当前位置:首页 >> 理学 >> 2-2离散型随机变量及其分布律

2-2离散型随机变量及其分布律


第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律

一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量,我们所关心的问题: (1)随机变量所有可能的取值有哪些? (2)取每个可能值的概率是多少? 定义 设x1,x2,…为离散型随机变量X的可能取值, p1,p2,…为 X 取 x1,x2,… 的概率,即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)

称式(1)为随机变量X的分布律或称为分布列,简称为 X的分布.

分布律也常用表格的形式给出,即 X x1 x2 … x i … P p1 p2 … p i … 表中xi的顺序是任意的,为以后讨论方便起见,常 按x1<x2<x3?的顺序排列.今后,离散型随机变量 的分布就是指分布律或分布列.

X P

x1 p1

x2 … p2 …

xi … pi …

任一离散型随机变量的分布律具有性质:
(1) pi ? 0, i ? 1,2,?;
( 2) ? pi ? 1.
i ?1 ?

例1 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行 检验,用随机变量X描述废品出现的情况,写出X的分 布.
解 用 X 表示抽到废品的个数,即
X ? 1 表示产品为废品, X ? 0 表示产品为合格品



X P

0

1

0.95 0.05

的道路上需经过四 例2 设一汽车在开往目的地 组信号灯, 每组信号灯以概率 p禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时 , 它已通过的信号灯 的组数(设各组信号灯的工作是 相互独立的), 求 X 的分布律.

X
0 1 2 3 4

P p

(1 ? p ) p

(1 ? p)2 p (1 ? p)3 p (1 ? p)4

二、常见的离散型随机变量
1、0-1分布
若随机变量X的分布律为
X P 0 q 1 p , q =1-p

则称X服从于参数为p的0-1分布或者两点分布.

例如 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况. ?0, 当出现正面, X ?? ? 1, 当出现反面. 随机变量 X 服从 0-1 分布. 其分布律为
X P 0 1 2 1 1 2

例如 200件产品中,有190件合格品,10件不合 格品,现从中随机抽取一件,若规定

?1, 取到不合格品, X ?? ?0, 取到合格品.
随机变量 X服从0 -1分布. 其分布律为
X

0
190 200

1
10 200

p

注 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象,都属于两点分布.

2、二项分布

(1)二项分布的定义
伯努利试验:只关心两个可能结果A与 A 的试验 很多随机试验,其可能的结果不止两个,但 由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生 感兴趣,因而也可将之归结为伯努利试验。 例如 明天的天气可以有多种情况,但若只关心明天 是否下雨,则观察明天的天气,其结果就只有两个: “下雨”或“不下雨”,因而可被看作是一个伯努

利试验。

n重伯努利试验 设E表示一个伯努利试验,将E独立重复进行n 次所得试验模型称为n 重伯努利试验。

例如 掷一枚硬币,其结果为A =“出现正面”或 A ? “出现反面” 伯努利试验
重复掷10次 重复掷n次 10重伯努利试验 n 重伯努利试验

定理

若伯努利试验中事件A的概率为 P ( A) ? p,

(0 ? p ? 1) ,则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为

C pq

k n

k

n? k

其中p ? q ? 1
k ? 0,1,?, n.

k k n? k pq 若随机变量 X 的分布律为 P?X ? k? ? Cn

其中 k ? 0,1,?, n; 0 ? p ? 1; q ? 1 ? p. 即 X p
0 q
n 1 n

1 C pq
n ?1

?
k n

k
k n? k

? ?

n p
n

? C p q

则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记作 r .v . X ~ B( n, p).
注 二项分布的随机变量X描述的是n重伯努利试 验中概率为p的事件A发生的次数.

对二项分布
X p 0 qn 1
1 Cn pq n?1

?

k

? ?

n pn

k ? Cn p k q n? k

(1) P?X ? k? ? 0, ( k ? 0,1,?, n) 显然有:
k k n? k ( 2) ? C n p q ? ( p ? q )n ? 1. k ?0 n

例4 在一批次品率为20%的产品中,有放回的任 意抽取10件,试求抽到次品件数X的分布律,并求 至多只有一次抽到次品的概率.. 解 有放回抽取,故为10重伯努利试验,故 r .v . X ~ B(10,0.2), 即
k P{ X ? k } ? C10 0.2k 0.810?k , k ? 0,1,?10

即P

X

0

1

2 0.30

3 0.20

4 0.09

5 0.03

6

7

8 0.00

9 0.00

10 0.00

0.11 0.27

0.01 0.00

P ( X ? 1) ? P ( X ? 0) ? P ( X ? 1)
1 0.2 ? 0.89 =0.38. ? 0.810 +C10

注 从分布列中可知,当k增大时,概率 P { X ? k } 先是随之增大,直到取到最大值(k=2),随后 开始单调减少。一般地,对于固定的n和p,二项 分布B(n,p)都具有最可能值 k0 这一性质.
(2) 二项分布的最可能值 二项分布中使概率P(X=k)取到最大值的k,称 为二项分布的最可能值,记为k0. 若P(X =k0)为最大,则有

P{ X ? k0 } ? P{ X ? k0 ? 1} P{ X ? k0 } ? P{ X ? k0 ? 1}

(1) ( 2)

由(1)式 化简得

n! n! p k 0 q n ?k 0 ? pk0 ?1q n ?k0 ?1 k 0 !(n ? k 0 )! (k 0 ? 1)!(n ? k 0 ? 1)!

(n ? k0 ? 1)p ? k 0q
k 0 ? (n ? 1)p

同理,由(2)式可得 k0 ? (n ? 1)p ?1 所以 即
(n ? 1)p ?1 ? k 0 ? (n ? 1)p

?(n ? 1)p或(n ? 1)p-1 当(n ? 1)p是整数时 k0 ? ? [(n ? 1)p] 其它 ?

其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。

3、泊松(poisson)分布 (1)设随机变量X所有取的值为0,1,2,…,而取各 个值的概率为 ? k e ?? P{ X ? k } ? , k ? 0,1,2,?, k! 其中 ? ? 0 是常数,则称X服从参数为? 的泊松 分布,记为 r .v . X ~ π(? )或 P(? ).
? ? k e ?? xk ? e x,易知 ? ? 1. 利用级数 ? k ?0 k ! k ?0 k! ?

历史上,泊松分布是作为二项分布的 近似,于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来,泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中,许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 ? 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.

一段时间或一定空间内事件出现次数往往服从 于Poisson分布,如: 一段时间内到电信局交电话费的人数; 一段时间内候车室中旅客数目; 一段时间内某网站被访问的次数; 某书上某一页的印刷错误数;

某块布上的暇点数; 一天中某车间机器出故障的次数等.

例6 已知X服从Possion分布,且P { X ? 1} ? P { X ? 2}, 求 P { X ? 4}. 解 需要确定参数 ?
P { X ? 1} ? P { X ? 2}



?
1!

e ?? ?

?2
2!

e ??

由于? ? 0,可求出? ? 2
24 ? 2 2 ? 2 故 P{ X ? 4} ? e ? e ? 0.090224 4! 3 实际计算时,可查Poisson分布表.

(2)Possion分布与二项分布的关系 定理2 (possion定理) 设r .v . X ~ B( n, p) ,当n较大,p 较小时,可以用possion分布近似代替二项分布,即 r .v . X ~ ? (? ),其中 ? ? np.

注 一般当 np ? 5 时,用Poisson分布近似二项分布 的效果较好.

0.02, 例7 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 独立射击 200 次, 试求至少击中两次的概 率.

解设击中的次数为 X ,

则 X ~ B( 200,0.02).

X 的分布律为
k P{ X ? k } ? C200 (0.02)k (0.98)200?k , k ? 0,1,?,200.

因此 P { X ? 2} ? 1 ? P { X ? 0} ? P { X ? 1} 200 199 ? 1 ? (0.98) ? 200(0.02)(0.98) 可近似认为 X ~ ? (? ),? ? 200 ? 0.02 ? 4. P { X ? 2} ? 0.9084. 则由查表得:


更多相关文档:

离散型随机变量及其分布律

5.离散型随机变量及其分布律【教学内容】 :高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第§2 离散型随机变量及其分布律 【教材...

2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案

2.1离散型随机变量及其分布列测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2.1 离散...并且概 4 1 率都是 3 (1)求他在途中至少遇到一次红灯的概率; (2)设ξ ...

离散型随机变量及其分布列2

离散型随机变量及其分布列2_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2. 1.2 离散型随机变量的分布列教学目标: 知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率...

...选修2-3同步练习:2.1.2《离散型随机变量及其分布列...

高中数学人教版选修2-3同步练习:2.1.2《离散型随机变量及其分布列》_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版选修2-3同步练习 课时训练 7 离散型随机变量的分布...

3.2.1离散型随机变量及其分布

(2)求出每一个 随机变量在某一 范围内取值的概 率; (3)列成表格 P 我们称这个表为离散型随机变量 X 的概率分布,或 称为离散型随机变量 X 的分布列。 ...

离散型随机变量及其分布列2

离散型随机变量及其分布2_数学_高中教育_教育专区。离散型随机变量及其分布列(...设某项试验的成功率为失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功...

2.1.2离散型随机变量的分布列(教学设计)

SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》 2. 1.2 离散型随机变量的分布列(教学设计) 教学目标: 知识与技能: 会求出某些...

12.4离散型随机变量及其分布列 2

离散型随机变量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 B.1± 2 2 C.1- 2...C12 220 ) B.ξ=5 D.ξ≤5 ) 4. 设某项试验的成功率是失败率的 2 ...

2.1.2离散型随机变量及其分布列前置作业

§2.1.2 离散型随机变量分布列一 教材助读 1.随机变量: 2 离散型随机变量: 3 离散型随机变量的分布列 : 设离散型随机变量 X 可能取的值为 ___,则表...

02 第二节 离散型随机变量及其概率分布

02 第二节 离散型随机变量及其概率分布_理学_高等教育_教育专区。第二节 离散...为 X 的概率分布或分布律, 也称概率函数. 常用表格形式来表示 X 的概率分布:...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com