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高中数学函数基本性质专项讲义及练习


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专题

函数基本性质
考点精要

会运用函数图像理解和研究函数的性质.

热点分析
主要考查函数的性质及运用

知识梳理
1.函数的单调性: 设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M ? A .如果取区间 M 中的任意两个 值 x1, x2, 设改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 , 则当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时, 就称函数 y=f (x) 在区间 M 上是增函数,当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时,就称函数 y=f(x)在区间 M 上 是减函数. 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个 区间上具有单调性. (区间 M 称为单调区间) 函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判断函数增减性,最 基本的方法就是利用定义: 在所给区间内任取 x1, x2,当 x1 < x2 时判断相应的函数 值 f(x1)与 f(x2)的大小. 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法, 教材中所有基本初等函数 的单调性都是图象观察得到的.对于 y ? f ?? ( x)? 型复合形式的函数的增减性,可 换过换元,令 u ? ? ( x) ,然后分别根据 u ? ? ( x) , f ? f (u ) 在相应区间上的增减性进 行判断,一般规律是:“同则增,异则减”,即内外层函数的单调性相同(同增或 同减)则 y ? f ?? ( x)? 为增;内外层函数的单调性相反(内增外减或内减外增)则
y ? f ?? ( x)? 为减.其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函

数符合的关系. 此外,利用导数研究函数的单调性,更是一种非常重要的方法,是“大规大 法”,由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出 许多判定函数单调性的简单技巧. 2.函数的奇偶性: 设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有 ? x ? D ,且
f (?x) ? ? f (x) ,则这个函数叫做奇函数.设函数 y=g(x)的定义域为 D,如果对

D 内的任意一个 x,都有 ? x ? D ,且 g(-x)=g(x) ,则这个函数叫做偶函数. 如果一个函数是奇函数, 则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心 对称图形; 反之, 如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形, 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数, 则它的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形; 反之, 如果一个函数的图像关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. 在奇函数与偶函数的定义中,都要求 x ? D , ? x ? D ,这就是说,一个函数不
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论是奇函数还是偶函数, 它的定义域都一定关于坐标原点对称. 如果一个函数的 定义域关于坐标原点不对称, 那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提 条件,即这个函数既不是奇函数也不是偶函数. 此外, 由奇函数定义可知, 若奇函数 f (x) 在原点处有定义, 则一定有 f (0) =0,此时函数 f(x)的图像一定通过原点. 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要. 如果我们知道一个函数是奇 函数或偶函数, 则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分, 得 出函数在其中一部分上的性质和图象, 就可得出这个函数在另一部分上的性质和 图像. 由函数奇偶性定义,可以推出如下法则: 在公共定义域上: 两个奇函数的和函数是奇函数,差函数也是奇函数; 两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数; 两个奇函数的积或商是偶函数; 两个偶函数的积或商是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数. 3.单调性与奇偶性之间的关系: 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反; 例题精讲 例 1.下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? ( 0 , ?? ) ,当 x1 < x2 时,都有

f ( x1 ) > f ( x2 )
的是( )
1 x

A . f ( x) =
f ( x) ? ln( x ?1)

B. f ( x) = ( x ? 1)2

C . f ( x) = e x

D

例 2 .对于函数① f ( x) ? x ? 2 ,② f (x) ?( x ?2) 2 ,③ f (x) ?cos( x ? 2) ,判断如下两个 命题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数; 命题乙: f ( x) 在 (??, ?) 上是减函数,在 (2, ? ?) 上是增函数; 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( A.①② B.①③ C.② D.③
1? x



例 3,.已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg 1 ,那么当 x∈(-

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1,0)时, f(x) 的表达式是_____。 练习:设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,又当 ? 1 ? x ? 1 时,

f ( x) ? x 3 ,求:当 x ? [1,5] 时,求 f ( x) 的解析式。

?1? 例 4 已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ?x? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围 ? ?
是 ( A. ?? 1,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? ) B. ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,???

1 例5 (1) 已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加, 则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取 3

值范围是
1 2 (A) ( , ) 3 3 1 2 B.[ , ) 3 3

( C.(
1 2 , ) 2 3

)
1 2 , ) 2 3

D.[

例 6 . 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ?,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数

f ?x ?
A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 例 7 设 f ? x? ?

( )

f2009 ? x ? ?
A. ?
1 x

1? x , 又 记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? fk ? x ?? , k ? 1,2, 1? x

, 则

( B. x

) C.
x ?1 x ?1

D.

1? x 1? x

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例 8 求复合函数的单调性 求下列函数的单调性,并确定每一个单调区间上的单调性 (1) y ? x (1 ? x) 例9 抽象函数性质
1 2 (2) y ? ( ) x ? x 2

(3) y ? log2 (6 ? x ? 2x2 )

已知函数 f ( x) 的定义域 (0, ??) 是,当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) (1)求 f (1) (2)证明 f ( x) 在定义域上是增函数
1 1 ) ? 2 的 x 的取值范围。 (3)如果 f ( ) ? ?1 ,求满足不等式 f ( x) ? f ( 3 x?2

例 10 抽象函数
n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 对m、 且当 x ? 0

时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 x ? x 2 ) ? 1 ,求 x 的范围。 练习:函数 y ? f ( x), ( x ? 0) 是奇函数,且当 x ? (0, ??) 时是增函数,若 f (1) ? 0 ,
1 ? ? 求不等式 f ? x( x ? ) ? ? 0 的解集。 2 ? ?

练习 : 、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,又当 ? 1 ? x ? 1 时,f ( x) ? x 3 , (1) 证明: 直线 x ? 1 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴: (2) 当 x ? [1,5] 时,求 f ( x) 的解析式。 解析(1)证 f (1 ? x) ? f (1 ? x)
3 ? ?(2 ? x) , x ? [1,3] (2) f ( x) ? ? 3 ? ?( x ? 4) , x ? ? 3,5?

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针对训练
1.函数 y ? 1 ?
1 x ?1 A.在 ? ?1, ? ? ? 内单调递增

B.在 ? ?1, ? ? ? 内单调递减 D.在 ?1, ? ? ? 内单调递减 C. y ?
x 1? x

C.在 ?1, ? ? ? 内单调递增 2.在 (??, 0) 上是增函数的是 A. y ? ? log 1 (? x)
2

B. y ? ?( x ? 1)2

D. y ? x2 ? 1

1 3.函数 f ( x) ? ? x 的图像关于 x

A.y 轴对称 称 4.已知函数 f ( x) ? lg A.b

B.直线 y= ?x 对称 C.坐标原点对称

D.直线 y=x 对

1? x ,若 f(a)=b,则 f(?a)= 1? x 1 B.?b C. b

D. ?

1 b

5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是 A. y ? ? x3 , x ? R B. y ? sin x, x ? R C .
1? D. y ? ? ? ? , x?R ?2?
x

y ? x, x ? R

6.函数 f(x) = x3+sinx+1( x ? R ) ,若 f(a) = 2,则 f(?a)的值为 A.3 B.0 C.?1 D.?2 7.设 f(x) ,g(x)都是单调函数,有如下四个命题: ①若 f(x)单调增,g(x)单调增,则 f ( x) ? g ( x) 单调增; ②若 f(x)单调增,g(x)单调减,则 f ( x) ? g ( x) 单调增; ③若 f(x)单调减,g(x)单调增,则 f ( x) ? g ( x) 单调减; ④若 f(x)单调减,g(x)单调减,则 f ( x) ? g ( x) 单调减; 其中,正确命题是 A.①④ B.①② C.②③ D.③④
? ?

?1? 8.已知偶函数 f(x)在区间 ?0,? ? ? 上单调增加,则满足 f (2 x ? 1) ? f ? ? 的 x 的取 3

值范围是
? ? ? ? a 9.若 f(x)= ?x +2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值 x ?1
2

? ? A. ? , ? 3 3 1 2 ? ?

? ? B. ? , ? 3 3 1 2 ? ?

? ? C. ? , ? 2 3 1 2

? ? D. ? , ? 2 3 1 2

范围是 A. (?1, 0) (0, 1) B. (?1, 0) (0, 1) 2 10 函数 y= 的单减区间是 x 11 函数 y=2(x-1)(x-3)的单增区间是

C. (0,1) 。 ;单减区间是

D. (0,1]

。 5

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12 若偶函数 f ( x) 的定义域为 [ p, q ] ,则 p ? q =

13 设 f ( x) ? ax3 ? 2x2 ? bx ? 5(a ? 0), 若 f(-3)=10,则 f(3)=

14.若函数 f(x)=(x+1) (x?a)为偶函数,则 a 的值为___________. 15.设 f(x)的图像关于原点对称,且在(0,+∞)上是增函数,f (?3)=0, 则 xf (x)<0 的解集为______________. 16.若函数 f(x)= loga ( x ? x2 ? 2a2 ) 是奇函数,则 a=___________. 17 .已知 f ( x) ? ? _____________ 18. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 在 (??,0] 上是减函数, 且 f (2) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0的x 的取值范围是 A. (??,2) 19(1)若 f ( x) ? B. (2,??)
x

?(3a ? 1) x ? 4a , x ? 1 是 (??, ? ?) 上的减函数,求 a 的取值范围 , x ?1 ?log a x



) D.(-2,2) .

C. (??,?2) ? (2,??)

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1

(2)已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,
f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

.

20

已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 , 求实数 m 的取值范围。

21 例 2、 函数 y ? f ( x),( x ? 0) 是奇函数, 且当 x ? (0, ??) 时是增函数, 若 f (1) ? 0 , 1 ? ? 求不等式 f ? x( x ? ) ? ? 0 的解集 2 ? ? 答案 例 1 A
针对训练

例2

C

例 3 ∴f(x)=-f(-x)=-lg 1 =lg(1-x) .
1? x

1. C 2. C 3. C 4. B 5. A
+?) (?? , 2 ) 12 11. (2,
? ? 17. ? , ? 7 3 1 1 ? ?

6. B 0 13

7. C 16

8. A 14.1

9. D

10. (??,0)和(0, +?) 16.
2 2

15. (?3, 0) (0, 3)

18 略

19 略

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高考链接 模拟实战
?(3 ? a ) x ? 4a, x<1, 1(06 北京文)已知 f ( x) ? ? 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 ?log a x, x ? 1

a 的取值范围是 (A)(1,+ ? ) ?3 ? ,3 ? ? 5 ? ? (C) ? 2

(B)(- ? ,3) (D)(1,3)

2 (10 北京文) 若 a,b 是非零向量, 且 a ? b ,a ? b , 则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 (A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数
1

(B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

3(10 北京文)给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1( x ? 1 ) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,
2

期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 4(07 北京文)已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 2

2 1

3 1

x
f ( x)

1 3

2 2

3 1 .

则 f [ g (1)] 的值为

;当 g[ f ( x)] ? 2 时, x ?

5(11 北京理)如果 log1 x ? log1 y ? 0, 那么
2 2

A.y< x<1

B.x< y<1

C.1< x<y

D.1<y<x

6.(全国)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则 A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 7 ( ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)
? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(10 宣武模拟)(1)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? <1>求 a,b 的值;
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<2>若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

(2). 已知偶函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(2)=0, 解不等式[ f log2(x2+5x+4)] ≥0。 8 已知奇函数 f(x)是定义在(-3, 3)上的减函数, 且满足不等式 f(x-3)+f(x2-3)<0, 求 x 的取值范围.

答案 1 D

2A

3B

4 1

1

5D

6A

7 略

8略

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