(Ⅰ)求证: M N ? 平面 BCC 1 B 1 ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 A1 B 1 C ; (Ⅲ)求二面角 M ? B1 C ? A1 的余弦值.

D C B A
C D A B A1 B1 B

D C B A
C D A B A1 B1 B

D C B A
C D A B A1 B1 B

D C B A B1
C D A B A1 B1 B 14

N

A1 C1

10. (10 海淀一摸)如图,三棱柱 A B C
AB ? BC ,且 A B ? B C ,O 为 A C 中点.

? A1 B1 C 1

中,侧面 A A1 C 1 C ? 底面 A B C , A A1
A1

? A1 C ? A C ? 2

,
C1

12.(2010 朝阳一摸)如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,每个侧面均为正方形, D 为底边 A B 的 中点, E 为侧棱 C C 1 的中点. (Ⅰ)求证: C D ∥平面 A1 E B ; (Ⅱ)求证: A B1 ? 平面 A1 E B ; (Ⅲ)求直线 B1 E 与平面 A A1C 1C 所成角的正弦值. A1 C1 B1 E

(1)证明: A1 O

?

平面 A B C ;

B1

(2)求直线 A1 C 与平面 A1 A B 所成角的正弦值; (3)在 B C 1 上是否存在一点 E ,使得 O E
//

平面 A1 A B ,

A

O
B

C

A D B

C

若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

13.(石景山一摸)如图,已知直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 , ? A C B ? 9 0 , E 是棱 C C 1 上动点, F 是
AB

?

中点 , AC

? BC ? 2

, AA 1

? 4

.

11.(10 西城一摸)在四棱锥 P ? A B C D 中,侧面 P C D ? 底面 A B C D , P D ? C D , E 为 P C 中 点,底面 A B C D 是直角梯形, A B // C D , ? A D C ? 9 0 , A B ? A D ? P D ? 1 , C D ? 2 . (1)求证:BE∥平面 PAD; (2)求证:BC⊥平面 PBD;
???? ???? (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点,P Q ? ? P C ,试确定 ? 的值,
?

(1)求证: C F ? 平面 A B B1 ;

(2)当 E 是棱 C C 1 中点时,求证: C F ∥平面 A E B1 ; (3)在棱 C C 1 上是否存在点 E,使得二面角 A ?
E B1 ? B

P E

的大小是 4 5 ? ,若存在,求 C E 的长,若不存在,请 说明理由. C

使得二面角 Q

? BD ? P

为 45 .

?

D

A

B

15


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