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高中数学必修三


高中数学新授课导学案

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§1.3 算法案例
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组长评价: 教师评价:

学习目标
1. 理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制。 2. 通过具体的实例,能正确地识别常见案例。 3. 激情投入,积极思考,勇于发言,培养科学的态度和正确的价值观。 重点:理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制。 难点:理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制。

学习过程
使用说明: (1)预习教材 P17 ~ P19,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.知识链接 通过学习辗转除法和更相减损术、秦九韶算法、进位制三种典型案例,进一步体会 算法思想。 二.新知导学 问题 1:阅读辗转除法和更相减损术,它的作用是什么?体会它的实施过程?

问题 2:阅读秦九韶算法,它的作用是什么?体会它的实施过程?

问题 3:阅读进位制,它的作用是什么?体会它的实施过程?

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丰碑无语,行胜于言

探究案(30 分钟)
三.新知探究 【知识点一】辗转除法和更相减损术 辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法. (1)辗转相除法就是对于给定的两个正整数,用大数除以小数,若余数不为 0,则将小 数和余数构成新的一对数,继续上面的除法,反复执行此步骤,直到大数被小数除尽, 则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数. (2)更相减损术就是对于给定的两个正整数,若它们都是偶数,则将它们反复除以 2(假 设进行了 k 次),直到它们至少有一个不是偶数后,将大数减小数,然后将差和较小的数 构成一对新数,继续上面的减法,反复执行此步骤,直到差和较小的数相等,此时相等 的数再乘以原来约简的 2 即为所求两数的最大公约数. 例 1:分别利用辗转相除法和更相减损术求正整数 567, 246 的最大公约数?根据所求得 的最大公约数你能得到这两个数的最小公倍数吗?
k

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高中数学新授课导学案

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【知识点二】秦九韶算法 秦九韶算法是求多项式值的优秀算法. 设 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ? ? a1x ? a0 , 改写为如下形式: f ( x) ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x? ? a1 ) x ? a0 . 设 v0 ? an , v1 ? v0 x ? an?1

v2 ? v1 x ? an ? 2 v3 ? v2 x ? an ?3 ? vn ? vn ?1 x ? a0
这样求 n 次多项式 f ( x ) 的值就转化为求 n 个一次多项式的值.当多项式中有些项不存在 时,可将这几项看做 0 ? x ,补齐后再利用秦九韶算法进行计算.对于一个 n 次多项式,
n

只需做 n 次乘法和 n 次加法运算即可. 例 2 :设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 10x3 ? 10x2 ? 5x ? 1 , 当 x ? ?2 时的值;并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算?

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丰碑无语,行胜于言

【知识点三】进位制 K 进制数的基数为 k,k 进制数是由 0 ? k ? 1 之间的数字构成的. 将十进制的数转化为 k 进制数的方法是除 k 取余法.

把k进制数an an?1 ?a1a0 (0 ? an ? k ,0 ? an?1,?a1, a0 ? k )化为十进制数的方法为

an an?1 ?a1a0( k ) ? ank n ? an?1k n?1 ??? a1k ? a0 .
例 3:把二进制数 110 011? 2? 化为十进制数。

例 4:把十制数 89 化为二进制数。

四.我的疑惑
(把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面,先组内讨论尝试解决,能解决的划“√” ,不能解决 的划“×” )

(1) (2)

( ) ( )

分享收获
(通过解决本节导学案的内容和疑惑点, 归纳一下自己本节的收获, 和大家交流一下, 写下自己的所得)

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随堂评价(15 分钟)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:15 分钟 满分:30 分)计分:
1.利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。

2.写出利用秦九韶算法计算 f ( x) ? 0.83x ? 0.41x ? 0.16x ? 0.33x ? 0.5x ? 1
5 4 3 2

当 x ? 5 时的值的算法,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算?

3.用“除 k 取余法”将十进制数 2012 转化为二进制数和八进制数。

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丰碑无语,行胜于言

课后巩固(30 分钟)
(学习目标:正确识别常见的算法案例的功能)

1.右面程序的输出结果为( A. 3,4 C. 7,8 B. 7,7 D. 7,11

)程序:

X=3 Y=4 X=X+Y Y=X+Y PRINT X,Y

2.算法 则输出 m 表示 ( ) S1 m=a S2 若 b<m,则 m=b S3 若 c<m,则 m=d S4 若 d<m,则 m=d S5 输出 m,

A.a,b,c,d 中最大值 B.a,b,c,d 中最小值 C.将 a,b,c,d 由小到大排序 D.将 a,b,c,d 由大到小排序

3.给出以下算法: 则算法完成后,输出的 i 的值等于 。

S1 S2 S3 S4 S5 S6

i=3,S=0 i=i+2 S=S+i S≥2009?如果 S≥2009,执行 S5;否则执行 S2 输出 i 结束

4 4.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断框中应填入的条 5 件是 。

5.下面程序输出的 n 的值是______________.

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高中数学新授课导学案 开始

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i=1,sum=0,s=0 否

是 i=i+1

输出 s

sum=sum+1 结束 s=s+1/(sum*i)

j=1 n=0 WHILE j<=11 j=j+1 IF j MOD 4=0 THEN n=n+1 END IF j=j+1 WEND PRINT n END 5题

(4 题)

5.阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是 6.该程序框图实现的功能是
开始

输入 n
S=0,T=0 是

n<2?
否 S=S+n

输出 S,T

n=n-1 结束 T=T+n n=n-1

5

(5 题) 题
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(6 题)

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课外阅读
1.辗转相除法 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 解:8251=6105×1+2146 2146=1813×1+333 333=148×2+37 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前 300 年左 右首先提出的。 2.用更相减损术 求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35 63-35=28 28-7=21 14-7=7 所以,98 与 63 的最大公约数是 7。 3.秦九韶计算多项式的方法 35-28=7 21-7=14 6105=2146×2+1813 1813=333×5+148 148=37×4+0

f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? a n ?2 x n?2 ? ? ? a1 x ? a0 ? (a n x n ?1 ? a n ?1 x n?2 ? a n?2 x n ?3 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ((a n x n ?2 ? a n ?1 x n?3 ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (? ((a n x ? a n ?1 ) x ? a n?2 ) x ? ? ? a1 ) ? a0
4.进位制 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011=1*2 +1*2 +0*2 +1*2 +0*2 +1*2 +1*2 =32+16+2+1 =51 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 89=2*44+1 22=2*11+0 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 =1*2 +0*2 +1*2 +1*2 +0*2 +0*2 +1*2 =1011001(2)
6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 4 2 1 0

44=2*22+0 11=2*5+1

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高中数学新授课导学案

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7.写出求 m=60 和 n=33 的最大公约数的算法和程序框图.

8.目前高中毕业会考中, 成绩在 85~100 为“A”,70~84 为“B”,60~69 为“C”,60 分以下为 “D”.编制程序,输入学生的考试成绩(百分制,若有小数则四舍五入),输出相应的等级.

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