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《空间几何体的表面积与体积》同步测试题


《空间几何体的表面积与体积》同步测试题
一、选择题 1、一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比(
A.2:3:5 B.2:3:4 C.3:5:8 D.4:6:9 )

2、直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2cm 的削球,如果不计损耗,可铸成这样的
小球的个数为 A.5 B.

15 C.25 ( ) D.125

3、与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 ? ? ? ? A. B. C. D. 2 6 4 3





4、直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a,点 D 是 CC′上任意一点,连结 A′B,BD,A′D,AD,则三棱
锥 A—A′BD 的体积 A. (
6



1 3 a 6

B. 3 a 3

C. 3 a 3
12

D. 1 a 3 12

5、将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了
A. 6 a
2





B.12a2

C.18a2

D.24a2

6、球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 1 A. B.1 C.2 2

( D.3



7、若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥





8、过正三棱柱底面一边的截面是
A.三角形 B.三角形或梯形 C.不是梯形的四边形

( ) D.梯形

9、中心角为 135°的扇形,其面积为 B,其围成的圆锥的全面积为 A,则 A:B 为(
A.11:8 B.3:8 C.8:3 D.13:8



10、两个球体积之和为 12π,且这两个球大圆周长之和为 6π,那么这两球半径之差是( 1 A. B.1 C.2 D.3 2



二、填空题 11 、 直 平 行 六 面 体 的 底 面 是 菱 形 , 两 个 对 角 面 面 积 分 别 为 Q1 ,Q2 , 直 平 行 六 面 体 的 侧 面 积 为
_____________.

12、已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm ,高为 3cm. 求它的体

2





13、球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍.

14、正六棱锥的高为 4cm,最长的对角线为 4 3 cm,则它的侧面积为_________.

三、解答题 15、如图,圆锥形封闭容器,高为 h,圆锥内水面高为 h1 ,h1 ?
h , 若将圆锥倒置后, 圆锥内水面高为 3

h2 ,求h2 .

,A(0,0) ,B(1,0) ,C(2,1) ,D(0,3) , 绕 y 轴 旋 转 一 周 , 求 所 得 旋 转 体 的 体 16 、 四 边 形 A B CD

积.

17 、 如 图 ,
VP? BB?C?C : V ABC? A?B?C? .

三 棱 柱

ABC ? A?B ?C ?中,P为AA? 上 一 点 , 求

18、如图,在正四棱台内,以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为 b,
大底面边长为 a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出有解的条 件.

19、 (14 分)已知:一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

20、①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱.已知:等边圆柱的底面半径为 r,求:全面积;
②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.已知:等边圆锥底面半径为 r,求:全面积.

四、选择题 21、下列命题正确的是(

) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

以下是答案 一、选择题 1、D

2、D 3、B 4、C 5、B 6、D 7、D 8、B 9、A 10、B 二、填空题 11、 2
2 2 Q1 ? Q2 ;

12、 9 3 cm3. 13、8; 14、 30 3
2

cm ;

三、解答题 15、分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,
它们的体积之比为对应高的立方比.

2 h V 8 S ? AB 解: ? ( 3 )3 ? VS ?CD h 27

?

V水 V锥

19 19 ? 19 ? 3 3 19 3 ? 倒置后:V水 :V锥 ? h2 :h 3 ? ? h2 ? ? h 3 ? ? h 27 27 3 ? 27 ?

1

小结:此题若用

1 V水 ? V台 计算是比较麻烦的,因为台体的上底面半径还需用 h1 ? h 导出来,我们用 3

V水 ? V锥 ? V空 ,而V空 与V锥 的体积之间有比例关系,可以直接求出.
1 1 8 16、解: V圆锥 ? ?r 2 h ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 3 3 3

1 1 7 V圆台 ? ?h(r 2 ? R 2 ? Rr ) ? ? ? 1 ? (2 2 ? 12 ? 2 ? 1) ? ? 3 3 3

?V ? V圆锥 ? V圆台 ? 5?
1 Sh 3

17、解法一:设 S BB?C?C ? S , AA?到平面BB ?C ?C 的距离为 h,则V P ? BB ?C ?C ?
把三棱柱 棱柱体积的两倍.

ABC ? A?B ?C ?接补成以DD?C ?C和BB ?C ?C 为相邻侧面的平行六面体, 此平行六面体体积为原三
1 Sh V P ? BB ?CC ? 1 2 ? Sh ? ? 3 ? 1 2 V ABC ? A?B ?C ? 3 Sh 2

?V ABC ? A?B ?C ?

解法二: VP ? BB?C?C ? V ABC ? A?B?C? ? VP ? ABC ? VP ? A?B?C?

设S ?ABC ? m,棱柱的高为 n,则三棱柱的体积? m ? n

1 2 V P ? BB?C ?C ? V ABC? A?B?C ? ? V P ? ABC ? V P ? A?B?C ? ? m n ? m ? n( P到两底距离之和为 n) ? m n 3 3 2 ?V P ? AB?C ?C :V ABC? A?B?C ? ? 3
小结:把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法,平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底,有利于体积变换.

18、分析:这是一个棱台与棱锥的组合体问题,也是立体几何常见的问题,这类问题的图形往往比较复杂,要认真分析各
有关量的位置和大小关系,因为它们的各量之间的关系较密切,所以常引入方程、函数的知识去解. 解:如图,过高 OO1 和AD 的中点 E 作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高 EE1 和棱锥的斜高为 EO1, 设 OO1 所以

? h,

1 ? 4b ? EO1 ? 2bEO1 2 1 S台侧 ? (4a ? 4b) ? EE1 ? 2(a ? b) ? EE1? 2bEO1 ? 2?a ? b ?EE1 ① 2 b a 由于OO1 E1 E是直角梯形,其中 OE ? ,O1 E1 ? 2 2 S 锥侧 ? ?a b? ?b? 2 2 由勾股定理有 EE1 ? h 2 ? ? ? ? ,EO1 ? h 2 ? ? ? ② 2 2 ? ? ?2?
①式两边平方,把②代入得:
2 ? 2 b2 ? 2? 2 ? a b? ? b ? h ? ? ? ?a ? b? ?h ? ? ? ? ? ? 2 2? ? 4? ? ? ? ? 2
2 2

解得h 2 ?

a 2 (2b 2 ? a 2 ) 1 a (2b 2 ? a 2 ) 所以h ? 4a (a ? 2b) 2 a ? 2b

显然,由于 a

? 0,b ? 0 ,所以此题当且仅当 a ? 2b 时才有解.

小结:在棱台的问题中,如果与棱台的斜高有关,则常应用通过高和斜高的截面,如果和棱台的侧棱有关,则需要应

用通过侧棱和高的截面,要熟悉这些截面中直角梯形的各元素,进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算,这是 解棱台计算问题的基本技能之一.

19、解: (1)设内接圆柱底面半径为 r.
S 圆柱侧 ? 2?r ? x ①
②代入①

?

r H ?x ? R H

?r ?

R ( H ? x) ② H

S圆柱侧 ? 2?x ?

R 2?R ( H ? x) ? ? x 2 ? Hx (0 ? x ? H ) H H

?

?

(2) S 圆柱侧

2?R ? ? x 2 ? Hx H

?

?x ?

H 时 2

S圆柱侧最大

2 2?R ? ? H? H2? ? ?? ? x ? ? ? ? H ? 2? 4 ? ? ? ? ?RH ? 2

?

20、①解:? 母线l ? 2r
? S侧 ? c ? l ? 2?r ? 2r ? 4?r 2 ? S全 ? 4?r 2 ? 2?r 2 ? 6?r 2
②解:? 母线l

? 2r

? S侧 ? ?rl ? ?r ? 2r ? 2?r 2 ? S全 ? 2?r 2 ? ?r 2 ? 3?r 2

四、选择题 21、答案:D.


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