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数学《必修2》空间中直线与直线之间的位置关系同步练习一


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
练习一 一、 选择题 1、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) A、2 对 C、6 对 B、3 对 D、12 对

2、过平面内一点与平面外一点的直线,和平面内不过该点的直线是( A、平行线 C、异面直线 B、相交直线 D、互相垂直的相交直线

)

r />3、平面?与平面?相交,直线 a?,直线 b?,则这三个命题中,不正确的命题个数是( ) ①a、b 必为异面直线 ②a、b 必为平行直线③a、b 必为相交直线 A、0 B、1 C、2 D、3

4、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面对角线中,与 AD1 成 60°角的有( ) A、4 条 C、8 条 B、6 条 D、10 条 A1 5、异面直线 a、b 成 60°角,直线 c⊥a,则直线 b 与 c 所成的角的范围是( ) 66 C、 [60°,120°] D、 [30°,120°] D A B C D1 M B1 C1 N

6、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 B1C1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角 的余弦值是: A、
3 2

B、

10 10

C、

3 5

D、

4 5

二、填空题 7、如图,写出立体图形 A—BCD 中所有的异面直线,它们是________ 8、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AA1 平行的棱有________条;与 AA1 相交的棱有 4 条; 与 AA1 异面的棱有 4 条,它们分别是________ 9、已知 a、b 是两条直线,且 a 不平行 b,且 a∩b= ? ,那么 a 与 b 是________ 10、设 P 为异面直线 a、b 外一点,那么过 P 与 a、b 同时平行的直线有________条;过 P 与 a、b 同时垂直 的直线有________条
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11、设点 P 是直线 l 外的一点,过 P 与 l 成 30°角的异面直线有________条 三、解答题 12、过一点 O 的三条直线 OA、OB、OC 不共面,且 D、E 在 OA 上,F 在 OB 上,G 在 OC 上,求证:DF 与 EG 是 异面直线

13、如图,已知?∩?=a,b?,a∩b=A,且 c?,c∥a,求证:b、c 为异面直线

14、已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的长和宽都是 4 cm,高是 2 cm,求: (1)BC 和 A′C′所成角的度数; (2)AA′和 BC′所成角的正切值是多少?

15、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点,求 AE、BF 所成角的余弦值、

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答案: 一、 选择题

1.C ;2、C ;3、D ;4、C ;5、A ;6、D
二、填空题 7、AB 与 CD,AC 与 BD,AD 与 BC 8、3 D1C1、B1C1、DC、BC 9、异面直线 10、0 1 11、无数 三、解答题 12、证明:假设 EG、DF 共面,不妨设 EG、DF 确定平面?、

∴ D、E、F、G∈? 又 D、E∈OA ∴ OA? ∴ O∈? 又 O∈OC,G∈OC,O∈OB,F∈OB ∴ OC?,OB? ∴ OA、OB、OC 共面,这与已知矛盾 ∴ 假设 EG、DF 共面不成立, ∴ EG、DF 是异面直线、 13、证明:假设 b、c 不是异面直线,即 b、c 为共面直线,则 b、c 为相交直线或平行 (1)若 b∩c=P, ∵ b?,c? 又?∩?=a ∴ P∈?,P∈? ∴ 点 P 在?与?的交线 a 上、 即 P∈a ∴ 直线、

a∩c=P

这与 a∥c 矛盾,b、c 相交不能成立、 (2)若 b∥c ∵ a∥c ∴ a∥b
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这与 a∩b=A 矛盾,b、c 平行也不能成立、 由(1)、(2)可知,b、c 为异面直线、 14、解:(1)∵ B′C′∥BC ∴ A′C′与 B′C′所成的角就是 A′C′与 BC 所成的角,在△A′B′C′中,A′B′=B′C′=4, ∠A′B′C′=90° ∴ ∠A′C′B′=45° ∴ BC 和 A′C′所成角的度数为 45° (2)∵ A′A∥B′B ∴ B′B 和 BC′所成的角就是 AA′和 BC′所成的角、 在△B′BC′中,BB′=2,B′C′=4,∠BB′C′=90° ∴ tan∠B′BC′=
B ?C ? 4 = =2 BB ? 2

∴ AA′和 BC′所成角的正切值为 2、 15、解:如图,连结 EC1,则 EC1∥BF,AE 与 EC1 所成的角,就是 AE 与 BF 所成的角、连结 AC1,设正方体的 棱长为 a,则 AE=EC1=
5 a,AC1= 3 2

a

在△AEC1 中, cos∠AEC1=
2 AE 2 ? AC12 2 AE
2

=1-

AC1 2 2 AE
1 5
2

=1- =-

6 5

1 5

∴ AE、BF 所成角的余弦值为 、

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