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导数的概念


第三章 导数及其应用

3.1.2 导数的概念

平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。 自由落体运动中,物体在不同时刻的 速度是不一样的。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

例1、自由落体运动的运动方程为s=

1 2 2 gt ,

计算t从3s到3

.1s, 3.01s , 3.001s 各段时间

内的平均速度(位移的单位为m)。
解:设在[3,3.1]内的平均速度为v1,则

△t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)

?s1 0.305g ? ? 3.05g (m / s) 所以 v1 ? ?t1 0.1
?s2 0.03005 g 同理v2 ? ?t ? 0.01 ? 3.005g (m / s) 2

?s3 0.0030005 g v3 ? ? ? 3.0005g (m / s) ?t3 0.001

例1是计算了[3,3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
解:设在[2.9,3]内的平均速度为v4,则 △t1=3-2.9=0.1(s) △s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92 =0.295g(m)

所以

?s4 0.295g v4 ? ? ? 2.95g (m / s) ?t4 0.1

设在[2.99,3]内的平均速度为v5,则
?s5 0.02995 g v5 ? ? ? 2.995g (m / s) ?t5 0.01

设在[2.999,3]内的平均速度为v6,则
?s6 0.0029995 g v6 ? ? ? 2.9995g (m / s) ?t6 0.001

各种情况的平均速度 △t>0 0.1 0.01 0.001 v 3.05g 3.005g 3.0005g △t<0 -0.1 -0.01 -0.001 v 2.95g 2.995g 2.9995g

当△t→0时,

物体的速度趋近于一个确定的值3g

在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于
在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度 当△t→0的极限,

?s g v ? lim ? lim ?6 ? ?t ? ? 3g ? 29.4?m / s ? ?t ?0 ?t ?t ?0 2

一般结论 设物体的运动方程是 s=s(t),

物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,

当△t→0 时平均速度的极限 ,即
?s s ?t ? ?t ? ? s ?t ? v ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

例2、

y

y ? f ( x)

相交

o

P

x
再来一次

此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 同?
y
y=f(x)

Pn

割 线
T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线: 直线与曲线有唯一公共点时,直线叫曲线过该点的 切线?如果能,请说明理由;如果不能,请举出反 l 例。
直线与圆有惟一公共点时, 直线叫做圆的切线。 P y

不能
o x

所以,不能用直线与曲线的公共点的个 数来定义曲线的切线。

y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
l2

割线趋于的确定位置的 直线定义为切线(交点
x

B

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

C

割线与切线的斜率有何关系呢?
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? = ?x ?x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

P(x0,y0)
△x

M

o

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ? f ??x0 ? ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

k PT ? lim k PQ
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?s s ?t ? ?t ? ? s ?t ? v ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

一般地,

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数 记作: f ?? x0 ? 或 y ? x ? x0 即
f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ??x0 ? ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

注意:
1、函数应在点的附近有定义,
否则导数不存在。

2、在定义导数的极限式中,△x趋近于0

可正、可负,但不为0,而△y可能为0。 3、导数是一个局部概念,它只与函数在x0
及其附近的函数值有关,与△x无关。
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 4、若极限 ?lim 不存在,则称 x ?0 ?x

函数在点x0处不可导。

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

导数可以描述任何事物的瞬时变化率. 瞬时变化率除了瞬时速度,切线的斜率 还有:点密度,国内生产总值(GDP)的增 长率,经济学上讲的一切边际量 等.

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品,需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时,原油的温度(单位:℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0?x ?8).计算第2h和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们 的意义。 解:第2h和第6h时,原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义:

?f f ( 2 ? ? x ) ? f ( 2) ? ?x ?x

f(x)=x2-7x+15

(2 ? ?x) 2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x

4?x ? ?x 2 ? 7?x ? ?x

? ?x ? 3
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 所以,f ?(2) ? ?lim x ?0 ?x ?x ?0

同理可得

f '(6)=5

f ?(2) ? ?3

说明在第2h附近,原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降;

f '(6)=5

说明在第6h附近,原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升;

练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
1 2 运动的物体,t秒时的高度为h(t)=v0t-2 gt ,

求物体在时刻t0时的瞬时速度。
1 1 2 2 ? ?h ? v0 (t0 ? ?t ) ? g (t0 ? ?t ) ? v0t0 ? gt 0 2 2

1 2 ? (v0 ? gt 0 )?t ? g?t 2

?h 1 ? ? v0 ? gt 0 ? g?t ?t 2
?h 当?t ? 0时, ? v0 ? gt 0 ?t

所以

物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.

练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位:m , 时间单位:s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。 a=2

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在

点x0处的导数的方法是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? (2)求平均变化率 ?x ? ?x

(3)取极限,得导数

?y f ?? x 0 ? ? lim ?x ? 0 ?x

导数的几何意义的应用
例2:

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 解:y? |x ?1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 ? x ? 0 ?x ?x

?切线方程:y ? 2 ? 2( x ? 1)

即: 2x ? y ? 0

二、函数的导数:

小结:
弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1 )函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图,已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解: (1) y ? x , 1 1 3 3 3 ( x ? ?x) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2

y?

1 3 x 3

1 3x 2 ?x ? 3x(?x)2 ? (?x)3 ? lim { ? } ?x ?0 3 ?x
1 ? lim { ? [3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ]} ? x 2 . ?x ?0 3

P
x 1 2

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

导数的几何意义的应用
f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ?1 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ?0 , 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

f (1) ? f (1 ? x ) 解: ? f ( x )是 可 导 函 数 且 lim ? ?1, x ?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x) y Q1 Q2 Q4 Q3
观察图像,可以发现, 在点P附近, P Q2比P Q1更贴紧曲线f ?x ?, P Q3比P Q2 更贴紧曲线f ?x ?, P Q4比P Q3 更贴紧曲线f ?x ?,

T??? 过点P的切线P T最贴紧点P

P o

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线P T

附近的曲线f ?x ?。因此,在点P附近, 近似代替。这是微积分 中的重要思

x

想方法--以直代曲!

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 ? . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

小 结:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 的定义。 求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是: 法一:由导数的定 法二:先用定 义可知, 义求导函数, 或 (1)求函数的增量 再代入求导函 (2)求平均变化率 数的函数值。 (3)取极限,得导数


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