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数学奥林匹克高中训练题(47)及答案


数学奥林匹克高中训练题(47)
第一试
一. 选择题(每题 6 分,共 36 分) 1.(训练题 47)若 (1 + x)(1 + 3 x ) L (1 + 2001x ) 的展开式中 x 的一次项系数为 n ,则 i 等于(A)。
n

(A) i

(B) ?i
2

(C)

1

(D) –1

2.(训练题 47)已知不等式 kx -2x+6k<0 的解集为全体实数.则 k 的取值范围是(B). (A) k >

6 6 或 k< 6 6

(B) k < ?

6 6

(C) k > ?

6 6

(D) k >
n?1

6 6 或 k<? 6 6
),…,当其前 n 项和

3.(训练题 47)数列 lg1000,lg(1000cos 最大时,n 的值是(B) (A)9 (B)10

π
3

),lg(1000cos 2

π
3

),…,lg(1000cos

π
3

(C)11

(D)不存在

4.(训练题 47)若动点 P ( x, y ) 以等角速 ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q ( ?2 xy, y 2 ? x 2 ) 的运动方程 是(C) (A)以角速度 ω 在单位圆上顺时针运动 (C)以角速度 2 ω 在单位圆上顺时针运动 (B)以角速度 ω 在单位圆上逆时针运动 (D)以角速度 2 ω 在单位圆上逆时针运动

5. (训练题 47)在锐角 ?ABC 中, 已知 ∠A < ∠B < ∠C且∠B = 600 , (1 + cos2A)(1 + cos2C) = 又 则下列关系式中正确的是(A) 。 (A) a + 2b = 2c (B) a + 2b < 2c (C) a + 2b ≥ 2c (D) a + 2b > 2c

3 ?1 。 2

0 6.(训练题 47)边长为 a 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面成 120 角,M,N 分别是对角线

AC 和 BF 上的点,且 AB=FN。则 MN 的取值范围是(D) 。 (A) (

2 a, a ] 2

(B) (

3 a, a ] 2

(C) [

2 a, a ] 2

(D) [

3 a, a ] 2

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1 . ( 训 练 题 47) 设 a < b < c < d , 若 变 量 x, y , z , t 是 a, b, c, d 的 某 一 个 排 列 , 那 么 , 表 达 式

n( x, y, z , t ) = ( x ? y ) 2 + ( y ? z ) 2 + ( z ? t ) 2 + (t ? x) 2 可以取
2 2 2

3

个不同的值.

2.(训练题 47)设 a,b,c 分别是 ?ABC 的三边,且 a + b = mc 。若

cot C = 999 ,则 m = 1999 . cot A + cot B

11

(D)不存设数列 {an } 的通项公式为 an = n + λ n( n ∈ N ) 。若 {an } 为单增数列,则实数 λ 的取值
2

范围是

λ > ?3



4.(训练题 47)适合方程 arc tan x + arc cot y = π 的点 P ( x, y ) 的集合是某二次曲线 C 的一部分。则 C 的焦点坐标为

(? 2, 2)



( 2, ? 2)



5.(训练题 47)设 P 为 ?ABC 所在平面内的任一点,记 BC = a, CA = b, AB = c, PA = u, PB = v, PC = w , 则

u v w + + 的最小值为 a b c

3



6.(训练题 47)已知一球外接于四面体 ABCD,半径为 1 的另一个球与平面 ABC 相切,并且两球内切 于点 D。 已知 AD=3, ∠BAC = cos

4 1 18 , ∠BAD = cos ∠CAD = cos . 则四面体 ABCD 的体积为 . 5 5 2

三.(训练题 47)(满分 20 分)求 a 的取值范围,使不等式

π 2 2 π sin 2θ ? (2 2 + a 2) sin(θ + ) ? > ?3 ? 2a 对 θ ∈ [ 0, ] 恒成立. 4 cos(θ ? π ) 2 4
四. (训练题 47) 满分 20 分) ( 欲建一粮仓, 已知其内部体积 V 一定, h, H 均为变量。 R, 试确定 的值,使其表面积最小,即用料最省.

h H 和 R R

h 2 5 H 5+ 5 = , = R 5 R 5

五.(训练题 47)(满分 20 分)以知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 与 y 轴正向的交点为 B。求以 B 为直 a2 b2

角顶点的椭圆内接等腰直角三角形的个数. (1)

第二试
一.(训练题 47)(满分 50 分)在 ?ABC 中, ∠B, ∠C 为锐角,M,N,D 分别为边 AB,AC,BC 上的 点,满足 AM=AN,BD=DC。若 ∠BDM = ∠CDN ,求证:AB=AC. 二 . ( 训 练 题 47) ( 满 分 50 分 ) 设 n ∈ N , n ≥ 2, k ∈ R .求函数y = 值. ymin = n n ( (
+

xn ( x ∈ (k , +∞)) 的 最 小 x?k

k n ?1 ) ) n ?1 三.(训练题 47)(满分 50 分)在一条长 36cm 的直尺上刻划 n 条刻度,使得用该尺能一次性度量[1, 36]中的任意整数 cm 的长度。试求 n 的最小值. (8)


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