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天津市耀华中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


天津市耀华中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题: 1.设 , 是两个不共线向量,若向量 与向量 共线,则 λ

的值为() A. B.﹣2 C. D.

2.为得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右

平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

3.已知 与 为互相垂直的单位向量, 数 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣2) D.



且 与 的夹角为锐角,则实

B.( ,+∞) (﹣ )

C. (﹣2, )

4.若 A. B. 2

,则 tanα=() C. D.﹣2

5.函数 A.

的单调增区间是() B.

C.

D.

6.已知向量 值分别是()

,则

|的最大值,最小

A.4

,0

B.4,4

C.16,0

D.4,0

7.函数 y= A.

的最小正周期是()

B.

C. π

D.2π

8.设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为

的函数,若

,则

等于()

A.

B. 1

C. 0

D.

9.若 tanα=3,则 A.2

的值等于() B. 3 C. 4 D.6 上截直线 y=2 与 y=﹣1 所得的弦

10.若曲线 y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间 长相等且不为 0,则下列对 a 和 A 的描述正确的是() A. B.a=1,A>1 C.



D.a=1,A≤1

二、填空题: 11.已知向量 =(2,3) , =(﹣l,2) ,若 与 垂直,则 m 等于.

12.若向量 , 满足

且 与 的夹角为

,则

=.

13.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ) (ω>0,|φ|< =.

) ,y=f(x)的部分图象如图,则 f(



14.已知 f(x)=sin

(ω>0) ,f(

)=f(

) ,且 f(x)在区间

上有最小值,无最大值,则 ω=. 15.函数 的最大值等于.

16.若非零向量 、 ,满足

,且

,则 与 的夹角大小为.

三、解答题 17.已知 cos(x﹣ (1)求 sinx 的值; (2)求 sin(2x )的值. )= ,x∈( , ) .

18.已知△ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4) 、B(0,0) 、C(c,0) . (1)若 ,求 c 的值;

(2)若 c=5,求 sinA 的值. 19.已知 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的值域; (3)求函数 f(x)的单调递增区间. 20.已知向量 =(sinθ,1) , =(1,cosθ) ,﹣ (Ⅰ)若 ,求 θ; <θ< .

(Ⅱ)求

|的最大值.

21.已知函数 f(x)=

sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 .

y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f( )的值;

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 的单调递减区间.

个单位后,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)

天津市耀华中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
一、选择题: 1.设 , 是两个不共线向量,若向量 与向量 共线,则 λ

的值为() A. B.﹣2 C. D.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量共线的等价条件得 =m ,解方程即可得到结论. 解答: 解:∵向量 ∴存在实数 m,满足 =m , 即3 ∵ ∴ +λ , =m(2 ﹣3 ) 与向量 共线,

是两个不共线向量, , ,

解得 m= ,λ= 故选:C.

点评: 本题主要考查向量共线定理的应用,解方程是解决本题的关键.比较基础.

2.为得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位

的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据诱导公式将函数 则进行平移即可得到答案. 解答: 解:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到函数 , 的图象. 化为正弦的形式,再根据左加右减的原

故选 A. 点评: 本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题.

3.已知 与 为互相垂直的单位向量, 数 λ 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣2) D.



且 与 的夹角为锐角,则实

B.( ,+∞) (﹣ )

C. (﹣2, )

考点: 平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 分析: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,由 与 为互相垂直的单位向量,我 们易得 , ,代入 , 可求出 ? ,又由 与 的夹角为

锐角,故 ? >0,由此得到一个关于 λ 的不等式,解不等式即可得到实数 λ 的取值范围, 但要注意, 与 同向的排除. 解答: 解:∵ 与 为互相垂直的单位向量 ∴ 又∵ , , ,

且 与 的夹角为锐角, ∴ 但当 λ=﹣2 时, , ,不满足要求

故满足条件的实数 λ 的取值范围是(﹣∞,﹣2) 故选 A 点评: 两个向量夹角为锐角,则两个向量的数量积为正; 两个向量夹角为钝角,则两个向量的数量积为负; 两个向量夹角为直角,则两个向量的数量积为零; 4.若 A. B. 2 ,则 tanα=() C. D.﹣2

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 分析: 本小题主要考查三角函数的求值问题, 需要把正弦和余弦化为正切和正割, 两边平 方,根据切割的关系进行切割互化,得到关于正切的方程,解方程得结果. 解答: 解:∵cosα+2sinα=﹣ , ∴cosα≠0, 两边同时除以 cosα 得 1+2tanα=﹣ , 2 2 2 ∴(1+2tanα) =5sec α=5(1+tan α) , 2 ∴tan α﹣4tanα+4=0, ∴tanα=2. 故选 B. 点评: 同角三角函数之间的关系, 其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间 的化简和证明. 在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要 有意义.

5.函数 A.

的单调增区间是() B.

C.

D.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 先根据符合函数的单调性把问题转化为求 t=sin( 0 的单调递增区间;再转化为求 y=sin(2x﹣ 即可求出结论. 解答: 解:由复合函数的单调性知, 求函数 y=lgsin( t=sin( ﹣2x)的单调递增区间即是求 )大于 0 的单调递增区间.

﹣2x)=﹣sin(2x﹣

)大于

)小于 0 的减区间,结合正弦函数的单调性

﹣2x)=﹣sin(2x﹣

即求 y=sin(2x﹣ ∴2kπ﹣π<2x﹣

)小于 0 的减区间, ≤2kπ﹣ ?kπ﹣ <x≤kπ ,k∈Z.

故选:C. 点评: 本题考查求正弦函数的单调性, 主要考查了复合函数的单调性的判断规则及函数的 单调区间的求法, 求解本题关键是熟知复合函数单调性的判断方法以及三角函数单调区间的 求法,本题易错点是忘记求函数的定义域,导致错误选择答案 A.

6.已知向量 值分别是() A.4 ,0 B.4,4 C.16,0

,则

|的最大值,最小 D.4,0

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出 2 化简三角函数求最值. 解答: 解:由已知得到 所以 所以 所以 | =(2cosθ
2 2

的坐标, 然后利用模的平方与向量的平方相等讲所求的式子平方,

=(2cosθ
2

,2sinθ+1) ,
2

) +(2sinθ+1) =8+8sin(

) ,

| 的最大值,最小值分别是 16 和 0, |的最大值,最小值分别是 4,0.

故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算,包括加减法、数量积;借助于三角函数的值域求 最值.

7.函数 y=

的最小正周期是()

A.

B.

C. π

D.2π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为 y=cos4x, 再利用 y=Asin (ωx+φ) 的周期等于 T= ,得出结论.

解答: 解:函数 y= 故函数的最小正周期为 T= =

= ,

=cos4x,

故选:B. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= ,属于中档题.

8.设 f(x)是定义域为 R,最小正周期为

的函数,若

,则

等于()

A.

B. 1

C. 0

D.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先根据函数的周期性可以得到 再代入到函数解析式中即可求出答案. 解答: 解:∵ ,最小正周期为 =f( )=f( ) ,

=f(

)=f(

)=sin

=

故选 A. 点评: 题主要考查函数周期性的应用,考查计算能力,分段函数要注意定义域,属于基础 题. 9.若 tanα=3,则 A.2 的值等于() B. 3 C. 4 D.6

考点: 二倍角的正弦;弦切互化. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和公式把原式的分母展开后化简,把 tanα 的值代入即可. 解答: 解: = =2tanα=6

故选 D 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.考查了基础知识的运用.

10.若曲线 y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间 长相等且不为 0,则下列对 a 和 A 的描述正确的是() A. B.a=1,A>1 C.

上截直线 y=2 与 y=﹣1 所得的弦



D.a=1,A≤1

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 曲线 y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的性质知,在一个周期上截直线 y=2 与 y=﹣1 所得的弦长相等且不为 0,可知两条直线关于 y=a 对称,由此对称性可求出 a,又截得的弦 长不为 0,故可得振幅大于 . 解答: 解:由题意曲线 y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图象关于直线 y=a 的对称 又截直线 y=2 及 y=﹣1 所得的弦长相等 所以,两条直线 y=2 及 y=﹣1 关于 y=a 对称 a= =

又弦长相等且不为 0 故振幅 A 大于 A> 故有 a= ,A> 故应选 A. 点评: 本题考点 y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,考查三角函数的图象的性质及其与 相应参数的关系,考查对三角函数图象的特征理解的能力. 二、填空题: 11.已知向量 =(2,3) , =(﹣l,2) ,若 与 垂直,则 m 等于 . =

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的坐标运算,利用 与 垂直,数量积为 0,求出 m 的值.

解答: 解:∵向量 =(2,3) , =(﹣l,2) , ∴ =(2m﹣1,3m+2) =(4,﹣1) 又∵ ∴( 与 )?( 垂直, )=4(2m﹣1)﹣(3m+2)=5m﹣6=0,

解得 m= . 故答案为: . 点评: 本题考查了平面向量的数量积的应用问题,是基础题目.

12.若向量 , 满足

且 与 的夹角为

,则

=



考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 根据 解答: 解:∵ ∴ ∴则 = 且 与 的夹角为 =7 可得答案.

故答案为: 点评: 本题主要考查向量的数量积运算,属基础题.

13.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ) (ω>0,|φ|< = .

) ,y=f(x)的部分图象如图,则 f(



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;作图题;压轴题. 分析: 根据函数的图象,求出函数的周期,然后求出 ω,确定 A 的值,根据( 求出 φ 的值,图象经过(0.1)确定 A 的值,求出函数的解析式,然后求出 f( 解答: 解:由题意可知 T= ,所以 ω=2, ,0)所以 0=Atan( +φ)所 ,0) )即可.

函数的解析式为:f(x)=Atan(ωx+φ) ,因为函数过( 以 φ= ,

图象经过(0,1) ,所以,1=Atan ( )=

,所以 A=1,所以 f(x)=tan(2x+

)则 f(

)=tan

故答案为: 点评: 本题是基础题,考查正切函数的图象的求法,确定函数的解析式的方法,求出函数 值,考查计算能力.

14.已知 f(x)=sin 上有最小值,无最大值,则 ω=

(ω>0) ,f( .

)=f(

) ,且 f(x)在区间

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;作图题;压轴题. 分析: 根据 f( )=f( ) ,且 f(x)在区间 上有最小值,无最大值,

确定最小值时的 x 值,然后确定 ω 的表达式,进而推出 ω 的值. 解答: 解:如图所示, ∵f(x)=sin 且 f( )=f( ) , 内只有最小值、无最大值, ,

又 f(x)在区间

∴f(x)在 ∴ ω+ =2kπ﹣

处取得最小值. (k∈Z) .

∴ω=8k﹣

(k∈Z) .

∵ω>0, ∴当 k=1 时,ω=8﹣ 当 k=2 时,ω=16﹣ 故 ω= . = = ; ,此时在区间 内已存在最大值.

故答案为:

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查逻辑思维能力,分析 判断能力,是基础题.

15.函数

的最大值等于 .

考点: 二倍角的余弦;三角函数的最值. 专题: 压轴题. 分析: 首先由余弦的倍角公式把函数转化为同名三角函数,再利用配方法求最值. 解答: 解:f(x)=cosx﹣ cos2x =cosx﹣ (2cos x﹣1) =﹣cos x+cosx+ = 所以 f(x)的最大值为 . 故答案为 . 点评: 本题考查余弦的倍角公式及配方法求最值.
2 2

16.若非零向量 、 ,满足

,且

,则 与 的夹角大小为 120°.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题.

分析: 设 与 的夹角大小为 θ,由题意得 2 cosθ 的值,即可得到 与 的夹角 θ 的大小. 解答: 解:设 与 的夹角大小为 θ,由题意 2 + =2| || |cosθ+ =2 cosθ+

+

=2

cosθ+

=0,由此求得

, =0,

可得

解得 cosθ=﹣ . 再由 0≤θ≤π 可得,θ=120°, 故答案为 120°. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义, 两个向量垂直的性质, 根据三角函数的值 求角,属于中档题. 三、解答题 17.已知 cos(x﹣ (1)求 sinx 的值; (2)求 sin(2x )的值. )= ,x∈( , ) .

考点: 两角和与差的正弦函数;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用 x 的范围确定 x﹣ (x﹣ 的范围, 进而利用同角三角函数的基本关系求得 sin )+ ]利用两角和公式求得答案

)的值,进而根据 sinx=sin[(x﹣

(2)利用 x 的范围和(1)中 sinx 的值,利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值,进 而根据二倍角公式求得 sin2x 和 cos2x 的值, 最后代入正弦的两角和公式求得答案. 解答: 解: (1)因为 x∈( 所以 x﹣ sin(x﹣ ∈( )= )+ ] +cos(x﹣ = . )sin ) , = . , ) ,

sinx=sin[(x﹣ =sin(x﹣ = × +

)cos ×

(2)因为 x∈( 故 cosx=﹣



) , =﹣ , . +cos2xsin =﹣ .

sin2x=2sinxcosx=﹣ cos2x=2cos x﹣1=﹣ 所以 sin(2x+ =﹣ .
2

)=sin2xcos

点评: 本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用. 考查了学 生基础知识的掌握和基本运算能力. 18.已知△ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4) 、B(0,0) 、C(c,0) . (1)若 ,求 c 的值;

(2)若 c=5,求 sinA 的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: (1)根据已知三点的坐标分别表示出 法则,根据 和 ,然后利用平面向量数量积的运算

列出关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c 的值;

(2)把 c 的值代入 C 的坐标即可确定出 C,然后利用两点间的距离公式分别求出|AB|、|AC| 及|BC|的长度,由|AB|、|AC|及|BC|的长度,利用余弦定理即可求出 cosA 的值,然后由 A 的 范围,利用同角三角函数间的基本关系即可求出 sinA 的值. 解答: 解: (1)由 A(3,4) 、B(0,0) 、C(c,0) . 得到: =(﹣3,﹣4) , =(c﹣3,﹣4) ,则 ? =﹣3(c﹣3)+16=0,解得 c= =2 ;

(2)当 c=5 时,C(5,0) ,则|AB|=

=5,|AC|=

,|BC|=5,

根据余弦定理得:cosA=

=

=



由 A∈(0,π) ,得到 sinA=

=



点评: 此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则, 灵活运用余弦定理及两点间的距离 公式化简求值,是一道综合题.

19.已知 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的值域; (3)求函数 f(x)的单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用; 平面向量数量积的运算; 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ 利用三角函数的周期性及其求法即可解得函数 f(x)的最小正周期. (2)由正弦函数的性质可得 sin(2x+ (3)由 2k ≤2x+ ≤2k )∈[﹣1,1],从而可求 2sin(2x+ )∈[﹣2,2]. ) ,

,k∈Z,可解得函数 f(x)的单调递增区间. =2cosxsin(x+ sin x
2

解答: 解: (1)∵f(x)= =2cosx( =sin2x+ cos2x ) ,

)+sinx(cosx﹣



)+sinxcosx﹣

=2sin(2x+

∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵sin(2x+ ∴2sin(2x+ (3)由 2k [k ,k )∈[﹣1,1],



)∈[﹣2,2]. ≤2x+ ≤2k ,k∈Z,可解得函数 f(x)的单调递增区间为:

], (k∈Z) .

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 平面向量数量积的运算, 三角函数的 周期性及其求法,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

20.已知向量 =(sinθ,1) , =(1,cosθ) ,﹣ (Ⅰ)若 (Ⅱ)求 ,求 θ; |的最大值.

<θ<



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

专题: 平面向量及应用. 分析: (I) 根据两个向量垂直的性质可得 sinθ+cosθ=0, 由此解得 tanθ 的值, 从而得出 θ. (II)利用向量的模的定义化简 出 |的最大值. ,? ? =0?sinθ+cosθ=0 , |,再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求

解答: 解: (I).

= = 当 =1 时 有最大值,此时 ,最大值为 .

点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,同角三角函数的基本关系,向量的模的定义, 以及三角公式的应用.属于基础题. 21.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 .

y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f( )的值;

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 的单调递减区间.

个单位后,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的图象和性质,求出函数的解析式即可求 f( (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 )的值;

个单位后,得到函数 y=g(x)的图象.利用三角

函数的单调性的性质即可求 g(x)的单调递减区间. 解答: 解: (1)f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ﹣ . ) ,

∵函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ∴ ,即函数的周期是 T,则 ω=2,

若 f(x)为偶函数, 则 φ﹣ =kπ+ ,

即 φ=kπ+ ∵0<φ<π, ∴φ= ,



即 f(x)=2cos2x, ∴f( )=2cos =2× ; 个单位后,得到函数 y=g(x)=f(x﹣ )=2cos[2

(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 (x﹣ )]=2cos(2x﹣ ) ,

由 2kπ≤2x﹣ 即 kπ

≤2kπ+π,k∈Z, ,k∈Z,即此时函数单调递减, ,kπ+ ].

≤x≤kπ+

则 g(x)的单调递减区间为[kπ

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 综合考查三角函数的诱导公式以及辅助角公 式的应用,综合性较强,运算量较大.


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