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1.2.1-2《任意角的三角函数》课件(新人教版必修4)1


1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第二课时

问题提出

1.设α 是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),角α 的三角函数 是怎样定义的?
sin ? ? y
cos ? ? x

cos

? ? x

tan ? ?

y x

( x ? 0)

2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何?

一全正,二正弦,三正切,四余弦.

ta n (? ? 2 k ? ) ? ta n ?

3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, ? ? 2k? ) ? cos ? , cos( tan(? ? 2k? ) ? tan ? k ? Z).其数学意义如何? (

终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念,同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数,如果能从图形上找出三角函 数的几何意义,就能实现数与形的完美 统一.

知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos sin ? ? y, ? ? x都是正数,你能分 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?
| MP |? y ? sin ?
P(x,y)

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , ? ? x 都是负数,此时 cos 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y
? | M P | ? y ? s in ?

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P(x,y)

思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.根据实际需要,应如何 规定线段的正方向和负方向?
规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向.

思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗?
y
P(x,y)

y x
M

M

O

O

P(x,y)

x

思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何?
y P M O x P O x y

P

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

知识探究(二):正切线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

tan ? ?

y x

? AT

O

M A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y x

tan ? ?

y x

M

? AT

A x

O

P
T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
T
y P A T

y x

tan ? ?

y x

? AT

A M O

x

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

tan ? ?

y x

? AT

A M
O
T

A x

P

思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗?
y P O A x T P O A T x y

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y
P
P
s in p 4 < p 4 < tan p 4

O

x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

思考7:观察下列不等式:
sin p 6 < p 6 < t an p 6

sin
sin

p 4 p
3

<
<

p 4 p
3

< t an
< t an

p 4 p
3

你有什么一般猜想?

思考8:对于不等式 sin a < a < t an a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗?
y P
O M A x T

理论迁移

例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线: ? 5? (1) ; (2) ? ;
4
6
12? 5
2? 3

(3)



(4)

?

.

例2 在0~ 2? 内,求使 sin a 成立的α 的取值范围.
y
y =
2p

>

3 2

3 2

P2

P P1

O M
p 2p a ? ( , ) 3 3

x

例3 求函数 f (a ) =

2 cos a - 1

的定义域.

y P2 P
1 x (= ) = f a 2

O
2 cos a - 1

M P1
x = 1 2

x

a ? [

p 3

+ 2k p ,

p 3

+ 2k p ] (k

Z)

小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示, 即用有向线段表示三角函数值,是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化,余弦线和正切线的始点都是定点, 分别是原点O和点A(1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题, 是一种重要的方法和技巧,也是一种数形 结合的数学思想.

作业:

P17 练习:1,2. P21习题1.2A组:5,7.


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