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重庆一中2014届高三5月月考 数学文


2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第三次月考

(x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点,且 MN ? 4 ,则此双曲线的离心率为(
A.



数 学 试 题(文科)2014.5
一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

/>5

B. 5 3
3

C. 3 5 5

D.

8. 已知函数 f ( x) ? sin wx (w > 0)的一段图像如图所示,△ ABC 的 顶点与坐标原点重合,是 f ( x) 的图像上一个最低点,在轴上,

? 1 ? 1.已知集合 M ? ? x ? ?1? , N ? ? x x 2 ? ? x? ,则 ? x ?
A. A ? B
?

B. A ? B

C. A ? B
?

D. A ? B =?

若 内 角 A, B, C 所 对 边 长 为 a, b, c , 且 △ ABC 的 面 积 满 足
S? b2 ? c 2 ? a 2 ,将 f ( x) 右移一个单位得到 g ( x) ,则 g ( x) 的 12

2.函数 y ?
A.(??,0)

x 的定义域为 ln x
B.(0, ??) C.(-?,1) (1, ??) D.(0,1) (1, ??)

表达式为
2 x 1 C. g ( x ) ? sin( ? ) 2 2
A. g ( x ) ? ? cos(

?

3.某学期地理测试中甲的成绩如下:82,84,84,86,86,88,乙的成绩如下:81,83,85,85, 87,95,则下列关于两组数据的描述相同的是 A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差

x)

x) 2 x 1 D. g ( x ) ? sin( ? ) 2 2

B. g ( x ) ? cos(

?

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? x , y 4.若变量 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为,最小值为,则的值是( ? x ? 0, ? ? y ? 0,
A. ?2

9.已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的内切球的半径为 1,则该三棱柱的体积是( )
A. 4 3 B. 6 3 C. 12 3 D.



5 B. ? 4

1 C. ? 2

10.已知函数 f ( x) ?
D.

x e
x

( x ? R) ,若关于的方程 f 2 ( x) ? tf ( x) ? t ?1 ? 0 恰好有 4 个不相等的实数根,则

5.已知命题 p : ?x ? R, cos x ? a ,下列的取值能使“ ?p ”命题是真命题的是
A. a ? R B. a ? 2 C. a ? 1 D. a ? 0

实数的取值范围为 1 A. ( ,2) ? (2, e) e

1 B. ( ,1) e

1 C. (1, ? 1) e

1 D. ( , e ) e

6.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,利用如图所示的程序框图计算该数列的 第 10 项,则判断框中应填的语句是(
A. n ? 10 B. n ? 10 C. n ? 9 D. n ? 9



二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 5 11.已知复数 z ? ,则 z ? . i?2 12.已知等差数列 ?an ? , a3 ? a9 ? 18, 则它的前 11 项和 S11 ? 13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 3 . .

主视图

侧视图

俯视图

x2 y 2 7. 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 与 圆 a b

14.已知点是 ?ABC 的重心,若 A ?

2? , AB ? AC ? ?3, 则 AP 的最小值_____ 3

15. 已知直线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 ,且与椭圆交于 A, B 两点,过点 A, B 分别作椭圆的两条 4 3

19 . ( 本 小 题 12 分 ) 如 图 菱 形 ABEF 所 在 平 面 与 直 角 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,
AB =2 AD ? 2CD ? 4 , ?ABE ? 600 , ?BAD ? ?CDA ? 90? ,点 H 是线段 EF 的中点.

切线,则其交点的轨迹方程 三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)16.(原创)(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前项 和 Sn =n , (1)求数列 ?an ? 的通项; (2)求数列 an +3an 的前项和 Tn ;
2

(1)求证:平面 AHC 平面 BCH ; (2)求多面体 ABCDEF 的体积

F

H

E

A G D C

B

?

?

(-?, 0)( ? 0, +?) (0, +?) 20.已知 f ( x) 是定义在 上的奇函数,当 x ? 时, f ( x)=ax ? 2ln x(a ? R)

(1) 求 f ( x) 的解析式; 17.( 原创)(本小题满分 13 分)重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成 绩作相关分析时,得到石周卓婷同学的某些成绩数据如下: 第一次考试 第二次考试 第三次考试 第四次考试 数学总分 118 119 121 122 总分年级排名 133 127 121 119 (1)求总分年级名次对数学总分的线性回归方程 y ? bx ? a ;(必要时用分数表示) (2)若石周卓婷同学想在下次的测试时考入前 100 名,预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多 少分(取整数,可四舍五入)。
(x ? x) ? (y ? y) ?
i ?1 i i n

(2) 是否存在负实数,当 x ?? ?e,0? 时,使得 f ( x) 的最小值是 4,若存在,求的值,如果不存在,
(-x) 请说明理由。(其中: ln 的导数是)

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx , 21.(12 分)若抛物线 y 2 ? 4x 的焦点与椭圆的右焦点重合,椭圆与轴的上半轴交于点 B2 ,与轴的 右半轴交于点 A2 ,椭圆的左、右焦点为 F1、F2 ,且 3 F1 B2 cos ?B2 F1F2 ? 3 OB2 (1)求椭圆的标准方程;

2

1 3 ? ? 5? ? 18. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? x ? R ?(1) 当 x ? ? ? , ? 时, 2 2 21 2 ? ? 1 求函数 f ( x) 取得最大值时的值; ? N *, 若 向 量 ( 2 ) 设 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 应 边 分 别 是 a, b, c , 且 a ? 1 , c

(2)过点 D(0,2) 的直线,斜率为 k (k>0) ,与椭圆交于 M , N 两点.
(i ) 若 M , N 的中点为 H ,且存在非零实数,使得 OH =? A2 B2 ,求出斜率的值;
(ii ) 在轴上是否存在点 Q?m,0? ,使得以 QM , QN 为邻边的四边形是个菱形?若存在求出 m 的

m ? ? s i nB ? , 2 n? ,? ?

, 1 ,?A s i n ? m ,求的值。

范围,若不存在,请说明理由.

19. 解: (1) 在菱形 ABEF 中, 因为 ?ABE ? 600 , , 所以 ?AEF 是等边三角形, 又因为点 H 是线段 EF

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第三次月考

数 学 答 案(文科)2014.5
一 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)
1 ? 5 : D.D.C. A.B;6 ?10 : DCABC.

的中点.,所以 AB ? EF ? AH ? AB 因为面 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 互相垂直,且面 ABEF 所以 AH ? ABCD ,所以 AH ? BC

面 ABCD=AB,

=2 AD ? 2 C?D 4 在直角梯形中, AB , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 得 到 AC ? BC ? 2 2 , 从 而
2 2 AC + BC ? 2 AC ? BC ,又 AH A,所以 B

AC=A

所以 BC ? AHC ,所以平面 AHC 平面 BCH ; 二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 6 14. 11. 5 12.99 13.4 3 15.x ? ?4 三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解:(1)当 经验证, (2) V多面体ABCDEF =VC ? ABEF ? VF ? ADC ?

20 3 3

20.解:(1)当 x ? (??,0) 时,则 ? x ? 0 ,由已知得 f (? x) ? ?ax ? 2ln(? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ax ? 2ln(? x)

n ? 1, a1 ? S1 ? 1, n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1

n ? N ? , an ? 2n ?1
1 ? 9n 9n ? 1 ? 8n2 ? . 1? 9 8

?ax ? 2ln x,( x ? 0) ∴ f ( x) ? ? ?ax ? 2ln(? x),( x ? 0)
(2)假设存在 a ? 0 满足题意, ∵ f ( x) ? ax ? 2ln(? x), x ?[?e,0) ,

(2)

an +3an ? 2n ? 1 ? 32 n?1 ,?Tn ? Sn ?

118 ? 122 ? 121 ? 119 133 ? 127 ? 121 ? 119 ? 120, y ? ? 125, 17.解:(1) x ? 4 4

17 17 17 ,? a ? 125+ ?120=543, ? y=- x ? 543 5 5 5 17 (2) y ? 100,?100 ? - x ? 5143 ? x ? 130 5 ?b ? 18.解:(1) f ( x) ?
3 1 ? cos 2 x 1 3 1 ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 2 6
5? , 12

∵?

?
12

?x?

∴?

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? , 3

∴?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
f ( x) 取得最大值;

2 a( x ? ) 2 a , x ?[?e,0) ,令 f ?( x) ? 0, x ? 2 ∴ f ?( x) ? a ? ? a x x 2 2 2 2 ? e , 即 a ? ? 时, f ( x) 在 ( ? e, ) 上单调递减,在 ( , 0) 上单调递增, 当 a e a a 2 ∴ f ( x) min ? f ( ) ? 4 ,解得 a ? ?2e ; a 2 2 当 ? ? e , 即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 [?e, 0) 上单调递增, a e 6 2 ∴ f ( x)min ? f (?e) ? 4 ,解得 a ? ? ? ? ,矛盾! e e 综上所述,存在 a ? ?2e 满足题意.

? ? ? ? 所以当 sin(2 x ? ) ? 1 , 即 2 x ? ? , 得 x ? , 6 6 2 3
(2) sin B ? 2sin A , 即 b ? 2a , a ? 1, b ? 2 由余弦定理 c2 ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2cos C ? 5 ? 4cos C , ∵0 ? C ?

21.解:(1)抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为(1,0), ∴椭圆的焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) . 设短半轴长, 长半轴长, 因为 | F1B2 | cos ?B2 F1F2 ? ∴ b ? 3c ? 3, a ? 2 , ∴椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 4 3

3 | OB2 | 3

?
2

, ∴ 0 ? cos C ? 1 ∴ c ? 2 , 经检验符合三角形要求.

∴ 1 ? c2 ? 5 , 即 1 ? c ? 5 , 又∵ c ? N *

(2)由题意设直线的方程为 y ? dx ? 2, (k ? 0) , 他与椭圆交于 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点,

? y ? kx ? 2, (k ? 0) ? 则 ? x2 y 2 , ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ?? ? 12k 2 ? 3 ? 0 ? ?16k 1 1 ? , 由? ? 12k 2 ? 3 ? 0, 得k 2 ? , 又k ? 0, 故k ? ? x1 ? x2 ? 2 4k ? 3 4 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4k ? 3 ?
M , N 的中点 H (
?8k 6 , 2 ) 2 4k ? 3 4k ? 3

又 OH / / A2 B2

kOH

6 3 1 3 ?0 3 3 , 解得 k ? ? , 所以 k ? ? 4k ? 3 ? k A2 B2 ? ?? ?8k 2 2 2 0?2 2 2 4k ? 3
2

(3)设在轴上存在点 Q(m, 0), 使得以 QM , QN 为邻边的四边形为菱形,

则 HQ ? MN ? k HQ ? kMN

6 ?0 ? ?1, 4k ? 3 ? k ? ?1 ?8k ?m 4k 2 ? 3
2

则m ? ?

2k 1 2 2 3 (k ? ) ? ? ? ?? 2 3 4k ? 3 2 6 3 4k ? 2 4k ? k k
3 1 3 , k ? , 即k ? 取等号 k 2 2

当且仅当 4k ? 又m??

2k ? 0 , 故在轴上存在点 Q(m,0) , 使得以 QM , QN 为邻边的四边形为菱形 , m 范围 4k 2 ? 3

[?

3 , 0) 6


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