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甘肃省玉门油田一中2013届高三第五次模拟考试文科数学试题及详细答案


玉门油田第一中学 2013 届高三第五次摸底考试 数学试卷(文)
班级___________ 姓名___________ 考号___________

A.

8 3

B.
3

3 8
2

C.

16 3

D.

3 16
)

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 有唯一零点,则下列区间必存在零点的是( A. (?2, ? )

3 2

B. (?

3 , ?1) 2
2 2

C. (?1, ? )

1 2

D. ( ?

1 , 0) 2
)

第I卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1.设集合 M={-1,0,1},N={x| x ? x },则 M ∩N=(
2

9. 与直线 x ? y ? 4 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 都相切的半径最小的圆的方程是( A. ( x + 1) + ( y + 1) = 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2
2 2

B. ( x + 1) + ( y + 1) = 4 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

2

2

)

10. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积 大于 20cm 的概率为( A.
2

A.{0}

B.{0,1}

C.{-1,1} )

D.{-1,0,1}

2.命题 p : ?x ? 0 ,都有 sinx≥-1,则( A. ?p : ?x ? 0 ,使得 sin x ? ?1 C. ?p : ?x ? 0 ,使得 sin x ? ?1

)

B. ?p : ?x ? 0 ,都有 sinx<-1 D. ?p : ?x ? 0 ,都有 sinx≥-1 )

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

11.如下图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象 是 ( )

3.已知向量 a ? (?2,1), b ? (?3,0) ,则 a 在 b 方向上的投影为( A. ? 5 B. 5 ) C.-2 D.2

-3+i 4.复数 z= 的共轭复数是 ( 2+i

(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i 5. 设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

正 视图

侧 视图

)

6.同时具有性质:①最小正周期是 ? ;②图像关于直线 x ? 数是( )

?
3

对称;③在 [?

? ?

俯 视图

, ] 上是增函数的一个函 6 3

h

h

h

h

A. y ? sin( ?

x 2

?
6

) B. y ? cos(2 x ?

?

? x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? cos( ? ) 3 6 2 6

O
A.

t

O
B.

t

O
C.

t

O
D.

t

7.双曲线 (

x2 y2 ? ? 1(mn ? 0) 的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn 的值为 m n



1

12.已知 f ( x) ? 2sin(? x+? ) ,

( ? >0 , ?

?
2

?? ?

?
2

) , A、B 为图象上两点,B 是图象的最高点,C

(2) 若 x ? ? 0,

? ?

??
3? ?

求函数 f ( x) 的值域.

为 B 在 x 轴上射影,且点 C 的坐标为 (

?
12

??? ? ,0), 则 AB · BC ? (

).

A.

? ?4 4

B.

? ?4 4

C. 4

D. ?4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. )
13. 已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y =2px(p>0)的准线相切,则此抛物线的焦点坐标是___________。 14.在△ABC 中,B=
2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n 2 (n ? N * ) , 数列 {bn } 为等比数列, 且满足 b1 ? a1 ,

? 中,且 BA ? BC ? 4 3 ,则△ABC 的面积是 3

_________.

2b3 ? b4

(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式;

(2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。

?x ? y ? 5 ? 0 ? 则目标函数z ? x ? 2 y 15. 已知实数 x, y满足 ? x ? 3 ?x ? y ? 0 ?
的最小值为 .

16. 已知某算法的流程图如右图所示,则输出的结果是________.

三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 )
17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin
x x x cos ? 3 cos2 . 3 3 3
2

(1)将 f ( x) 写成 A sin(? x ? ? ) ? h ( A ? 0) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 , (1)直线 l1 过定点 A (1,0).若 l1 与圆 C
2 2

21.(本小题满分 12 分) 设 a ?R ,函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e .
2 x

相切,求 l1 的方程; (2)直线 l2 过 B(2,3)与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最小值.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,PD⊥平面 ABCD, E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2. (1)求证:BC⊥PC; (2)求证:EF//平面 PDC; (3)求三棱锥 B—AEF 的体积。

3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

24.(本小题满分 l0 分)《选修 4—5:不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | . (1)求证: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (2)解不等式 f ( x ) ? x 2 ? 2 x .

⌒ 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是AC 的中点,BD 交 AC 于 E.
(1)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (2)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r .

B

O. C E A D

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 3t ?
极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 .
(1)求直线 l 的极坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | .

4

2013 届高三第五次摸底考试数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.B;2A;3D;4D;5A;6C;7D;8C;9C;10C;11B.;12D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (1,0) ;14. 6 15. -3 ;16. 5. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
1 2x 3 2x 2x ? 3 ???????3 分 sin ? (1 ? cos ) ? sin( ? )? 2 3 2 3 3 3 2 2x ? 3k ? 1 2x ? 由 sin( ? ) ? 0 得: ? ? k? ? x ? ? (k ?Z) 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 ??????????????6 分 ? ( k ? Z) . 2

解:(1) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (2) 设 M(x,y)依题意知 MC ? MB 6分
3k ? 4 ? k k2 ?1 ? 2 ,解之得 k ?

3 . 4

?

y ?4 y ?3 ? ? ?1 x ?3 x ?2

解: f ( x) ?

5? ? 7? 1 ? 整理得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 2? ? 2? 2 ?

2

2

5? ? 7? 1 ? 所以点 M 的轨迹方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 2? ? 2? 2 ?

2

2

12 分

20. (本小题满分 12 分) 解证: (Ⅰ)略.???????4分 (Ⅱ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG //

(2)解: x ? ? 0,

? ?

??
3? ?
3 ? sin( 2x ? 3 3 ? )? ≤1 ? 3 3 2 2

1 BC, 以 GE //DF . 所 2

?
3

?

3 2x ? 2 ? 5? ,∴ ? sin( ? ) ≤1 ? x? ? 2 3 3 3 3 9 3 ]. 2

∴四边形 EFGD 是平行四边形。∴EF//GD,

又 EF ? 平 PDC, 面

DG ? 平 P D C 面
∴EO⊥底面 ABCD, EO ? 1

即 f ( x) 的值域为 ( 3 , ? 1 .18.(本小题满分 12 分)

12 分

∴EF//平面 PD C.????????8分 (Ⅲ)取 BD 中点 O,连接 EO,则EO//PD,∵PD⊥平面 ABCD,

1 1 1 1 ????12 分. VB ? AEF ? VE ? ABF ? S? ? OE ? ? ? 2 2 ? 1 ? ABF 3 3 4 3
1分 21.(本小题满分 12 分)
x 2 x x 解: (Ⅰ) f ?( x) ? (2 x ? a)e ? ( x ? ax ? a)e ? ( x ? 2)( x ? a)e .

解:解: (1)由已知 S n ? n 2 ,得 a1 ? S1 ? 1 当 n ≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 所以 a n ? 2n ? 1(n ? N * ) 由已知, b1 ? a1 ? 1 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,由 2b3 ? b4 得 2q ? q ,所以 q ? 2
2 3

3分 5分

…………… 3 分

当 a ? 1 时, f ?(0) ? ?2 , f (0) ? ?1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (?1) ? ?2 x , 即 2x ? y ? 1 ? 0 . ……… 5 分 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? a . ① a ? 2 ,则当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?2, 2) 上单调递减, 所以,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得最小值,最小值为 f (2) ? (4 ? 3a)e . ……… 7 分
2

7分 8分

所以 bn ? 2

n ?1

(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn ,
2 n ?1 则 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 ,

② ?2 ? a ? 2 ,则当 x ? ? ?2, 2 ? 时,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2
2 n ?1

x
? (2n ? 1) ? 2
n

?2
(4 ? a)e
?2

(?2, a)
?

a
0
极小值

(a, 2)

2
(4 ? 3a)e2
………………… 10 分

10 分 11 分

f ?( x) f ( x)

?
?
a

? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?(2n ? 3) ? 2 n ? 3
19.(本小题满分 12 分) 12 分
n 所以 Tn ? (2n ? 3)2 ? 3

?

所以,当 x ? a 时,函数 f ( x) 取得最小值,最小值为 f (a ) ? ?a ? e .

③ a ? ?2 ,则当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?2, 2) 上单调递增,
5

所以,当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得最小值,最小值为 f (?2) ? (4 ? a)e .
?2 ?2

………… 12 分

综上,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 (4 ? a)e ;当 ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 的最小值为 ?a ? ea ; 当 a ? 2 时, f ( x) 的最小值为 (4 ? 3a)e
2

请考生从第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 、 、 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD 2 =DE·DB;

DE DC , ? DC DB

??????(5 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ?

3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? 由? 代入得 ? sin? ? ? y ? ? sin?
( 也可以是: ? ?

3 ? cos ? ? ? ?

?
3

( ? ? R) .

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2 ? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? 2 ? 3 ? ? 3 ? 0 ----7 分 ? ?? ? 3 ?

?

或? ?

设 A( ? 1 ,

?

) , B( ? 2 , ) ,则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |? ( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ?1 ? 2 ? 15 .---10 分 3 3

?

(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分) 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 ( x ? ?1) ? 3 ? 解: (1) f ( x ) ? ? ? 2 x ? 1 ( ?1 ? x ? 2) ,------------------3 分 ? ?3 ( x ? 2) ? 又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2 x ? 1 ? 3 , ∴ ? 3 ? f ( x ) ? 3 -----------------------------------------------5 分 (2)当 x ? ?1 时, x 2 ? 2 x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? ?1; 当 ? 1 ? x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ; 综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1? .-------------------------10 分 当 x ? 2 时, x 2 ? 2 x ? ?3 ? x ? ? ;-------------------------8 分
6


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