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函数测试题


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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ?

? ? ? ○ ? ? ? ?

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.在等比数列{an}中,若 a2?a4?a12=64,则 a6 等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ) 2.设等比数列{an}的前 n 项积 Pn ? a1 ? a2 ? a3 ??? an ,若 P12=32P7,则 a10 等于( (A)16 (B)8 (C)4 (D)2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

( a + b) 2 3. 已知 x > 0, y > 0, x、a、b、y 成等差数列 x、c、d、y 、 成等比数列, 则 的 cd
最小的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.4

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

第 II 卷
评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 4.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ? 5.数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 , 则 a4 ? a5 ? 2
.

1 3

1 a2 ? 32

?

1 an ? 3n ? 1, n ? N * ,则 an ? 3n

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

* 6 . 已 知 数 列 ?an ? 共 有 2 k 项 2 ? k ? N , 数 列 ?an ? 的 前

?

?

n 项 的 和 为 Sn , 满 足

a1 ? 2, an?1 ? ? p ?1? Sn ? 2? n ? 1, 2, 3, n ,? 2
(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若 p ? 2 2 k ?1 , 数列 ?bn ? 满足 bn ? 的通项公式 (3)对于(2)中的数列 ?bn ? , 记 cn ? bn ?
2

?

其中常数 p ?1 1 ,

1 log 2 ? a1a2 n

an ?? n ? 1, 2,

, 2n ? ,求数列 ?bn ?

3 , 求数列 ?cn ? 的前 2 k 项的和 2

7. (本小题 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a6,S8=S5+21. (1)求 Sn 的表达式; (2)求证:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2(n ? N *) . S1 S 2 S3 Sn
*

8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1) ,其中 n∈N . (1)求证:{an}是等差数列; (2)求证:an? an+1<4Sn; 1 1 1 1 5. (3)求证: ? ? ? ? ? ? S1 S 2 S3 Sn 3 9. 若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 , 则称数列 ? An ? 为 “平方递推数列” . 已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 9 ,点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.
(1)证明数列 ?an ?1 ,且数列 ?lg(an ? 1)? 为等比数列; ? 是“平方递推数列” (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn ,即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1) 求 lg Tn ;

(an ? 1) ,

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 的 n 的最小值. (1)求 a1 、 a 2 ; (3) 在 (2) 的条件下, 记 bn ? (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; 10.已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

(3)令 bn ? an ?19 ,问数列 ?bn ? 的前多少项的和最小?最小值是多少?

lg Tn , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn , 并求使 Sn ? 4026 lg(an ? 1)

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1 (an ? 1) 2 (n ? N * ). 4

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参考答案 1.D
3 15 3 【解析】设数列{an}的公比为 q,则 a2?a4?a12=(a1q) · (a1q ) · (a1q )= a1 =64 q ? a6
3 11

于是 a6=4.选 D 考点:等比数列的概念及其性质 2.D 【解析】
5 试题分析:由 P12=32P7,得 a8 ? a9 ??? a12 =32,即 a10 =32,于是 a10=2

考点:等比数列的概念及其性质 3.D 【解析】 试题分析:由等差数列的性质得 a ? b ? x ? y ;由等比数列的性质得 c ? d ? x ? y ,因此

?a ? b?2 ? ?x ? y ?2
c?d x? y

?

x 2 ? y 2 ? 2 xy 2 xy ? 2 xy ? ? 4 ,因此最小值为 4. xy xy

考点:等差数列和等比数列的性质和重要不等式的应用. 4.3 【解析】 试 题 分 析 : 设 等 比 数 列

?an ?

的 公 比 为

q, 则 q3 ?

a6 1 1 ? ,q ? . 因 此 a3 8 2

a6 a4 ? a5 ? a3 q ? q
考点:等比数列 5. an ? ? 【解析】

2 ? 1 ? 3 ?.

?12, n ? 1
n ?1 ?3 , n ? 2 .

试题分析:当 n ? 1 时, a1 ? 4 ,? a1 ? 12 ;当 n ? 2 时,由于

1 3

1 1 a1 ? 2 a2 ? 3 3

?

1 1 1 1 a ? 3n ? 1, n ? N * a1 ? 2 a2 ? ?? n ?1 an ?1 ? 3?n ? 1? ? 1 n n 3 3 3 ,3 ,

1 a ? 3,? an ? 3n ?1 ?n ? 2? a1 ? 12 n n 3 两式相减得 , 不满足

?12, n ? 1 ? an ? ? n?1 ?3 , n ? 2 .
考点:由 Sn 得 an .
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6. (1)详见解析(2) ? 2 ? bn ? 【解析】

k2 n ?1 ? 1 ? 3? T2 k ? 2k ? 1 2k ? 1

试题分析: (1)证明:因为 an?1 ? ? p ?1? Sn ? 2, 当 n ? 2 时, an ? ? p ?1? Sn?1 ? 2 。两式相 减 得 : an?1 ? an ? ? p ?1? an , an?1 ? pan ; 当 n ? 1 时 a2 ? ? p ?1? a1 ? 2 ? pa1, 因 此

an?1 ? pan , n ( ? N * ,数列 ) ?an ? 是以 2 为首项,P 为公比的等比数列,
( 2 ) 由 ( 1 ) 得 :
) n ()n ? 1 n(n? ? ? ? 1 1 ? 1 n ?1 log 2 ? 2n p 2 ? ? log 2 ? 2n 2 2 k ?1 ? ? 1 ? n 2k ? 1 ? ? n ? ?

an ? 2 p n?1; bn ?
( 3 ) 因 为 bn ?

1 log 2 ? a1a2 n

an ? ?

3 2n ? 2 k? 1 3 ? , 所 以 当 1 ? n ? k 时 , cn ? ? bn , 当 n ? k ? 1 时 , 2 2 2(2 k? ) 1
因 此 数 列

3 cn ? bn ? , 2

?cn ?
? b2 k ) ? ?





2k







T2 k ? ?(b1 ? b2 ?

? bk ) ? (bk ?1 ? bk ? 2 ?

0 ? 1 ? ? (k ? 1) k ? (k ? 1) ? ? (2k -1 ) ? 2k ? 1 2k ? 1

k (k ? 1) k (k ? 2k ? 1) k2 2 ?? 2 ? ? . 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
试题解析: (1)证明:因为 an?1 ? ? p ?1? Sn ? 2, 当 n ? 2 时, an ? ? p ?1? Sn?1 ? 2 。两式相 减 得 : an?1 ? an ? ? p ?1? an , an?1 ? pan ; 当 n ? 1 时 a2 ? ? p ?1? a1 ? 2 ? pa1, 因 此

an?1 ? pan , n ( ? N * ,数列 ) ?an ? 是以 2 为首项,P 为公比的等比数列,

n ?1

2







1






)

1 an ? 2 p ; bn ? log 2 ? a1a2 n
( 3 ) 因 为 bn ?

n? 1 ? ? n n ( n2? ? 1 1 ? n n2()k 1 n ?1 ?1 an ? ? log 2 ? 2 p ? ? 1? ? ? log 2 ? 2 2 n 2k ? 1 ? ? n ? ?

3 2n ? 2 k? 1 3 ? , 所 以 当 1 ? n ? k 时 , cn ? ? bn , 当 n ? k ? 1 时 , 2 2 2(2 k? ) 1
因 此 数 列

3 cn ? bn ? , 2

?cn ?
? b2 k ) ? ?





2k







T2 k ? ?(b1 ? b2 ?

? bk ) ? (bk ?1 ? bk ? 2 ?

0 ? 1 ? ? (k ? 1) k ? (k ? 1) ? ? (2k -1 ) ? 2k ? 1 2k ? 1

答案第 2 页,总 5 页

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k (k ? 1) k (k ? 2k ? 1) k2 2 ?? 2 ? ? . 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
考点:等比数列,数列求和 7. (1) S n ?

n ( n ? 1) ; (2)见解析 2

【解析】 试题分析: (1)设出数列的通项公式,利用前 n 项和可求出 Sn; (2)根据(1) ,利用错位相 减法可求出和,进而与 2 比较大小 试题解析: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由已知得

?a ? d n ( n ? 1) ? 3a1 ? 3d ? a1 ? 5d ,即 ? 1 ,解得 a1=d=1.故 S n ? .(6 分) ? 2 ?a1 ? 6d ? 7 ?8a1 ? 28d ? (5a1 ? 10d ) ? 21
(2)因为

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ,所以 S n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 ) ? 2 .(12 分) Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? n ?1 2 2 3 n n ?1 考点:等差数列的通项与前 n 项和,错位相减法 8.见解析 【解析】 试题分析: (1)将 Sn 转化为 an 的关系式,利用等差数列的定义证明; (2)求出 an 的通项公 式,直接证明相应不等式; (3)写出 Sn 的表达式,适当放缩,化简后得到结论. * 试题解析: (1)当 n≥2,n∈N 时,由已知 Sn=nan-n(n-1)得 Sn-1=(n-1)an-1-(n -1) (n-2). 两式相减得 Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又 Sn-Sn-1=an,所以(n-1)an-(n -1)an-1=2(n-1). * 即 an-an-1=2(n≥2,n∈N ) ,且 a1=1 所以{an}是以 1 为首项、2 为公差的等差数列. (4 分) 2 * (2)由(1)得 an=2n-1,Sn=n ,n∈N . 2 所以 an?an+1=(2n-1) (2n+1)=4n -1<4Sn; (8 分) ?
(3)由(2)得

2(an?1 ? an ) 1 4 1 1 ? ? ? 2( ? ) ,所以 S n an ? an?1 an ? an?1 an an?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S1 S 2 S3 Sn a2 a3 a3 a4 an an?1 1 1 1 1 2 5 ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? ? . (12 分) a2 an?1 3 2n ? 1 3 3
考点:等差数列的通项与前 n 项和,不等式证明. 9. (1)证明见解析; (2) lg Tn ? 2n ? 1 ; (3) nmin ? 2014. 【解析】 试题分析: (1)等比数列的判定方法: (1)定义法:若

an ?1 ? q 是常数,则 ?an ? 是等比数列; an

答案第 3 页,总 5 页

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中项公式法:若数列 ?an ?中, an?1 ? an ? an?2 ,则 ?an ?是等比数列;通项公式法:若数列通
2

项公式可写成 an ? c ? q n?1 c, q为不等于 (2)熟记等比数列前 n 项和公式, ,注 0的常数 ; 意利用性质把数列转化,利用等比数列前 n 项和; (3)利用条件列式子,等比数列的性质及 前 n 项和公式对函数与方程、 等价转化、 分类讨论等思想的运用, 是高考的一种重要的考向. 试题解析:解: (1)由题意得: an ?1 ? an 2 ? 2an ,即 an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 ,则 ?an ? 1? 是“平 方递推数列”. 对 an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 两边取对数得 lg(an?1 ? 1) ? 2lg(an ? 1) , 所以数列 ?lg(an ? 1)? 是以 ?lg(a1 ? 1)? 为首项, 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 lg(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2n?1 4分

?

?

lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1)
? 1 ? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 1? 2

(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg(a2 ? 1) ?
8分

? lg(an ? 1)

lg Tn 2n ? 1 1 (3) bn ? ? n?1 ? 2 ? ( )n?1 lg(an ? 1) 2 2
又 S n ? 4026 ,即 2n ? 2 ? 又0 ?

1 2 n ? 2n ? 2 ? 1 S n ? 2n ? 1 2n ?1 1? 2 1?

1 1 ? 4026, n ? n ? 2014 n ?1 2 2
14 分

1 ? 1 ,所以 nmin ? 2014 . 2n

考点: (1)证明某个数列为等比数列; (2)求前 n 项和; (3)使 Sn ? 4026 成立 n 的最小值. 10. (1) a1 ? 1, a2 ? 3 ;(2)证明略; (3)当 n ? 9或n ? 10 时,前 n 项和最小,最小值-90. 【解析】 试题分析: (1)根据等差数列的首项和公差求通项公式,求首项和公差是常用方法,注意题 中限制条件; ( 2 )证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种:一是定义法:证明

?n ? 1, d为常数?;二是等差中项法,证明 2a

n

若证明一个数列不是等差数列, ? an?1 ? an?1 ,

则只需举出反例即可; (3)求前 n 项和的最大值或最小值的常用方法,看这个数列是递增数 列还是递减数列,看从第几项开始出现变号,所有的正项加起来值最大,所有的负项加起来 最小,注意看是否某一项为 0. 试题解析: 解:(1)由已知条件得: a1 ? 又有 a1 ? a2 ?

1 (a1 ? 1) 2 .? a1 ? 1. 4

1 2 (a2 ? 1) 2 .即a2 -2a2 ? 3 ? 0 ,解得 a2 ? ?1(舍)或a2 =3 4

答案第 4 页,总 5 页

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1 (an ? 1) 2 得 4 1 n ? 2时:Sn -1 ? (an -1 ? 1)2 4 1 1 ? Sn -Sn -1 ? [(an ? 1)2 ? (an -1 ? 1)2 ] ? [an 2 ? an -12 ? 2(an ? an -1 )] 4 4
(2)由 S n ? 即 4an ? an 2 ? an -12 ? 2an ? 2an -1 ,? an 2 ? an -12 ? 2an ? 2an -1 ? 0 。 ? (an ? an -1 )(an ? an -1 ? 2) ? 0 ,?an ? an-1 ? 2 ? 0即an ? an-1 =2 (n ? 2) 所以数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列. (3)由(2)知 an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . .

? bn ? an ? 19 ? 2n ? 20 易知数列 ?bn ? 是公差为 2,首项为 ?18 的等差数列。
所 以 数 列

?bn ?





n
2




2



Tn ?

n(b1 ? bn ) n(?18 ? 2n ? 20) 19 19 ? ? n 2 ? 19n ? (n ? ) ? ( ) 2 2 2 2

当 n ? 9或n ? 10 时 Tn 有最小值 ?90 .即数列 ?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是 -90. 另解:

bn ? an ? 19 ? 2n ? 20, 注意到数列 ?bn ? 是公差为 2 的递增等差数列,且 b10 ? 0, ,

故数列 ?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是-90. 考点: (1)求项的值; (2)判定某个数列是否为等差数列; (3)前 n 项和的最小值.

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