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浙江省宁波市2016届高三数学上学期期末考试试题 文


宁波市 2015 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)试卷
说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.请考 生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.
3 1

球的表面积公式:S=4π R ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式:V= π R ,其中 R 表示球的半径.
3 4
3

2

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2,3,4? , N ? x 1 ? log 2 ( x ? 2) ? 2 ,则 M ? N ? A.

?

?

( ▲ )

{0,1}

B. {2,3}

C. {1}

D. {2,3, 4} ( ▲ )

2 2 2.已知 a, b ? R ,则“ | b | ? a ? 0 ”是“ b ? a ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量 a ? (2,3), b ? (?1, 2) ,若 a ? 2b 与非零向量 ma ? nb 共线,则 B. ?2 C.

?

?

?

?

?

?

m 等于( ▲ ) A . 2 n

1 2

D. ?

1 2
( ▲ )

4.已知实数列 ?an ? 是等比数列,若 a2 a5a8 ? ?8 ,则 a1a9 ? a1a5 ? a5a9 A.有最小值 12 B.有最大值 12 C.有最小值 4 D.有最大值 4

5.已知平面 ? 与平面 ? 交于直线 l ,且直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,则下列命题错误的是( ▲ ) A.若 ? ? ? , a ? b ,且 b 与 l 不垂直,则 a ? l C.若 a ? b , b ? l ,且 a 与 l 不平行,则 ? ? ? B.若 ? ? ? , b ? l ,则 a ? b D.若 a ? l , b ? l ,则 ? ? ?

6.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对任意 x ? R 恒成立,

?

6

且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是

?

2

( ▲ )

1

A. ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

B. ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

C. ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

D. ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

7.对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,如果存在实数 a ,使得 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 1对任意实数

x ? R 恒成立,则称 f ( x) 为关于 a 的“倒函数”.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是关于 0 和
1 的“倒函数”,且当 x ?[0, 1] 时, f ( x) 的取值范围为 [1, 2] ,则当 x ? [?2016 , 2016 ] 时,
f ( x ) 的取值范围为
A. [1, 2] B. [ , 2 ] ( ▲ )

1 1 C. [ , 2016] D. R 2 2 x2 y 2 C : ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1 B 8.已知 F 是双曲线 1 a 2 b2 ??? ? ???? 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,若 QP ? 4PF1 ,则双曲线 C 的离心率为
( ▲ ) A.

6 2

B.

3 2

C.

5 2

D. 2

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分,共 36 分. 9.已知 loga 2 ? m,log a 3 ? n ,其中 a ? 0 且 a ? 1 , 则 a m ? 2 n ? __▲__,用 m, n 表示 log4 3 为__▲__.
4 2

? x 2 ? 2 x ? 5, x ? 0 ? 10.若函数 f ( x) ? ? a, x ? 0 为奇函数, ? g ( x), x ? 0 ?
则 a ? __ ▲__, f ( g (?1)) ? __▲__. 11.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是 __▲__,体积为__▲__.

4 正视图

侧视图

4

俯视图

?x ? y ? 0 ? 12.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ( k 为常数)表示的平面区域 D 的面积是 16, ?x ? k ?
那么实数 k 的值为__▲__;若 P ( x, y ) 为 D 中任意一点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大 值为__ ▲__.

? x3 , x ? 0 1 ? 13. 已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f (2 x ? ) ? m 有 3 个不同的解,则 m 的取 1 2 ? x ? ? 3, x ? 0 x ?
值范围是__▲__. 14.在三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , ?PAC 是等腰直 角三角形, PA ? 6, AB ? BC ,CH ? PB ,垂足为 H , D 为 PA 的中点,则当 ?CDH 的面积最大时, CB ? __▲__. 15.已知正数 x , y 满足 x ? 2 xy ? 4 y ? 1,则 x ? y 的取值范围
2 2

P D H C B

A

是__▲__. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分)
2 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? 2 , 2 cos

B?C 4 ? sin A ? . 2 5

(Ⅰ)若 b ?

5 3 ,求角 B ; 3

(Ⅱ)求 ?ABC 周长 l 的最大值.

3

17.(本题满分 15 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 6, an ?1 ? 4 ? (Ⅰ)求证:数列 { (Ⅱ)若 bn ?

4 (n 为正整数). an

an ? 2 } 为等差数列; an ? 2

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . (2n ? 1) 2

18.(本题满分 15 分) 如图,在多面体 EF ? ABCD 中,四边形 ABCD, ABEF 均为直角梯形,

?ABE ? ?ABC ?

?

2 平面 DCEF ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: DF ? 平面 ABCD ;
(Ⅱ)若 BC ? CD ? CE ?

,四边形 DCEF 为平行四边形,

F E

1 AB ,求直线 BF 与平面 2
A D B C

ADF 所成角的正弦值.

4

19.(本题满分 15 分) 如图,抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 (0, ) ,圆心 M 在射线 y ? 2 x( x ? 0) 上且 半径为 1 的圆 M 与 y 轴相切. (Ⅰ)求抛物线 E 及圆 M 的方程; (Ⅱ)过 P(1, 0) 作两条相互垂直的直线,与抛物线 E 相交于 A, B 两点,与圆 M 相交于 C , D 两点, N 为线 段 CD 的中点, 当 S ?NAB ? 20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ?1 . (Ⅰ)对于任意的 1 ? x ? 2 ,不等式 4m2 f ( x) ? 4 f (m) ? f ( x ?1) 恒成立,求实数 m 的取值 范围; (Ⅱ)若对任意实数 x1 ? [1, 2] ,存在实数 x2 ?[1, 2] ,使得 f ( x1 ) ?| 2 f ( x2 ) ? ax2 | 成立,求 实数 a 的取值范围.

1 4

3 , 求 AB 所在的直线方程. 2

宁波市 2015 学年度第一学期期末考试 高三数学(文科)参考答案 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容与难 度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1. C 2. A 3. D 4.A 5. D 6.C 7. B 8. B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. 9. 18,

n 2m

10. 0, 3 14.

11. 76 ? 8 2,56

12. 3,9

13. 2 ? m ? 4

6

15. ( ,1)

1 2

5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分) 解: 2 cos
2

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? ? sin A ? cos A ? ? 2 5 5 5

3 ? sin A ? ? ? 5 又 0 ? A ? ? ,且 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,有 ? ?cos A ? 4 ? 5 ?
(Ⅰ)由正弦定理得 由 sin A ?

???3 分

b a 3 ? , sin B ? , sin B sin A 2

3 4 ? ? ? 2? ,sin B ? ,知 ? A ? ,得 B ? 或 ; ???7 分 5 5 6 3 6 3 a 10 (sin B ? sin C ) ? 2 ? [sin B ? sin( A ? B )] (Ⅱ)由正弦定理得 l ? a ? b ? c ? a ? sin A 3 10 ? 2 ? [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B] ? 2 ? 2(3sin B ? cos B) ? 2 ? 2 10 sin( B ? ? ) 3
???11 分

? 10 ?sin ? ? ? 10 ,则有 ? ? A 其中 ? 为锐角,且 ? ?cos ? ? 3 10 ? 10 ?
由 0 ? B ? ? ? A ,则 ? ? B ? ? ? ? ? A ? ? 则有 ?ABC 周长 l 的最大值为 2 ? 2 10 .
2 2 2

???14 分

(注:也可利用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,结合基本不等式求解) 17. (本题满分 15 分)

4 ?2 an ?1 ? 2 an ? 2 an a ?2 ? ? ? n 解:(Ⅰ) an ?1 ? 2 an ? 2 4 ? 4 ? 2 an ? 2 an 4 6? an an ? 2 3an ? 2 an ? 2 2an ? 4 ? ? ? ? ? ?2 4 an ? 2 an ? 2 an ? 2 an ? 2 2? an a ?2 } 为等差数列 则有数列 { n an ? 2 a ?2 a ?2 ? 2 ,则 n ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n (Ⅱ) a1 ? 6 , 1 an ? 2 a1 ? 2 4?

???4 分

6

则 an ?

4n ? 2 2n ? 1

???9 分

bn ?

an 4n ? 2 2 1 1 ? ? ? ? 2 2 (2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
???12 分

则 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 3

1 1 3 5

1 1 2n ? )? ???15 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

18.(本题满分 15 分) (Ⅰ) 证明: 四边形 DCEF 为平行四边形, 知 EF / / CD ,所以 EF / / 平面 ABCD , 又平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB ,从而有 AB / / CD / / EF . 因为 ?ABE ? ?ABC ?

?
2

,所以 AB ? 平面 BCE ,所以 AB ? CE

又四边形 DCEF 为平行四边形,有 DF / / CE ,所以 DC ? DF 又因为平面 DCEF ? 平面 ABCD ,平面 DCEF ? 平面 ABCD ? DC 所以 DF ? 平面 ABCD . (Ⅱ)不妨设 BC ? 1 ,则 BC ? CD ? CE ? 1, AB ? 2 四边形 ABCD 均为直角梯形,连接 BD ,则有 BD ? AD ? 则 BD ? AD 由 DF ? 平面 ABCD 知 DF ? BD , 所以 BD ? 平面 FAD , 则 ? BFD 即为直线 BF 与平面 ADF 所成角 ???11 分 在 ?BFD 中, DF ? BD , BD ? 2, DF ? 1,
A D B

???7 分

2
F E

则 BF ? 3 所以 sin ?BFD ?

C

BD 2 6 ? ? , DF 3 3
6 . 3
???15 分

所以直线 BF 与平面 ADF 所成角的正弦值为

19.(本题满分 15 分) 解:(Ⅰ) 抛物线 E : y ? x ,???3 分
2

圆 M 的方程: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 ; ???6 分
2 2

(Ⅱ) 设直线 AB 的斜率为 k( k 显然存在且不为零)

7

? y ? x2 联立 ? ? x 2 ? kx ? k ? 0 ? y ? k ( x ? 1)

? ? ? k 2 ? 4k ? 0 ? ? ? x A ? xB ? k ?x ? x ? k ? A B

???8 分

又与直线 AB 垂直的直线 CD 与圆 M 相交, 则?

3 3 3 1 2 ,而 k ? 4k ? 0 ,故 ? ? (??, ? 3) ? ( 3, ??) 即 ? ?k? ?k ?0. k 3 3 3 1 1 S?NAB ? | AB | ? | NP |? | AB | ?d (其中 d 表示圆心 M 到直线 AB 的距离) 2 2
1 2 1 ? k 2 ? k 2 ? 4k ? ? k 2 ? 4k 2 2 1? k
???12 分

?

3 9 1 9 2 ,所以 k ? 4k ? ,解得 k ? ? 或 k ? (舍) 2 4 2 2 1 1 1 所以 AB 所在的直线方程为: y ? ? ( x ? 1) 即 y ? ? x ? . 2 2 2
又 S ?NAB ? 20.(本题满分 15 分) 解: (Ⅰ) 由 4m2 f ( x) ? 4 f (m) ? f ( x ?1) 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立
2 2 2 2 得 4m ( x ?1) ? 4(m ?1) ? ( x ?1) ?1 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立 2 2 整理得 (4m ?1) x ? 2x ? 4 ? 0 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立

???15 分

x2 ? 2 x ? 4 即有 m ? 对任意的 1 ? x ? 2 恒成立 4 x2
2

???3 分



x2 ? 2 x ? 4 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? 2 ?? ? ? ? 2 4x 4 2 x x ? x 4 ? 16
? x2 ? 2 x ? 4 ? 1 ? ? 2 4x ? ?min 4
???6 分

2

由 1 ? x ? 2 ,则 ?

2 故m ?

1 ? 1 1? ,则实数 m 的取值范围为 ? ? , ? 4 ? 2 2?

(Ⅱ) y ? f ( x1 )(1 ? x1 ? 2) 的值域为 D1 ? [0,3] , ???7 分 令 g ( x) ?| 2 f ( x) ? ax | 即 g ( x) ?| 2 x ? ax ? 2 |
2

原问题等价于当 x ? [1, 2] 时, g ( x) 的值域为 [0, t ] ,其中 t ? 3 .???9 分
8

也等价于 g ( x) ? 0 在 [1, 2] 上有解且 g ( x) ? 3 或 ?3 在 [1, 2] 上有解.

1 x 5 3 若 g ( x) ? 3 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 2 x ? 在 [1, 2] 上有解,从而 ?3 ? a ? ; x 2
若 g ( x) ? 0 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 2( x ? ) 在 [1, 2] 上有解,从而 0 ? a ? 3 ;

2 x2 ? 1 9 若 g ( x) ? ?3 在 [1, 2] 上有解,即 a ? 在 [1, 2] 上有解,从而 3 ? a ? ; 2 x
综上,所求 a 的取值范围 为 0 ? a ?

3 或 a ? 3. 2

???15 分

法二: y ? f ( x1 )(1 ? x1 ? 2) 的值域为 D1 ? [0,3] ,???7 分 令 g ( x) ?| 2 f ( x) ? ax | 即 g ( x) ?| 2 x2 ? ax ? 2 | 原问题等价于当 x ? [1, 2] 时, g ( x) 的值域为 [0, t ] ,其中 t ? 3 . ???9 分 令 h( x) ? 2x2 ? ax ? 2,(1 ? x ? 2) (1)当

a ? 1 时,即 a ? 4 时, h(1) ? h( x) ? h(2) 4

所以 h(1)h(2) ? 0 且 h(1) ? ?3 或 h(2) ? 3 即0 ? a ? 3且a ? 3 或a ? 所以 0 ? a ? (2)当

3 2
??????11 分

3 或 a ? 3. 2

a ? 2 时,即 a ? 8 时, h(1)h(2) ? 0 ,无解;??????13 分 4 a (3)当 1 ? ? 2 ,即 4 ? a ? 8 时, 4
因为 h(1) ? ?a ? 0 ,所以 h(2) ? 6 ? 2a ? 0 ,从而 a ? 3 无解. ???15 分 综上,所求 a 的取值范围为 0 ? a ? (注:其他解法酌情给分)

3 或 a ? 3. 2

9


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