广东省珠海市2013届高三9月摸底(一模)考试数学(理)试题

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．设全集 U ? R ，集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = A． {x | 0 ? x ? 2} C． {x | 0 ? x ? 2} B． {x | 0 ? x ? 2} D． {x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2． 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A．—3 3．函数 f ( x) ? a ? a
x

B．—2
?x

C．1

D．2

? 1 ， g ( x) ? a x ? a ? x ，其中 a ? 0，a ? 1 ，则
B ． f ( x)、g ( x) 均为奇函数 D ． f ( x) 为奇函数 ， g ( x) 为偶函数

A ． f ( x)、g ( x) 均为偶函数

C ． f ( x) 为偶函数 ， g ( x) 为奇函数

4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A．36 C．72 B．108 D．180

5．已知 ? , ? 为不重合的两个平面，直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是 “ ? ? ? ”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ，则直线 PB 的方程是 A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 雌性 总计

敏感 不敏感 总计

５０ １０ ６０

２５ １５ ４０

７５ ２５ １００

n(ad ? bc) 2 ? 5.56 由K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

附表：

P( K 2 ? k )

0.050
3.841

0.010
6.635

0.001
10.828

k
则下列说法正确的是：

A．在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ； B．.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ； C．有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ； D．有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ； 8．设 U 为全集，对集合 X 、Y ，定义运算“ ? ” ，满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ，则对于任 意集合 X 、Y 、Z ， X ? (Y ? Z ) ? A． ( X ? Y ) ? (CU Z ) C． [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z B． ( X ? Y ) ? (CU Z ) D． (CU X ) ? (CU Y ) ? Z

二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．在△ABC 中， a ? 5, b ? 6, c ? 7 ，则 cos C ? .

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ，它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同， 2 a b

那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.

11.不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 12.右图给出的是计算

.

1 1 1 1 的值的一个程序框图， ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
.

其中判断框内应填入的条件是

? 1 x ?( ) ? 2 x ? 0 13. f ( x) ? ? 2 ， 则 f ( x) ? x 的 零 点 个 数 是 ? 2x ? 2 x?0 ?
________________． 14． （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________. 15． （几何证明选讲选做题） 如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的 中 点 ， AE 交 BC 于 F ， 则

A D C

BF ? FC

.

E B F

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分）已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x . cos x 4 ，求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x) 的定义域；(2)设 ? 是第二象限的角，且 tan ? = ?

17． （本小题满分 12 分）A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x2 。根据市场分 析， x1 和 x2 的分布列分别为：

x1

5%

10%

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

P

0.8

0.2

（1） A、 两个项目上各投资 100 万元，y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润， 在 B 求方差 Dy1 、 Dy2 ； （2）将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目， 100 ? x 万元投资 B 项目， f ( x) 表示投资 A 项目 所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x) 的最小值， 并指出 x 为何值时，

f ( x) 取到最小值.（注： D(ax ? b) ? a 2 Dx ）
18.（本小题满分 14 分） 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为 线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如 图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ；(2) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C D

C A M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

19.（本小题满分 14 分）对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

（1）判断函数的单调性并证明； （2）是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数？并说明理由.

20.（本小题满分 14 分） 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 （ a ? b ? 0 ）的右焦点为 F2 (3, 0) ，离心率为 e . a2 b2
3 ，求椭圆的方程； 2

（1）若 e ?

（2）设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A ， B 两点， M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若

坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且

2 3 ，求 k 的取值范围. ?e? 2 2

高三理科数学试题第 4 页（共 15 页）

21.（本小题满分 14 分） 已知正项数列 ?a n ? , a1 ? 6, 点An (a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上；数列 ?bn ? 中， 中
2

点 Bn (n, bn ) 在过点（0，1） ，以 k ? 2 为斜率的直线上. （1）求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式； （2）若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立，若存 ?bn , (n为偶数)
a n ?1 an ? ? 0 恒成立， 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn

在，求出 k 值；若不存在，请说明理由； （3）对任意正整数 n，不等式

求正数 a 的取值范围.

高三理科数学试题第 5 页（共 15 页）

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题与参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．设全集 U ? R ，集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B =（ A． {x | 0 ? x ? 2} C． {x | 0 ? x ? 2} B． {x | 0 ? x ? 2} D． {x | 0 ? x ? 2}

）B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2． 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A．—3 3．函数 f ( x) ? a ? a
x

（

）C

B．—2
?x

C．1

D．2

? 1 ， g ( x) ? a x ? a ? x ，其中 a ? 0，a ? 1 ，则（
B ． f ( x)、g ( x) 均为奇函数

）C

A ． f ( x)、g ( x) 均为偶函数

C ． f ( x) 为偶函数 ， g ( x) 为奇函数

D ． f ( x) 为奇函数 ， g ( x) 为偶函数

4． 如图是某几何体的三视图， 则此几何体的体积是 A．36 C．72 B．108 D．180

B

5．已知 ?, ? 为不重合的两个平面，直线 m ? ?, 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 ）A

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6． A、 是 x 轴上的两点， P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ， 设 B 点 则直线 PB 的方程是（ A. 2 x ? y ? 7 ? 0 ）B C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

高三理科数学试题第 6 页（共 15 页）

7．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 ５０ １０ ６０ 雌性 ２５ １５ ４０ 总计 ７５ ２５ １００

n(ad ? bc) 2 ? 5.56 由K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

附表：

P( K 2 ? k )

0.050
3.841
C

0.010
6.635

0.001
10.828

k
则下列说法正确的是：

A．在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ； B．.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ； C．有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ； D．有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ； 8．设 U 为全集，对集合 X 、Y ，定义运算“ ? ” ，满足 X ? Y ? (CU X ) ? Y ，则对于任 意集合 X 、Y 、Z ， X ? (Y ? Z ) ? A ． ( X ? Y ) ? (CU Z ) D． (CU X ) ? (CU Y ) ? Z D C ． [(CU X ) ? (CU Y )] ? Z

B ． ( X ? Y ) ? (CU Z )

二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．在△ABC 中， a ? 5, b ? 6, c ? 7 ，则 cos C ? . 1/5

高三理科数学试题第 7 页（共 15 页）

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ，它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同， 2 a b

那么双曲线的焦点坐标为______； (?2, 0) 渐近线方程为_______.， 3 x ? y ? 0 (两问全对 5 分,只答对一问 3 分) 11. 不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 . (??,? ) ? ( ,??)

5 2

1 2

1 1 1 1 的值的一个程序框图， ? ? ? ??? ? 2 4 6 20 其中判断框内应填入的条件是 . i ? 10 (答案不唯一， 即 i>a,10<a ? 11,例如 i>10.1,i=11 等)
12.右图给出的是计算

? 1 x ?( ) ? 2 x ? 0 13. f ( x) ? ? 2 ，则 f ( x) ? x 的零点个数是________________．２ ? 2x ? 2 x?0 ?
14． （坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________;1

15． （几何证明选讲选做题）

A
如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的 中 点 ， AE 交 BC 于 F ， 则

BF ? FC

.

1 2

E B F

D C

高三理科数学试题第 8 页（共 15 页）

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分12分） 已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x 。 cos x 4 ，求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x) 的定义域；(2)设 ? 是第二象限的角，且 tan ? = ? 16．解：(1)由 cos x ? 0 得 x ? k? ?

?
2

（k∈Z), ?3 分

故 f ( x) 的定义域为｛x| x ? k? ? (2)由 tan ? = ?

?
2

,k∈Z｝?5 分

4 sin ? 4 ,得 ? ? ，而 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 3 cos ? 3 4 3 且α 是第二象限的角, 解得 sin ? = , cos ? = ? ,?9 分 5 5 4 3 1 ? 2 ? ? (? ) 1 ? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? 5 5 = ? 49 .?12 分 故 f (? ) = = = 3 cos ? cos ? 15 ? 5
17． （本小题满分 12 分） A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x2 。根据市场分析， x1 和 x2 的分布列分别 为：

x1
P

5% 0.8

10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

（1）在 A、B 两个项目上各投资 100 万元， y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润， 求方差 Dy1 、 Dy2 ； （2）将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目，100 ? x 万元投资 B 项目， f ( x) 表示投资 A 项目所 得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x) 的最小值， 并指出 x 为何值时，f ( x) 取到最小值.（注： D (ax ? b) ? a Dx ）
2

17. 解： （Ⅰ）由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为
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Y1
P

5 0.8

10 0.2

Y2
P

2 0.2

8 0.5

12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ………………………………………….1 分
DY1 ? (5 ? 6) 2 ? 0.8 ? (10 ? 6) 2 ? 0.2 ? 4 …………………………...3 分

EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ………………………………..4 分
DY2 ? (2 ? 8) 2 ? 0.2 ? (8 ? 8) 2 ? 0.5 ? (12 ? 8) 2 ? 0.3 ? 12 ………..6 分

x 100 ? x Y1 ) ? D( Y2 ) ………………………….7 分 100 100 x 2 100 ? x 2 ?( ) DY1 ? ( ) DY2 ……………………………………….8 分 100 100 4 ? [ x 2 ? 3(100 ? x) 2 ] 2 100 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ……………………………………..10 分 2 100 600 当x? ? 75 时， f ( x) ? 3 为最小值。…………………………12 分 2? 4
（Ⅱ） f ( x) ? D ( 18.（本小题满分 14 分） 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为线 段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ； D (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. C D C

A

M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

18． （本题满分 12 分） 解:（Ⅰ）在图 1 中,设 AD ? CD ? a ，可得 AC ? BC ?

取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD
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AC ? BC

2a ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故

……4 分

……6 分

另解:在图 1 中, 设 AD ? CD ? a ，可得 AC ? BC ?

∵面 ADC ? 面 ABC ,面 ADC ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD （Ⅱ）法一．连接 MO ，过 O 作 OE ? CD 于 E ，连接 ME ∵ M 、 O 分别是 AB 、 AC 中点 ∴ MO ? 平面 ACD ……………………………………….7 分 ∴ DC ? MO ……………………… ……….8 分 ∴ DC ? 平面 MOE ……………………………………….9 分 ∴ DC ? ME ∴ ?OEM 是二面角 A ? CD ? M 的平面角……………………………………….11 分

AC ? BC

2a ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故

3 1 1 1 a OE ? a ? a 2 得 OE ? a ， ME ? 2 2 4 2 OE 3 ∴ Rt ?MOE 中 cos ?OEM ? ……………………………………….13 分 ? ME 3 3 ∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 .……1４分 3 （ Ⅱ ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 如 图 所 示 , 则
由 S ?DOC ?

2 2 a, 0) , C (? a, 0, 0) , D(0, 0, 2 2 ???? ? ??? ? 2 2 2 CM ? ( a, a, 0) , CD ? ( a, 0, 2 2 2 ?? 设 n1 ? ( x, y, z ) 为面 CDM 的法向量, M (0,

2 a) 2 2 a) 2
z D

8分

? 2 2 ?? ???? ? ?n1 ? CM ? 0 ? 2 ax ? 2 ay ? 0 ? y ? ?x ? ? 则 ? ?? ??? 即? ,解得 ? ? 2 ?z ? ?x ?n1 ? CD ? 0 ? 2 ? ax ? az ? 0 ? 2 ? 2 ?? 令 x ? ?1 ,可得 n1 ? (?1,1,1) ?? ? 又 n2 ? (0,1, 0) 为面 ACD 的一个发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 3 | n1 || n2 | 3
∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 ……1４分

C O A x M B y

3 . 3

19.（本小题满分 14 分） 对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

(1)判断函数的单调性并证明； (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数？并说明理由。
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19．解：(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明：设 x1 < x2 ； f (x1) – f (x2) = a? 当 b ? 1时

??2 分

2(b x1 ? b x2 ) 2 2 ?( a? x )= x b x1 ? 1 b 2 ? 1 (b 1 ? 1)(b x2 ? 1)
得 b x1 ? b x2 < 0

? x1<x2 ? b x1 ? b x2

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数； 当 0 ? b ? 1时 ? x1<x2 ? b 1 ? b
x

??6 分

x2

得b 1 ?b
x

x2

?0
??10 分

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注：用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R， 由 f (0) ? 0 ，求得 a ? 1 .

?11 分

当 a ? 1 时， f (? x) ? 1 ?

2 b? x ? 1 1 ? b x 2 bx ?1 ， f ( x) ? 1 ? x ， ? ?x ? ? x b? x ? 1 b ? 1 1 ? b x b ?1 b ?1
?14 分

满足条件 f (? x) ? ? f ( x) ，故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 20.（本小题满分 14 分） 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 （ a ? b ? 0 ）的右焦点为 F2 (3, 0) ，离心率为 e . a2 b2
3 ，求椭圆的方程； 2

（1）若 e ?

（2）设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A ， B 两点， M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐

标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 20． （本小题满分 13 分）

2 3 ，求 k 的取值范围. ?e? 2 2

?c ? 3 ? 解： （1）由题意得 ? c 3 ，得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a 2 ? b 2 ? c 2 ，解得 a 2 ? 12 ， b 2 ? 3 .

??????2 分

??????4 分

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x2 y2 所以，椭圆的方程为 ? ? 1. 12 3
? x2 y 2 ? 1, ? ? （2）由 ? a 2 b 2 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? a 2b 2 ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ?

??????5 分

? a 2b 2 ， b2 ? a 2k 2

?

??7 分

依题意， OM ? ON ， 易知，四边形 OMF2 N 为平行四边形， 所以 AF2 ? BF2 ， 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) ， F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) ， 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? 9 ? 0 .
2

??????8 分

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

??????9 分[即

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0， a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
将其整理为 k ?
2

??????10 分

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 . ? ?1 ? 4 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2
??????12 分

因为

2 3 ，所以 2 3 ? a ? 3 2 ， 12 ? a 2 ? 18 . ?e? 2 2 2 2 1 ，即 k ? (??, ? ]? ( , ??] . 4 4 8

所以 k 2 ?

??????14 分

21.（本小题满分 14 分）

中 已知正项数列 ?a n ? , a1 ? 6, 点An (a n ? 1, a n ?1 ) 在抛物线 y ? x 上；数列 ?bn ? 中，点
2

Bn (n, bn ) 在过点（0，1） k ? 2 为斜率的直线上。 ，以
（1）求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式； （2）若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立，若存在， bn , (n为偶数) ?

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求出 k 值；若不存在，请说明理由； （3）对任意正整数 n，不等式

a n ?1 an ? ? 0 恒成立，求 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn

正数 a 的取值范围。 21．解： （Ⅰ）将点 An (a n ? 1, a n ?1 )代入y ? x中得a n ?1 ? a n ? 1
2

? a n ?1 ? a n ? d ? 1,? a n ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 5 ????????2 分
∵直线 l : y ? 2 x ? 1

? bn ? 2n ? 1 ????????????????4 分
（Ⅱ） f (n) ? ?

?n ? 5, (n为奇数) ?2n ? 1, (n为偶数)

当 k 为偶数时，k+27 为奇数，

? f (k ? 27) ? 4 f (k ), ? k ? 27 ? 5 ? 4(2k ? 1),

? k ? 4 ????6 分
当 k 为奇数时，k+27 为偶数，

? 2(k ? 27) ? 1 ? 4(k ? 5),? k ?

35 (舍去) 2

综上，存在唯一的 k=4 符合条件??????????????8 分

a n ?1 an （Ⅲ）由 ? ? 0, 1 1 1 n ? 2 ? an (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) b1 b2 bn
即a ?

1 2n ? 3

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ??????????9 分 b1 b2 bn

记 g ( n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn 2n ? 3 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? )(1 ? ) b1 b2 bn bn ?1 2n ? 5

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? g (n ? 1) ? g (n), 即g(n) 递增????????13 分
? g (n) min ? g (1) ? 1 4 4 5 ? 5 3 15
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