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2014·新课标高考总复习·数学8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程


第八章

平面解析几何

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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2

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一、直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上 点的 坐标 都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条 直线的方程 , 这条直线叫做这个 方程的直线 . 二、直线的斜率与倾斜角 1.直线的斜率

(1)把直线y=kx+b中的 系数k 叫做这条直线的斜率. 垂直 于x轴
的直线不存在斜率;
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(2)斜率的坐标计算公式 若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则斜率k=

y2-y1 (x ≠x ) x2-x1 1 2 .

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2.直线的倾斜角

(1)定义:x轴 正向 与直线 向上 的方向所成的角叫做这条直线的
倾斜角,规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 零度角 ; (2)倾斜角的范围:[0°,180°); (3)若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=tan θ.

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三、直线方程的五种形式

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四、两条直线位置关系的判定

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[疑难关注] 1.直线的倾斜角与斜率的关系

斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tan α.直线都有斜倾角,
但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率. 2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程

的特殊形式,其中点斜式是最基本的,其他形式的方程皆可由它推
导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义,但又都有一些特定 的限制条件,如点斜式方程的使用要求直线存在斜率;截距式方程的

使用要求横纵截距都存在且均不为零;两点式方程的使用要求直线不
与坐标轴垂直.因此应用时要注意它们各自适用的范围,以避免漏 解.

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1.(课本习题改编)直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.150° B.60° D.120°

)

解析:∵k= 3=tan α,而 0° ≤α<180° ,∴α=60° . 答案:B

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2.(2013年佛山模拟)直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、

第四象限,则a,b,c应满足(
A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

)
B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

解析:由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存 a c a c 在斜率, 将方程变形为 y=-bx-b, 易知-b<0 且-b>0, ab>0, 故 bc<0.

答案:A

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3.(2013年唐山模拟)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的

截距相等,则实数a的值是(
A.1 C.-2或-1

)
B.-1 D.-2或1

a+2 解析:由题意得 a+2= a ,解得 a=-2 或 a=1.
答案:D

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4.(课本习题改编)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率等于1,
则m的值为________.
4-m 解析:由 k=1,知 =1,解得 m=1. m+2

答案:1
5.(2013年南京调研)经过点(2,-1),且与直线x+y-5=0垂直 的直线方程是________.

解析:与直线x+y-5=0垂直的直线的斜率为1,故所求直线的方
程为y+1=x-2,整理得x-y-3=0. 答案:x-y-3=0

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考向一 直线的倾斜角与斜率 [例 1] (2013 年哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 π x=4,则直线 l:ax-by+c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° B.60° D.135° )

π [解析] 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x=4知, f(0) π =f(2),即-b=a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135° .

[答案] D

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研考向 要点知 识探究

1.(2013 年合肥模拟)直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是 ( ) 3 A. 3 C.- 3 B. 3 3 D.- 3

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sin 30° 3 解析:由题意得直线 l 的斜率 k=-cos 150° =tan 30° 3 ,∴直线 = 3 l 的斜率为 3 .
答案:A

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考向二 直线平行与垂直关系的判定及应用

[例2]

(1)(2013年衡水模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点
)

(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为( A.(3,0)

B.(-3,0)

C.(0,-3)

D.(0,3)

(2)(2013年沈阳模拟)已知直线l1 :ax+3y-1=0与直线l2 :2x+(a -1)y+1=0垂直,则实数a=________.

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[解析] (1)∵l1∥l2,且 l1 斜率为 2, ∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过(-1,1), ∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得:y=2x+3,又直线交 y 轴于 P 点,x=0, ∴P(0,3). (2)由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0, 3 解得 a=5.

3 [答案] (1)D (2)5

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2.(2013年长沙模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1, 直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m +n的值为( A.-10 C.0 ) B.-2 D.8

4-m 解析:∵l2∥l2,∴kAB= =-2,解得 m=-8. m+2 1 又∵l2⊥l3,∴-n×(-2)=-1,解得 n=-2, ∴m+n=-10.

答案:A

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考向三 直线的方程 [例3] 过点P(2,1)的直线l交x轴,y轴正半轴于A,B两点,求使

△AOB面积最小时l的方程.

x y [解析] 解法一 设直线 l 的方程为a+b=1(a>2,b>1),由已知可 2 1 得a+b=1. ∵2 21 2 1 a·≤a+b=1,∴ab≥8. b

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1 ∴S△AOB=2ab≥4. 2 1 1 当且仅当a=b=2,即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4,此时直线 x y l 的方程为4+2=1,即 x+2y-4=0. 解法二 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0),则 l 与 x 轴、y 轴 1 ? 正半轴分别交于 A 2-k,0?,B(0,1-2k). ? ? 1 ? 1? S△AOB=2×?2-k?×(1-2k) ? ? ? ?
? 1?? 1 1 ? ? ? =2×?4+?-4k?+?-k??≥2×(4+4)=4. ?? ? ? ?? ? ? ? ?

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1 1 当且仅当-4k=-k,即 k=-2时取得最小值,此时直线 l 的方 1 程为 y-1=-2(x-2), 即 x+2y-4=0.

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在本例条件下求使|PA|·|PB|最小时l的方程.
2 1 解析:解法一 由a+b=1,得 ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|· |PB|= ?2-a?2+?1-0?2· ?2-0?2+?1-b?2 = [?2-a?2+1][?1-b?2+4] ≥ 2?a-2?4?b-1?. 当且仅当 a-2=1,b-1=2,即 a=3,b=3 时, |PA|· |PB|取得最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0.

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解法二 =

|PA|· |PB|=

? ? ? ?

1?2 ? 2 ? +1· 4+4k k?

4 2 2+4k +8≥4. k

4 当且仅当k2=4k2,即 k=-1 时取得最小值,此时直线 l 的方程为 y-1 =-(x-2),即 x+y-3=0.

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【创新探究】 与直线方程有关的创新命题 【典例】 (2011年高考安徽卷)在平面直角坐标系中,如果x与y都 是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是________(写出所 有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点; ③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点; ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是 有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线.
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【思路导析】 存在性问题,只需举出一种成立情况即可,恒成 立问题应根据推理论证后才能成立;注意数形结合,特例的取得与一

般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.
【解析】 ①正确,例如 y= 3x+ 2,当 x 是整数时,y 是无理数, (x, y)不是整点; ②不正确, y= 2x- 2过整点(1,0); 如 ③设 y=kx(k≠0) 是过原点的直线,若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2),则有 y1=kx1, y2=kx2,两式相减得 y1-y2=k(x1-x2),则点(x1-x2,y1-y2)也在直线 y =kx 上,通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点,通过上下平 1 1 移 y=kx 知对于 y=kx+b 也成立, 所以③正确; ④不正确, y=3x+2, 如 当 x 为整数时,y 不是整数,此直线不经过无穷多个整点;⑤正确,如 直线 y= 3x,只经过整点(0,0).

【答案】 ①③⑤

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【高手支招】 本题呈现形式比较新颖,以斜截式方程为载体, 但实质上还是考查了整点的概念.此类新概念题目经常会从几个不同 的角度考查学生对知识或新信息的理解和把握,进而考查学生学习和 应用新知识并结合原有知识解题的能力.解决此类题目时,要认真研 究题目中所渗透出的信息及考查的知识点,弄清其本质意图,再联系 相关知识,通过对知识的综合应用予以解决.

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1.(2012年高考浙江卷)设a∈R则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1
=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:先求出两条直线平行的充要条件,再判断.若直线l1与l2平 行,则a(a+1)-2×1=0,即a=-2或a=1,所以a=1是直线l1与直线 )

l2平行的充分不必要条件.
答案:A

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2.(2010年高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线
方程是( ) B.x-2y+1=0

A.x-2y-1=0

C.2x+y-2=0

D.x+2y-1=0

解析:∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行, 1 ∴所求直线斜率 k=2,排除 C,D.又直线过点(1,0),排除 B,故选 A.

答案:A

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3.(2009年高考上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2: 2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )

A.1或3

B.1或5

C.3或5 D.1或2 解析:解法一 k=3 时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0 显然平行;
k=4 时,l1:x+1=0,l2:2x-2y+3=0,显然不平行; k-3 4-k 1 k≠3,k≠4 时,要使 l1∥l2,应有 = ≠ ?k=5. 2?k-3? -2 3 综上所述 k=3 或 5. 解法二 由(k-3)×(-2)-2(k-3)×(4-k)=0 且 -2×1-(4-k)×3≠0,知 k=3 或 5.

答案:C
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