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实数经典例题及习题4


八年级实数练习
经典例题 类型一.有关概念的识别

1.下面几个数:0. 23 数有( ) A、1 B、2 C、3

,1.010010001?, D、4

,3π ,



,其中,无理数的个

解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1

.010010001?,3π , 故选 C 举一反三: 【变式 1】下列说法中正确的是( ) A、 的平方根是±3 B、1 的立方根是±1 C、 =±1 D、

是无理数

是 5 的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵ =9,9 的平方根是±3,∴A 正确. =1, 是 5 的平方根,∴B、C、D 都不正确.

∵1 的立方根是 1,

【变式 2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为 半径画弧,交数轴正半轴于点 A,则点 A 表示的数是( )

A、1

B、1.4

C、

D、 ,

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为 1,对角线为 由圆的定义知|AO|= ,∴A 表示数为 ,故选 C.

【变式 3】 【答案】∵π = 3.1415?,∴9<3π <10 因此 3π -9>0,3π -10<0 ∴

类型二.计算类型题
2.设 ,则下列结论正确的是( )

A. C. 解析: (估算)因为

B. D. ,所以选 B

举一反三: 【变式 1】1)1.25 的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27 立方根是__________. 3)

___________,

___________,

___________.

【答案】1)



.2)-3. 3)





【变式 2】求下列各式中的 (1) 【答案】 (1) (2) (2)x=4 或 x=-2(3)x=-4 (3)

类型三.数形结合
3. 点 A 在数轴上表示的数为 解析:在数轴上找到 A、B 两点, 举一反三: 【变式 1】如图,数轴上表示 1, 表示的数是( ) . 的对应点分别为 A,B,点 B 关于点 A 的对称点为 C,则点 C , 点 B 在数轴上表示的数为 , 则 A, B 两点的距离为______

A.

-1 B.1-

C.2-

D.

-2

【答案】选 C

[变式 2] 已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示:

化简 【答案】 :

类型四.实数绝对值的应用
4.化简下列各式: (1) | (3) | -1.4 | | (2) |π -3.142| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10| 分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的 定义正确去掉绝对值。 解:(1) ∵ ∴| =1.414?<1.4 -1.4 |=1.4 -

(2) ∵π =3.14159?<3.142 ∴|π -3.142|=3.142-π (3) ∵ < , ∴| |= -

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明:这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对 楚的认识,并能灵活运用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三: 【变式 1】化简: 【答案】 = + -

这个绝对值的基本概念要有清

=

类型五.实数非负性的应用

5.已知: 分析: 已知等式左边分母

=0,求实数 a, b 的值。 不能为 0, 只能有 >0, 则要求 a+7>0, 分子 +|a2-49|=0,

由非负数的和的性质知:3a-b=0 且 a2-49=0,由此得不等式组

从而求出 a, b 的值。

解:由题意得 由(2)得 a2=49 ∴a=±7 由(3)得 a>-7,∴a=-7 不合题意舍去。 ∴只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 ∴a=7, b=21 为所求。 举一反三: 【变式 1】已知(x-6)2+ 解:∵(x-6)2+ 且(x-6)2≥0, +|y+2z|=0,求(x-y)3-z3 的值。 +|y+2z|=0 ≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为 0。



解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式 2】已知 【答案】初中阶段的三个非负数: a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

那么 a+b-c 的值为___________ ,

类型六.实数应用题
6.有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm,宽为 8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图 形的面积之和的正方形,问边长应为多少 cm。 解:设新正方形边长为 xcm, 根据题意得 x2=112+13×8 ∴x2=225 ∴x=±15 ∵边长为正,∴x=-15 不合题意舍去, ∴只取 x=15(cm) 答:新的正方形边长应取 15cm。 举一反三: 【变式 1】拼一拼,画一画: 请你用 4 个长为 a,宽为 b 的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下

的空白区域恰好是一个小正方形。 (4 个长方形拼图时不重叠)

(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么? (2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时,大正方形的面积就比小正方形的面 积 多 24cm2,求中间小正方形的边长.

解析: (1)如图,中间小正方形的边长是: ,所以面积为= 大正方形的面积= 一个长方形的面积= 所以, 。 ,

答:中间的小正方形的面积 发现的规律是: (2) 大正方形的边长: , ,即 又

, (或 小正方形的边长: , )

大正方形的面积比小正方形的面积多 24 cm2

所以有, 化简得: 将 代入,得: cm 答:中间小正方形的边长 2.5 cm。

类型七.易错题
7.判断下列说法是否正确 (1) 的算术平方根是-3; (2) 的平方根是±15.

(3)当 x=0 或 2 时,

(4)

是分数

解析: (1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故 (2) 故 表示 225 的算术平方根,即 的平方根是 . = ,显然此式无意义, =0. =15.实际上,本题是求 15 的平方根,

(3)注意到,当 x=0 时,

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根” ,故 x≠0,所以当 x=2 时,x

(4)错在对实数的概念理解不清.

形如分数,但不是分数,它是无理数.

类型八.引申提高
8. (1)已知 的整数部分为 a,小数部分为 b,求 a2-b2 的值. ② ③

(2)把下列无限循环小数化成分数:①

(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间, 那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分. 解:由 的整数部分 a=5, ∴ 得 的小数部分 ,

(2)解:(1) 设 x= 则 ②-①得 9x=6

① ②



.

(2) 设 则 ②-①,得 99x=23

① ②

∴ (3) 设 则 ②-①,得 999x=107, ① ②

.



.

学习成果测评: A 组(基础)
一、细心选一选 1.下列各式中正确的是( )

A.

B.

C.

D.

2. A.4

的平方根是( ) B. C. 2 D.

3. 下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数 ③-2 是 4 的平方根 ④带根号的数都 是 无理数。其中正确的说法有( ) A.3 个 B. 2 个 C. 1 个 4.和数轴上的点一一对应的是( ) A.整数 B.有理数 C. 无理数 D. 0 个

D. 实数

5.对于 A.有平方根

来说( ) B.只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定

6.在 数 的个数有( ) A.3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个

(两个“1”之间依次多 1 个“0” )中,无理

7.面积为 11 的正方形边长为 x,则 x 的范围是( ) A. B. C. D.

8.下列各组数中,互为相反数的是( )

A.-2 与

B.∣-

∣与

C.



D.



9.-8 的立方根与 4 的平方根之和是( ) A.0 B. 4 C. 0 或-4 D. 0 或 4 10.已知一个自然数的算术平方根是 a ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( )

A. 二、耐心填一填 11.

B.

C.

D.

的相反数是________,绝对值等于

的数是________,∣

∣=_______。

12.

的算术平方根是_______,

=______。

13.____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。 14.已知∣x∣的算术平方根是 8,那么 x 的立方根是_____。 15.填入两个和为 6 的无理数,使等式成立: ___+___=6。 16.大于 ,小于 的整数有______个。 互为相反数,则 a=______,b=_____。 =3,且 ab 0,则 a-b=______。 则 A、B 两点间的距离为______。

17.若∣2a-5∣与 18.若∣a∣=6,

19.数轴上点 A,点 B 分别表示实数

20.一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4,则 a=_____,x=_____。 三、认真解一解 21.计算 ⑴ ⑵ ⑶

⑷ ∣

∣+∣





×

+

×

⑹ 4×[ 9 + 2×(

)] (结果保留 3 个有效数字)

22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列, 用“ ”号连接: 参考答案: 一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D

二:11、 13、0;0, 17、 9

,π -3 ;0,1

12、3, 14、 18、-15 15、答案不唯一 如: 19、2 16、5 20、1,

三: 21、⑴ 22、 ⑵-17 ⑶-9 ⑷2 ⑸-36 ⑹37.9

B 组(提高)
一、选择题: 1. A.0.14 的算术平方根是 ( ) B.0.014 C. D.

2.

的平方根是 ( )

A.-6

B.36

C.±6

D.± ;③ 的立方根是 2;④ ,

3.下列计算或判断:①±3 都是 27 的立方根;② 其中正确的个数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.在下列各式中,正确的是 ( ) A. ; B. ; C. ; D.

5.下列说法正确的是 ( )

A.有理数只是有限小数 6.下列说法错误的是 ( ) A. B.

B.无理数是无限小数

C.无限小数是无理数

D.

是分数

C.2 的平方根是

D.

7.若 A. B.

,且

,则 C.

的值为 ( ) D.

8.下列结论中正确的是 ( ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数; C. 两个无理数之和一定是无理数;

B.数轴上任一点都表示唯一的无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点

9.-27 的立方根与 A.0 B.6

的平方根之和是 ( ) C.0 或-6 D.-12 或 6

10.下列计算结果正确的是 ( ) A. 二.填空题: B. C. D.

11.下列各数:①3.141、②0.33333??、③

、④π 、⑤

、⑥



⑦0.3030003000003??(相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2) 、⑧0 中,其中是有理数的有 __________;无理数的有__________.(填序号)

12.

的平方根是__________;0.216 的立方根是__________.

13.算术平方根等于它本身的数是__________;立方根等于它本身的数是__________. 14. 的相反数是__________;绝对值等于 的数是__________.

15.一个正方体的体积变为原来的 27 倍,则它的棱长变为原来的__________倍. 三、解答题: 16.计算或化简: (1) (2) (3)

(4)

(5)

(6)

17.已知

,且 x 是正数,求代数式

的值。

18.观察右图,每个小正方形的边长均为 1, ⑴图中阴影部分的面积是多少?边长是多少? ⑵估计边长的值在哪两个整数之间。 ⑶把边长在数轴上表示出来。

参考答案: 一、选择题: 1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B 二.填空题:

11、①②⑤⑥⑧;③④⑦. 12、 三、解答题: 16、计算或化简:

;0.6. 13、



. 14、



. 15、3.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

17、解: 25x2=144 又∵x 是正数 ∴x=



18、解:①图中阴影部分的面积 17,边长是 ②边长的值在 4 与 5 之间




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