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2015年高三周周测数学试卷4(理科)


和 县 一 中 2015 届 高 三 第 四 次 检 测 ( 数 学 )

数学(理)试卷
总分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? A.2

/>a?i |a ? 2i | 等于( (a ? R, i是虚数单位) 是纯虚数,则 1 ? 2i

) D.8

B. 2 2

C.4

2.用秦九韶算法求多项式 f ? x ? ? 5x5 ? 4x4 ? 3x3 ? 2x2 ? x ?1, 当 x ? 2 时的值的过程中, 做的乘法和加法次数分别为( ) A.4,5 B. 5,4

C.5,5

D.6,5 )

3. 在 ?ABC 中, “ sin( A ? B)cos B ? cos ? A ? B? sin B ? 1 ”是“ ?ABC 是直角三角形”的 ( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? 5.若 sin(

B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ? ) C. ?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值( 6 3 3 7 7 A. ? B. 9 9


?

4 2 9

D.

4 2 9

6.某简单几何体的一条对角线长为 a,在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中,这条对角线 的投影都是长为 2的线段,则 a 等于( A. 2 B. 3 C.1
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D.2 7.已知平面上不共线的四点 O, A, B, C. 且满足 OA ? 3OB ? 2OC ? 0, 那么

S ?OAB ?( S ?OBC
D.2



A.

1 3

B.3

C.

1 2

8.若点 P 是函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最小距离为 ( ) B.

A. 2

2 2
2

C.

1 2
2

D.3

9.若直线 x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? 1) ? 则这条直线的斜率是( A. ? 3 ) B. ?

1 相切,且 ? 为锐角, 16

3 3
2

C.

3 3
2

D. 3

10. 已知函数 f ? x ? ? x ? sin x( x ? R) , 且 f ( y ? 2 y ? 3) ? f ( x ? 4x ? 1) ? 0 , 则当 y ? 1 时,

y 的取值范围为( x ?1 1 3 A. [ , ] 4 4

) B. [0, ]

3 4

C. [ , ]

1 4 4 3

D. [0, ]

4 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 y ? lg(sin x ? cos x ? 1) 的定义域为 12.已知函数 f ( x) ? ? 。

(0 ? x ? 2) ? 2 ?2 ? x ,则 ? f ( x)dx ? 2 ?2 ? (?2 ? x ? 0) ? 4? x



13.在平面直角坐标系中,曲线 C1 : ?

?x ? 1 ? t ? y ? ?2 ? 2t

(t为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴

的非负半轴为极轴,两坐标系的长度单位相同,曲线 C2 : ? ? 2 cos ? ,则曲线 C1 与曲线

C2 的交点之间的距离为


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14. 我国第一所航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架舰载机准备着舰, 如果甲、 乙两必须相邻着舰,而丙、丁两不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数是 15.给出下列四个结论: ① 命题 " ?x ? R, x 2 ? x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, x 2 ? x ? 0" ;

② “若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真; ③ 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? by ? 2 ? 0 ,则 l1 ⊥ l 2 的充要条件是 ? ?2 ; ④ 对于任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 且 x>0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , 则 x<0 时, f ?( x) ? g ?( x) .
其中正确结论的序号是 (填上所有正确结论的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)如图,已知 O 的半径是1,点C在直径 AB 的延长线上, BC ? 1 , 点 P 是 O 上半圆上的动点, 以 PC 为边作等边三角形 PCD , 且点 D 与圆心分别在 PC 的 两侧. (1) 若 ?POB ? ? ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 ? 的函数; (2)求四边形 OPDC 的面积的最大值.
a b

17. (本题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 S n 是正数时,求 n 的最大值 18. (本小题满分 12 分)如下图,在三棱锥 P-ABC 中, AB ? BC , 点O,D分别是 AC , PC 的中点, OP ? 底面 ABC . (1)求证 OD //平面 PAB ; (2)求直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值的大小.

AB ? BC ?
P

1 PA , 2

D

A

O
B

C

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19. (本小题 13 分)某公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女 生,这 20 名毕业生测试成绩如茎叶图所示(单位:分)公司规定:成绩在 180 分以上者 到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担 任“助理工作”. (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取 8 人,再从这 8 人中 选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (2)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人 数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 椭圆 C 上的一点

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为 a 2 b2
1 ,求椭圆 C 的方程 2
? ?

(1)若 ?PF1 F2 周长为 6,离心率 e=

(2)过右焦点 F2 做斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点, 交 Y 轴与点 M,且 MB ? BF2 , 若k ?

14 ,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 2

21. (本小题 13 分)

2a 2 ? x(a ? 0) 。 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
(1)若函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)当 a ? (??,0) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g ( a ) ,求证: g (a ) ?

1 2 e 。 2

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和 县 一 中 2015 届 高 三 第 四 次 检 测 ( 数 学 )

数学(理)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B 7 D 8 A 9 A 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ? x 2k? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? ; 2 ?
14.24 15.①④

12.

? ?2

13.

2 5 5

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解:(Ⅰ)在 POC 中,由余弦定理,得

PC 2 ? OP2 ? OC 2 ? 2OP ? OC cos? ? 5 ? 4cos?
所以

? 0 ? ? ? ? ? ---------3 分

y?S

OPC

?S

PCD

1 3 ? ?1? 2sin ? ? ? 5 ? 4cos ? ? 2 4 ? sin ? ? 3 cos ? ? 5 3 4
---------------------6 分

(Ⅱ) y ? sin ? ? 3 cos ? ?

5 3 ?? 5 3 ? ----------------9 分 ? 2sin ? ? ? ? ? 4 3? 4 ?

当? ?

?
3

?

?
2

, 即? ?

5? 5 3 时, ymax ? 2 ? 6 4

所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2 ?

5 3 . 4

------------------12 分

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?a6 ? 23 ? 5d ? 0 23 23 ? ? ? d ? ? ? d 为整数,? d ? ?4 17. 解: (1) ? 5 6 ?a7 ? 23 ? 6d ? 0
-----------------6 分 n(n ? 1) (2) S n ? 23n ? ? (?4) ? ?2n 2 ? 25n ? 0 ? 0 ? n ? 12.5 ? n 的最大值为 12. 2
----------------------------------12 分 18 . ( 1 ) O、D分别为 AC 、 PC 的中点.∴ OD // PA ,又 PA ? 平面 PAB , OD ? 面PAB ,∴ OD // 平面 PAB . ----------------------6 分 (2)

AB ? BC , OA ? OC , ∴ OA ? OB ? OC , 又

OP ? 平 面 ABC , ∴

PA ? PB ? PC .取 BC 中点E,连结 PE ,则 BC ? 平面 POE .作 OF ? PE 于 F,连结 DF , 则 OF ? 平 面 PBC , ∴ ?ODF 是 OD 与 平 面 PBC 所 成 的 角 . 在 Rt ?ODF 中 ,
sin ?ODF ?
210 OF 210 .所以 OD 与平面 PBC 所成的角正弦值为 . ------12 分 ? 30 OD 30

19.解: (Ⅰ)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为 根据茎叶图,甲部门人选 10 人,乙部门人选 10 人 ∴选中的甲部门人选有 1 0?

8 2 ? 20 5

2 2 ? 4 人,乙部门人选有 1 0? ? 4 人 ---------3 分 5 5

用 A 表示“至少有一名甲部门人选被选中” ,则它的对立事件 A 表示“没有一名甲部 门人选被选中” ,则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
3 C4 13 ? 3 C8 14

故至少有一人是“甲部门”人选的概率是

13 14

-------------6 分

( Ⅱ ) 依 题 意 , 所 选 毕 业 生 中 能 担 任 “ 助 理 工 作 ” 的 人 数 X 的 取 值 分 别 为 0,1, 2,3

P( X ? 0) ?

0 3 C6 C4 1 ? 3 C10 30 2 1 C6 C4 1 ? 3 C10 2

P( X ? 1) ?

1 2 C6 C4 3 ? 3 C10 10 3 0 C6 C4 1 ? 3 C10 6

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

-------------10 分

∴ X 的分布列为

X

P

0 1 30

1
3 10

2 1 2

3

1 6

数学(理 4)第 6 页共 4 页

EX ? 0 ?

1 3 1 1 9 ?1 ? ? 2 ? ? ? 3 ? 30 10 2 6 5

-------------13 分

? 2 a ? 2c ? 6 1 ? 20.解: (Ⅰ)∵ ?PF1 F2 周长为 6,离心率 e ? ,∴ ? c 1 解得 a ? 2, c ? 1,?b ? 3 2 ? ? ?a 2
所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

-------------4 分

(Ⅱ)由已知设直线 AB 方程为 y ? k ? x ? c ? , 则 M ? 0, ?kc ? , F2 ? c,0? ,∵ MB ? BF2 ,∴ B ? 又因为点 B 在椭圆 C 上,

? c kc ? ,? ? . 2? ?2
2 2

-------------6 分

? c 2 ? 4b 2 4a 2 ? c 2 4 ? a ? c c 2 k 2c 2 2 k ? 1 ? ? ? ∴ 2? ,则 ? 1 ? 2 ? 2 4a 2 c2 4a 4b 2 ? 4a ? c
∴ 8a 4 ? 17a 2c2 ? 2c 4 ? 0 ,即 2e4 ? 17e2 ? 8 ? 0

? ? 7 -------------8 分
2

? 2e


2

? 1?? e 2 ? 8 ? ? 0 ,

1 ? e 2 ? 8 ,因为椭圆的离心率小于 1 2
-------------13 分

2 ? e ?1 2
21.⑴解: f ( x) ?
/

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) x x x2 x2

f /(1) ? a ? 2a 2 ? 1 ? ?2 ? 2a 2 ? a ? 3 ? 0
3 ? a ? ?1或a ? ? 。 2 3 所以实数 a 的值为 ? 1或 。 2
⑵解: f ( x) ?
/

----------------4 分

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) ? 2 ?1 ? ? x x x2 x2
/ /

当 a ? 0 时, x ? (0, a ), f ( x) ? 0; x ? (a,??), f ( x) ? 0.

f ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ,单调递增区间为 (a,??) ;---------6 分
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当 a ? 0 时, x ? (0,?2a ), f / ( x) ? 0; x ? (?2a,??), f / ( x) ? 0.

f ( x) 的单调递减区间为 (0,?2a ) ,单调递增区间为 (?2a,??) 。-----8 分
(3)证明: a ? (??,0) , f ( x) 的单调递减区间为 (0,?2a ) ,单调递增区间为 (?2a,??) 所以 f min ( x) ? f (?2a ) ? a ln(?2a ) ? 即 g (a ) ? a ln(?2a ) ? 3a (a ? 0)

2a 2 ? 2a ? a ln(?2a ) ? 3a ? 2a

g / (a ) ? ln(?2a ) ? a ?
/

1 ? (?2) ? 3 ? ln(?2a ) ? 2 ? 2a

e2 令 g (a ) ? ln(?2a ) ? 2 ? 0 , ? a ? ? 2 a ? (??,? e2 e2 ), g / (a ) ? 0; a ? (? ,0), g / (a ) ? 0 。 2 2 e2 e2 e2 e2 1 ) ? ? ln e 2 ? 3(? ) ? ? e 2 。 2 2 2 2 2
------------13 分

g max (a ) ? g (?
即 g (a) ?

1 2 e 。 2

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