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2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题


2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、 (本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ω 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E 、
F 为线段 AB 上两点,满足 AE = EF = FB .连接 PE、PF 并延长,与圆 ω 分别相

交于点 C、D.求证:

EF ? CD = AC ? BD .
(解题时请将图画在答卷纸上)
ω A E F P

B

C

D

二、 (本题满分 40 分) 给定正整数 u,v.数列 {an } 定义如下: a1= u + v , 对整数 m ≥ 1 ,

am + u , ?a2= m ? am + v . +1 ?a2 m =
记 S m = a1 + a2 + ? + am ( m = 1, 2, ?) . 证明: 数列 {S n } 中有无穷多项是完全平方数.

三、 (本题满分 50 分) 一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加, 其中 m, n ? 2 为给定的整数.每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答 对该题的学生得 x 分,未答对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分 总和. 将所有学生总分从高到低排列为 p1 ? p2 ? ? ? pn , 求 p1 ? pn 的最大可能值.

四、 (本题满分 50 分) 设 n, k 为大于 1 的整数, n < 2k .证明:存在 2 k 个 不被 n 整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.


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