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2014高考数学新编:第16讲 基本算法语句


《新课标》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座 第十六讲 基本算法语句

一.课标要求: ...................................................................... 2 二.命题走向 ........................................................

.................. 2 三.要点精讲 .......................................................................... 2 四.典例解析 .......................................................................... 5 题型一:输入、输出和赋值语句.................................. 5 题型二:赋值语句的应用 .............................................. 6 题型三:条件语句 .......................................................... 7 题型四:循环语句 .......................................................... 9 题型五:实际应用 .........................................................11 五.思维总结 ........................................................................ 13

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《新课标》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座 第十六讲
一.课标要求:
1.经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入 语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想; 2.通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

基本算法语句

二.命题走向
算法是高中数学课程中的新内容,本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。 预测今年高考对本章的考察是:以选择题或填空题的形式出现,分值在 5 分左右,本讲 考察的热点是识别程序和编写程序。

三.要点精讲
1.输入语句 输入语句的格式:INPUT “提示内容” 变量 ; 例如:INPUT “x=” x 功能:实现算法的输入变量信息(数值或字符)的功能。 ; 要求: (1)输入语句要求输入的值是具体的常量; (2)提示内容提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,提示内容 “原原本本”的 在计算机屏幕上显示,提示内容与变量之间要用分号隔开; (3)一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“, ”分隔;输入语句还可以是“ “提示 内容 1” ;变量 1, “提示内容 2” ;变量 2, “提示内容 3” ;变量 3,??”的形式。例如: INPUT“a=,b=,c=,;a,b,c。 ” 2.输出语句 输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式 例如:PRINT“S=” ;S 功能:实现算法输出信息(表达式) 要求:
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(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息; (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分 号和表达式分开。 (3)如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表达式 之间可用“, ”分隔;输出语句还可以是“提示内容 1” ;表达式 1, “提示内容 2” ;表达 式 2, “提示内容 3” ;表达式 3,??”的形式;例如:PRINT “a,b,c:” ;a,b,c。 3.赋值语句 赋值语句的一般格式:变量=表达式 赋值语句中的“=”称作赋值号 作用:赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; 要求: (1)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变量 或含变量的运算式。如:2=x 是错误的; (2)赋值号的左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左 边的变量。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错的, A+B=C 是错的,C=A+B 是对的。 (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ,如

y ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)
这是实现不了的。在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值。在一 个赋值语句中只能给一个变量赋值。不能出现两个或以上的“=” 。但对于同一个变量可 以多次赋值。 4.条件语句 (1)“IF—THEN—ELSE”语句 格式: IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 说明:在“IF—THEN—ELSE”语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条 件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件 语句的结束。计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断, 如果符合条件, 则执行 THEN 后面的“语句 1” 若不符合条件, ; 则执行 ELSE 后面的“语 句 2” 。
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(2) “IF—THEN”语句 格式: IF 条件 THEN 语句 END IF 说明: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足 时,直接结束判断过程;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行“IF—THEN”语 句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果符合条件就执行 THEN 后边的语句,若不符合 条件则直接结束该条件语句,转而执行其它后面的语句。 5.循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为: WHILE 条件

循环体 WEND 说明:计算机执行此程序时,遇到 WHILE 语句,先判断条件是否成立,如果成立,则执 行 WHILE 和 WEND 之间的循环体,然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立, 如果成立,再执行循环体,这个过程反复执行,直到一次返回到 WHILE 语句判断上述条 件不成立为止,这时不再执行循环体,而是跳到 WEND 语句后,执行 WEND 后面的语 句。因此当型循环又称“前测试型”循环,也就是我们经常讲的“先测试后执行”“先 、 判断后循环” 。 (2)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 说明:计算机执行 UNTIL 语句时,先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体,然后判 断 “LOOP UNTIL”后面的条件是否成立,如果条件成立,返回 DO 语句处重新执行 循环体。这个过程反复执行,直到一次判断 “LOOP UNTIL”后面的条件条件不成立 为止,这时不再返回执行循环体,而是跳出循环体执行“LOOP UNTIL 条件”下面的 语句。 因此直到型循环又称“后测试型”循环,也就是我们经常讲的“先执行后测试”“先循 、 环后判断” 。

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四.典例解析
题型一:输入、输出和赋值语句
例 1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确?为什么? (1)输入语句 INPUT (2)输出语句 A=4 (3)赋值语句 3=B (4)赋值语句 A=B=-2 解析: (1)错,变量之间应用“, ”号隔开; (2)错,PRINT 语句不能用赋值号“=” ; (3)错,赋值语句中“=”号左右不能互换; (4)错,一个赋值语句只能给一个变量赋值。 点评:输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构。输入语句、输 .... 出语句和赋值语句都不包括“控制转移” ,由它们组成的程序段必然是顺序结构。 例 2.请写出下面运算输出的结果。 (1)
a?5 b?3 c ? ( a ? b) / 2 d ? c?c PRINT " d ?" ; d

a;b;c

(2)
a ?1 b?2 c ? a?b b ? a?c?b PRINT " a ?, b ?, c ?"; a, b, c

(3)
a ? 10 b ? 20 c ? 30 a?b b?c c?a PRINT " a ?, b ?, c ?" ; a, b, c

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解析: (1)16;语句 c ? (a ? b) / 2 是将 a,b 和的一半赋值给变量 c,语句 d ? c ? c 是将 c 的 平方赋值给 d,最后输出 d 的值。 (2)1,2,3;语句 c ? a ? b 是将 a,b 的和赋值给 c,语句 b ? a ? c ? b 是将 a ? c ? b 的值赋值给了 b。 (3)20,30,20;经过语句 a ? b 后 a,b,c 的值是 20,20,30。经过语句 b ? c 后 a, b,c 的值是 20,30,30。经过语句 c ? a 后 a,b,c 的值是 20,30,20。 点评:语句的识别问题是一个逆向性思维,一般我们认为我们的学习是从算法步骤(自 然语言)至程序框图,再到算法语言(程序) 。如果将程序摆在我们的面前时,我们要从 识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能。

题型二:赋值语句的应用
例 3.写出求三个数 a,b,c 的方差的程序。 解析:方差是在初中统计内容中学习过的知识,计算所有数的方差首先计算所有数的平 均数 x ,通过公式 s ?
2

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ........ ? ( x n ? x) 2 来计算。 n

算法步骤: 第一步:计算平均数 x ?

a?b?c ; 3

( x ? a) 2 ? ( x ? a) 2 ? ( x ? a) 2 第二步:计算方差 s ? ; 3
2

第三步:得到的结果即为所求。 程序如下: INPUT a,b,c y=(a+b+c)/3 S=((a-y)2+ (b-y)2+ (c-y)2)/3 PRINT S END 点评:套用公式求值问题是传统数学求值问题的一种,它是一种典型的顺序结构,也就 是说只通过输入、输出和赋值语句就可以完成任务。解决这类问题的关键是先分析这种 问题的解法,即构造计算的过程,再写出算法步骤和流程图,再翻译成算法语句即可。 例 4.编写一个程序,要求输入的两个正数 a 和 b 的值,输出 ab 和 ba 的值。 解析:可以利用 INPUT 语句输入两个正数,然后将 ab 和 ba 的值分别赋给两个变量输出 即可。也可以将 ab 和 ba 的底数和幂数进行交换,故还可以利用赋值语句,采用将两个变 量的值互换的办法实现。 程序 1:
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INPUT “a,b:;a,b ” A=a^b B=b^a PRINT “ab=” ;A, a=” “b ;B END 程序 2: INPUT “a,b:;a,b ” A=a^b PRINT “ab=” ;A x=a a=b b=x A=a^b PRINT “ab=” ;A END 点评:交换 a,b 的值可通过下面三个语句来实现:

t?a a?b b?t
通过引进一个变量 t 实现变量 a 和 b 的值的交换, 因此只需用赋值语句即可实现算法。 在 一些较为复杂的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换,因此应熟练掌握这种方 法。 题型三:条件语句 例 5.编写程序,输出两个不相等的实数 a、b 的最大值。 解析:要输出两个不相等的实数 a、b 的最大值,从而想到对 a,b 的大小关系进行判断, a,b 的大小关系有两种情况: (1)a>b; (2)b>a,这也就用到了我们经常提及的分类讨 论的方式,找出两个数的最大值。 解:算法一: 第一步:输入 a, b 的数值; 第二步:判断 a,b 的大小关系,若 a>b, 则输出 a 的值, 否则输出 b 的值。 (程序框图如右图) 程序如下: “IF—THEN—ELSE”语 ( 句) INPUT“a,b” ;a,b

开 始 输入 a,b a>b Y ? 输出 a 结 束 N 输出 b

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IF a>b THEN PRINT a ELSE PRINT b END IF END 算法二: 第一步:输入 a,b 的数值; 第二步:判断 a,b 的大小关系,若 b > a,则将 b 的值赋予 a;否则直接执行第三步; 第三步:输出 a 的值,结束。 (程序框图如右图) 程序如下:“IF—THEN”语句) ( 开 INPUT“a,b” ;a,b IF b>a THEN 始 输入 a=b END IF a,b N PRINT a b>a END 点评:1.一个“好”的算法往往像上面教材例题 Y ? 中的“小技巧” ,要熟练、有效的使用它们,则需 a=b 要在大量的算法设计中积累经验。 我们也可以先根 据自己的思路设计算法,再与 “成形”的、高效 的、优秀的算法比较,改进思路,改进算法,以避 输出 a 免重复计算等问题,提高算法设计的水平! 2.我们在平常的训练中尽可能的少引用变量,过 多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂, 而且不 结 利于计算机的执行。为此,我们在练习中要积极思考尽可能少引入变量以及如何才能少 引入变量。 束

?1, x ? 0 ? 例 6.高等数学中经常用到符号函数,符号函数的定义为 y ? ?0, x ? 0 ,试编写程序输 ?? 1, x ? 0 ?
入 x 的值,输出 y 的值。 程序一: (嵌套结构) 程序框图: (右图) 程序语言: INPUT x IF x>0 THEN

开 始 输 入x N 第 8 页 共 14 页 x>0? Y x=0 Y N

y=1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=-1 END IF END IF PRINT y END 程序二: (叠加结构) 程序框图: 程序如下: INPUT x IF x>0 THEN y=1 END IF IF x=0 THEN y=0 END IF IF x<0 THEN y=-1 END IF PRINT y END 点评:1.条件结构的差异,造成程序执行的不同。当 代入 x 的数值时, “程序一”先判断外层的条件,依次 执行不同的分支,才有可能判断内层的条件;而“程序 二”中执行了对“条件 1”的判断,同时也对“条件 2” 进行判断,是按程序中条件语句的先后依次判断所有的 条件,满足哪个条件就执行哪个语句。 2.条件语句的嵌套可多于两层,可以表达算法步骤中 的多重限制条件。

开 始 输 入x x>0? Y 输 出 1 x=0? Y 输 出 0 x<0? Y 输 出 -1 结 束 N N N

题型四:循环语句
例 7.设计一个计算 1×3×5×7×?×99 的算法,编写 算法程序。 解析: 算法如下:
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第一步:s=1; 第二步:i=3; 第三步:s=s×i; 第四步:i=i+2; 第五步:如果 i≤99,那么转到第三步; 第六步:输出 s; 程序如下:“WHILE 型”循环语句) ( s=1 i=3 WHILE i<=99 s=s*i i=i+2 WEND PRINT s END 点评:你能用“UNTIL”型循环语句表示“典例 1”中的程序吗? 例 8.编写一个程序,求 1!+2!+…+10!的值。 解析:这个问题是求前 10 个正整数的阶乘之和,可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语 句格式来实现。 程序结构要做到如下步骤: ①处理“N!”的值; (注:处理 N!值的变量就是一个内循环变量) ②累加“N!”的值。 (注:累加 N!值的变量就是一个外循环变量) 显然,通过 10 次循环可分别求出 1!、2!、…、10!的值,并同时累加起来, 可求得 S 的值。 而求 T=N!,又可以用一个循环(内循环)来实现。 程序为: s=0 i=1 WHILE i<=10 j=1 t=1 WHILE j<=i t=t*j j=j+1 WEND s=s+t i=i+1 WEND
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PRINT s END 上面程序中哪个变量是内循环变量,哪个变量是外循环变量? (1)内循环变量:j,t (2)外循环变量:s,i “典例 2”程序是一个的“WHILE+WHILE”型循环嵌套语句格式。这是一个比较好想的 方法,但实际上对于求 n!,我们也可以根据求出的(n-1)!乘上 n 即可得到,而无需重新 从 1 再累乘到 n。 程序可改为: s=0 i=1 j=1 WHILE i<=10 j=j*i s=s+j i=i+1 WEND PRINT s END 显然第二个程序的效率要比第一个高得多。 第一程序要进行 1+2+…+10=55 次循环, 而第 二程序进行 10 次循环。如题目中求的是 1!+2!+…+1000! ,则两个程序的效率区别 更明显。 点评:解决具体的构造循环语句的算法问题,要尽可能的少引入循环变量,否则较多的 变量会使得设计程序比较麻烦,并且较多的变量会使得计算机占用大量的系统资源,致 使系统缓慢。另外,也尽可能使得循环嵌套的层数少,否则也浪费计算机的系统资源。

题型五:实际应用
例 9.中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过 3 分钟,则收取话费 0.22 元;如果 通话时间超过 3 分钟, 则超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按以一分钟计 算。设通话时间为 t(分钟) ,通话费用 y(元) ,如何设计一个程序,计算通话的费用。 解析: 算法分析: 数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数。 关系是如下:

?0.22, (0 ? t ? 3) ? y ? ?0.22 ? 0.1(t ? 3), (t ? 3, t ? Z ) ?0.22 ? 0.1([t ? 3] ? 1), (t ? 3, t ? Z ) ?
其中[t-3]表示取不大于 t-3 的整数部分。 算法步骤如下:
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第一步:输入通话时间 t; 第二步:如果 t≤3,那么 y = 0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y= 0.2+0.1× (t -3);否则执行 y = 0.2+0.1× [t-3]+1) ( 。 第三步:输出通话费用 c 。 算法程序如下: INPUT “请输入通话时间:;t ” IF t<=3 THEN y=0.22 ELSE IF INT(t)=t THEN y=0.22+0.1*(t-3) ELSE y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1) END IF END IF PRINT “通话费用为:;y ” END 点评:实际应用问题,在高考中是一个热点。如何将实际问题转化成数学问题是解题的 关键,最后还要用算法步骤和程序进行表达。如:中国网通通话费的规定在数学中就是 通话时间到通话费用的分段函数。日常生活中的分段函数问题还有很多:出租车的计费 问题、个人所得税问题、银行利率问题等等。 例 10.编写程序,计算数列{an}的前 20 项的和。 (其中数列的前几项分别为 1,1,2,3, 5,8,??) 解析:这是“Fibonacci 数列”的典型特征,从第三项起每一项都是它前两项的和,即

a n ? a n?1 ? a n?2 。
程序如下: a=1 b=1 s=0 i=3 WHILE i<=20 s=s+a+b t=a a=b b=b+t i=i+1 WEND PRINT s
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END 点评: 1.计数变量的作用一般是统计循环体执行的次数,改变循环条件的取值,为结束循环作 准备。譬如:计算等差、等比数列的前 n 项的和,n 就是计数变量的临界值,在当型结构 中“小于等于 n”维持循环,而在直到型循环结构中“大于 n”跳出循环。 2.累加变量是最终的输出结果。每进入一次循环体随着计数变量改变而改变。累加变量 的初始值通常为 0。

五.思维总结
在设计算法的过程中,解决问题的基本思想常常很简单、很清楚,但表述参与运算的数 值的频频变换却很麻烦。为了解决这个问题,需要在程序中引入变量。前面通过对函数 概念的学习,我们就已经了解变量的含义:在研究问题的过程中可以取代不同数值的量 称为变量。 程序中一些重要的函数也很有用处, 如取平方根函数 SQR(x)=|x|, 取绝对值函数 ABS (x) =?

? x, x ? 0 。 ?? x, x ? 0

变量与函数是中学数学里面最重要的和最基本的概念,在算法的设计里面仍然发挥着重 要的和最基本的作用,它们会使得算法的表达变得非常整洁、清楚。 1.赋值语句在程序运行时给变量赋值; “=”的右侧必须是表达式,左侧必须是变量;一 个语句只能给一个变量赋值;有计算功能;将一个变量的值赋给另一个变量时,前一个 变量的值保持不变;可先后给一个变量赋多个不同的值,但变量的取值只与最后一次赋 值有关。 2.条件语句的主要功能是来实现算法中的条件结构。 因为人们对计算机运算的要求不仅仅是一些简单的代数运算,而是经常需要计算机按照 条件进行分析、比较、判断,并且按照判断后的不同情况进行不同的操作和处理。如果 是要解决像“判断一个数的正负”“比较数之间的大小”“对一组数进行排序”“求分 、 , 、 段函数的函数值”等很多问题,计算机就需要用到条件语句。 3. 学习了循环语句的两种格式, 我们来挖掘一下应用循环语句编写程序的 “条件三要素” 。 第一、循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作。 请看我们用 WHILE 循环实现 1 到 100 累加为例,做一下说明: “1+2+??+100” 部分程序如下: sum = 0 i =1 WHILE i <= 100
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sum = sum+ i i=i+1 WEND 这段程序中,循环的条件是“i <= 100” ;因此,一开始 i 肯定需要一个确定的值。前面的 “i = 0” 这一个语句, 在声明变量 i 的同时, 也为 i 赋了初始值 “1” 这样, 。 条件 i <= 100 得以成立(因为 i 为 1,所以 条件“i <= 100” 当然成立) 。 第二、循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会。 程序中最忌“死循环” 。所谓的“死循环”就是指该循环条件永远成立,没有跳出循环体 的机会。 第三、在循环中要改变循环条件的成立因素 程序每执行一次循环体,循环条件中涉及到的变量就会发生改变,正在步步逼近满足跳 出循环体的条件。

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