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2008高考湖南文科数学试卷与答案(1)


2008 高考湖南文科数学试题及全解全析
一.选择题
1.已知 U ? ?2,3,4,5,6,7?, M ? ?3,4,5,7?, N ? ?2,4,5,6?,则 A. M ? N ? ?4,6? C. (? U N) ? M ? U 【答案】B 【解析】由 U ? ?2,3,4,5,6,7?, M ? ?3,4,5,7? , N ? ?2,4,5,6?,易知

B 正确. 2.“ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】类理科 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B. M ? N ? U D. (? UM)? N ? N

由 x ? 1 ? 2 得 ?1 ? x ? 3 ,所以易知选 A.

? x ? 1, ? 3.已条变量 x, y 满足 ? y ? 2, 则 x ? y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点 分别为 (1,1),(1, 2),(2, 2), 代入验证知在点

y x-y=0 y=2 O
(1,2) (2,2) (1,1)

1

x

(1,1) 时, x ? y 最小值是 1 ? 1 ? 2. 故选 C.
4.函数 f ( x) ? x ( x ? 0) 的反函数是
2

x=1
B. f ?1 ( x) ? ? x ( x ? 0) D. f
?1

A. f ?1 ( x) ?

x ( x ? 0)

C. f ?1 ( x) ? ? ? x ( x ? 0) 【答案】B

( x) ? ? x2 ( x ? 0)

【解析】用特殊点法,取原函数过点 (?1,1), 则其反函数过点 (1, ?1), 验证知只有答案 B 满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

5.已知直线 m,n 和平面 ? , ? 满足 m ? n, m ? ? , ? ? ? ,则 A. n ? ? B. n // ? , 或 n ? ? C. n ? ? D. n // ? , 或 n ? ?

【答案】D 【解析】易知 D 正确. 6.下面不等式成立的是 A. log3 2 ? log2 3 ? log2 5 C. log2 3 ? log3 2 ? log2 5 【答案】A 【解析】由 log3 2 ? 1 ? log2 3 ? log2 5 , 故选 A. 7.在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? A. ? B. log3 2 ? log2 5 ? log2 3 D. log2 3 ? log2 5 ? log3 2

??? ? ??? ?

3 2

B. ?

2 3

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D 【解析】由余弦定理得 cos ?CAB ?

??? ? ???? 1 1 3 , 所以 AB ? AC ? 3 ? 2 ? ? , 选 D. 4 4 2

8.某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目,则重点 项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60 D.75 【答案】C
1 1 1 2 2 1 【解析】用直接法: C3 C5 ? C3 C5 ? C3 C5 ? 15 ? 30 ? 15 ? 60, 2 2 2 2 或用间接法: C4 C6 ? C3 C5 ? 90 ? 30 ? 60, 故选C.

9.长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 ,

AA1 ? 1 ,则顶点 A、B 间的球面距离是
A.

D1
D. 2 2?

C1 B1

2? 4

B.

2? 2

C. 2?

【答案】B 【解析】 同理科 9

A1 D O

C

? BD1 ? AC1 ? 2R ? 2 2, ? R ? 2,
设 BD1 ? AC1 ? O, 则 OA ? OB ? R ? 2,

A

B

? ?AOB ?

?
2

,

? l ? R? ? 2 ?

?
2

, 故选B.

10. 双曲线

x2 a2

?

y2 它到右焦点及左准线的距离相等, ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点, b2

则双曲线离心率的取值范围是 A. (1, 2] 【答案】C B. [ 2, ??) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

a2 a2 a2 ? (e ? 1) x0 ? ? a ? ? a ? (e ? 1)a, 【解析】? ex0 ? a ? x0 ? c c c
?e ?1 ? 1? a 1 ? 1 ? , ? e2 ? 2e ?1 ? 0, ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 2, c e

而双曲线的离心率 e ? 1, ?e ? (1, 2 ? 1], 故选 C.

二.填空题
11.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?2,0) ,则 a ? b =___________. 【答案】2 【解析】由? a ? b ? (?1, 3),? | a ? b |? 1 ? 3 ? 2. 12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示:

? ?

? ?

? ?

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人. 【答案】60 【解析】由上表得 (23 ? 21) ? 13.记 (2 x ? 【答案】5 【解析】由 Tr ?1 ? Cn (2 x)
r n?r

15000 ? 2 ? 30 ? 60. 500

1 n ) 的展开式中第 m 项的系数为 bm ,若 b3 ? 2b4 ,则 n =__________。 x 1 r 2 3 ? ( ) r ? 2 n ? r ? Cn ? x n ? 2 r , 得 2n?2 ? Cn ? 2 ? 2n?3 ? Cn , x

所以解得 n ? 5. 14.将圆 x ? y ? 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C,则圆 C 的方程是_______,若
2 2

过点 (3, 0) 的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率为_____________。

【答案】 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , ?

3 3

y

【解析】易得圆 C 的方程是 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 直线 l 的倾斜角为 30 ,150 , 所以直线 l 的斜率为 k ? ?
? ?

A
O

P

X

B

3 . 3 ?5? ? ?
?

15.设 ? x ? 表示不超 x 的最大整数, (如 ?2? ? 2, ? ? ? 1 ) .对于给定的 n ? N , 4
3 n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? ?x? ? 1) , x ? ?1,???, 则 C82 ? ____ 定义 C ? x( x ? 1) ?( x ? ?x? ? 1)
x n

____;

当 x ? ?2,3? 时,函数 C8x 的值域是________________。 【答案】

16 28 , ( , 28] 3 3
3

【解析】 C82 ?

8? 7 8 16 ? 28, 当 x ? 3 时, ? x ? ? 2, ? , 当 x ? 2 时, C82 ? 3 3 2 ?1 2
x

所以 C8 ?

8 ? 7 28 28 ? , 故函数 C8x 的值域是 ( , 28] . 3? 2 3 3

三.解答题
16.甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试 合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响。求: 2

(I)至少一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。 解: (I)同理科 16(I) 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P( A) ? P( B) ? P(C ) ?

1 . 2

(I)至少有一人面试合格的概率是 1 ? P( A ? B ? C )

1 7 ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8
(II)没有人签约的概率为 P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)

P( A)? P( B) ? P( C? )

P( A ? ) P( B ? ) P( ? C)

P(? A) P? ( B) P( C)

1 1 1 3 ? ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ? . 2 2 2 8

17.已知函数 f ( x) ? cos

2

x x ? sin 2 ? sin x . 2 2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)当 x0 ? (0,

?
4

) 且 f ( x0 ) ?

? 4 2 时,求 f ( x 0 ? ) 的值。 6 5
π 2 sin( x ? ) . 4

解:由题设有 f ( x) ? cos x ? sin x ?

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2π.

(II)由 f ( x0 ) ?

π 4 4 2 π 4 2 得 2 sin( x0 ? ) ? , 即 sin( x0 ? ) ? , 4 5 5 4 5

因为 x0 ? (0,

?
4

) ,所以 x0 ?

π π ? ? ( , ). 4 4 2
2

从而 cos( x0 ? ) ? 1 ? sin ( x0 ? ) ? 1 ? ( ) ?
2

π 4

π 4

4 5

3 . 5

于是 f ( x 0 ?

π ? π ? ? ) ? 2 sin[( x0 ? ) ? ] 6 4 6 4 6 π ? π ? ? 2[sin( x0 ? ) cos ? cos( x0 ? ) sin ] 4 6 4 6

?

) ? 2 sin( x0 ?

4 3 3 1 4 ? 6 3 2 ? 2( ? ? ? ) ? . 5 2 5 2 10

18.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?BCD ? 60 ,
0

E 是 CD 的中点,PA ? 底面 ABCD, PA ? (I)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (II)求二面角 A—BE—P 和的大小。 解: (I)同理科 17(I)

3。

(I)解法一: (I)如图所示, 连结 BD, 由 ABCD 是菱形且 ?BCD ? 60 知,
0

△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中
点,所以 BE ⊥ CD, 又 AB / /CD, 所以

BE ⊥ AB,
又因为 PA ? 平面 ABCD, BE ? 平面 ABCD,所以 PA ⊥ BE, 而 PA ? AB ? A, 因此 BE ⊥ 平面 PAB. 又 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE ? 平面 PAB. (II)由(I)知, BE ⊥ 平面 PAB, PB ? 平面 PAB,所以 PB ? BE. 又 AB ⊥ BE, 所以 ?PBA 是二面角 A ? BE ? P 的平面角. 在 Rt△PAB 中, tan ?PBA ?

PA ? 3, ?PBA ? 60? . AB
?

故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 . 解法二:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

3 3 1 3 3 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C ( , , 0), D( , , 0), P(0, 0). 0,3), E (1, , 2 2 2 2 2
(I)因为 BE ? (0,

3 , 0), 平面 PAB 的一个法向量是 2 ?? ? ? ??? ? ?? n0 ? (01 , , 0), 所以 BE 和 n0 共线.

??? ?

从而 BE ⊥ 平面 PAB.又因为 BE ? 平面 PBE,所以 平面 PBE ? 平面 PAB.

, 0, ? 3), BE ? (0, (II)易知 PB ? (1

??? ?

??? ?

3 , 0), 2

设 n1 ? ( x1,y1,z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量,

??

?? ??? ? ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 z1 ? 0, ? ?n1 ? PB ? 0, ? 则由 ? ?? ??? 得? 所以 y1 =0,x1 ? 3z1. ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ? ?n1 ? BE ? 0 ?0 ? x1 ? ? 2 ?? ?? ? 故可取 n1 ? ( 3, 01). , 0, 1). 而平面 ABE 的一个法向量是 n2 ? (0,

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 ? ? .. 于是, cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? | n1 |? | n2 | 2

故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 .
?

19.已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F (2,0) ,且两条准线间的距离为 ? (? ? 4) 。 (I)求椭圆的方程; (II)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上, 求 ? 的取值范围。

x2 y 2 解: (I)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b
由条件知 c ? 2, 且

2a 2 ? ? , 所以 a 2 ? ? , b2 ? a 2 ? c2 ? ? ? 4. c
? y2 ? 1(? ? 4). ? ?4

故椭圆的方程是

x2

?

(II)依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 1).

0) 关于直线 l 的对称点为 F ?( x0,y0 ), 则 设点 F (2,

x ?2 ? y0 ? k( 0 ? 1), ? 2 ?2 ? y ? 0 ? k ? ?1 ? ? x0 ? 2

2 ? x0 ? , ? ? 1? k 2 解得 ? ? y ? 2k ? 0 1? k 2 ?

2 2 2k 2 ( ) ( ) 2 2 因为点 F ?( x0,y0 ) 在椭圆上,所以 1 ? k ? 1? k ? 1. 即 ? ? ?4

? (? ? 4)k 4 ? 2?(? ? 6)k 2 ? (? ? 4)2 ? 0.
设 k ? t , 则 ? (? ? 4)t ? 2? (? ? 6)t ? (? ? 4) ? 0.
2 2 2

因为 ? ? 4, 所以

(? ? 4)2 ? 0. ? (? ? 4)

?? ? [2? (? ? 6)]2 -4? (? ? 4)3 ? 0 ? ????(?) 于是,当且仅当 ? 2? (? ? 6) ? ? 0. ? ? (? ? 4) ?
上述方程存在正实根,即直线 l 存在。

16 ? ?? ? , 解 (?) 得 ? 3 ? ?4 ? ? ? 6.

所以 4 ? ? ?

16 . 3

即 ? 的取值范围是 4 ? ? ?

16 . 3
2

20.数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (I)求 a3 , a4 ,并求数列 ?an ? 的通项公式;

n? n? )an ? 4sin 2 , n ? 1, 2,3,?, 2 2

(II)设 Sk ? a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 , Tk ? a2 ? a4 ? ? ? a2k , Wk ? 求使 Wk ? 1 的所有 k 的值,并说明理由。 解: (I)因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos
2

2Sk (k ? N ? ) , 2 ? Tk

?
2

)a1 ? 4sin 2

?
2

? a1 ? 4 ? 4,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? 4sin2 ? ? 2a2 ? 4,
一般地, 当 n = 2k ?1(k ? N ? ) 时,

a2 k ?1 ? [1 ? cos 2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? 4sin 2 ? ? a2 k ?1 ? 4, 2 2

即 a2k ?1 ? a2 k ?1 ? 4. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 0、公差为 4 的等差数列,因此 a2k ?1 ? 4(k ?1).
? 当 n = 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2

2 k? 2k )a2 k ? 4sin 2 ? ? 2a2 k , 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2k.

?2(n ? 1), n ? 2k ? 1(k ? N ? ), ? 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ? 2 ? ? 2 , n ? 2k ( k ? N )
(II)由(I)知, Sk ? a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 ? 4 ? ? ? 4(k ?1) ? 2k (k ?1),

Tk ? a2 ? a4 ??? a2k ? 2 ? 22 ? ?2k ? 2k ?1 ? 2, Wk ?
于是 W1 ? 0, W2 ? 1, W3 ?

2Sk k (k ? 1) ? . 2 ? Tk 2k ?1

3 3 5 15 , W4 ? , W5 ? , W6 ? . 2 2 4 16

下面证明:当 k ? 6 时, Wk ? 1. 事实上,当 k ? 6 时,

Wk ?1 ? Wk ?

(k ? 1)k k (k ? 1) k (3 ? k ) ? ? ? 0, 即 Wk ?1 ? Wk . 2k 2k ?1 2k

又 W6 ? 1, 所以当 k ? 6 时, Wk ? 1. 故满足 Wk ? 1 的所有 k 的值为 3,4,5。

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2 (I)证明: ?27 ? c ? 5 ;
21.已知函数 f ( x) ? (II)若存在实数 c,使函数 f ( x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 解: (I)因为函数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点, 4 2

所以 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ? 0 有三个互异的实根。 设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c, 则 g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1), 当 x ? ?3 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?3,1) 上为减函数; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值。 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最多只有两个不同实根。 因为 g ( x) ? 0 有三个不同实根,所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 。 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 ,解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 。 (II)由(I)的证明可知,当 ?27 ? c ? 5 时, f ( x ) 有三个极值点。 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ). 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,x1 ] , [ x2 , x3 ] 。 若 f ( x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减, 则 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] , 或 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] , 若 ?a, a ? 2? ? (??,x1 ] ,则 a ? 2 ? x1 。由(I)知, x1 ? ?3 ,于是 a ? ?5. 若 ?a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] ,则 a ? x2 且 a ? 2 ? x3 。由(I)知, ?3 ? x2 ? 1.

又 f ?( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? c, 当 c ? ?27 时, f ?( x) ? ( x ? 3)( x ? 3)2 ; 当 c ? 5 时, f ?( x) ? ( x ? 5)( x ?1)2 。 因此,当 ?27 ? c ? 5 时, 1 ? x3 ? 3. 所以 a ? ?3, 且 a ? 2 ? 3. 即 ?3 ? a ? 1. 故 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1. 反之 , 当 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1 时,总可找到 c ? (?27,5), 使函数 f ( x) 在区间

?a, a ? 2? 上单调递减。
? 5) ? (?3,1) 。 综上所述, a 的取值范围是 (??,


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