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我的二分法


普通高中课程标准实验教科书 数学

必修1

§3.1.2用二分法求方程的近似解

复习检 测

(1)方程的根与函数零点的等价关系 方程 f ( x) ? 0 有实根 ?函数 y ? f ( x) 有零点 ?函数的图象 与x轴有交点 (2)零点存在定理:
如果函数y ? f (x)在区间

?a, b? 满足:

?函数图象是连续不断的一条曲线
那么,函数y ? f (x)在区间? a, b ?内有零点, 即存在c ? ? a, b ? ,使得f (c) ? 0,这个c也就是 方程f (x) ? 0的根.

? f (a) ? f (b) ? 0

预 习检 测

1.求下列方程的根:
(1).x ? 2x ? 3 ? 0
2

(2) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

课堂问 题

问题一:二分法的概念
问题1:联系方程的根与函数零点的
关系,能否用函数的思想来求其根呢?

课堂探 究

求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根
? 求函数f ( x) ? ln x ? 2 x - 6的零点 .

y
2

问题3:
如何来求零 点的近似解?

1
-2 -1 -1 -2 0 1 2

3

4

x

(1)现在,有三十秒的时间竞猜手机价 格,看谁猜到的价格最接近手机的真实价 格:

实例探 究 (2)从城市A到城市B的供电线路的某一处发 生了故障,已知这条线路的长度是10Km,每50m有 一根电线杆,如何迅速查出故障的所在位置?

实例探 究
城市A C 城市B
10km 5km

A

D

C
2.5km

D

E F E

C
1.25km

D

课堂探 究

求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根

? 求函数f ( x) ? ln x ? 2 x - 6的零点 . y
2

1
-2 -1 -1 -2 0 1 2

3

4

x

课堂探 究

问题4:上述求函数零点近似值的方法叫
做二分法,那么二分法的基本思想是什么? 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得 到零点近似值的方法叫做二分法..

问题5:用二分法求方程近似解的前提条
件是什么?
例1、下列函数图象与x轴均有交点,其中 不能用二分法求图中函数零点的是 ( )

问题二:用二分法求函数零点近似值的 y 步骤
y ? f ( x)

问题 2: 为了缩小 问题 1: 求函

零点所在区间的范围, 数f(x)的零点第 接下来应做什么? 一步应做什么?

0

a

c e d

b

x

即区间长度小于精确度 就达到了精确度的要求 , 记精确度为 ?,只需使得 c-e <?. 取区间左端点或者右端 点为它的近似值 .

课堂问 题

问题3:归纳用二分法求方程近似解的一般步骤?
(1)确定区间 ? a, b?,验证 f ? a ? ? f ?b ? ? 0,
y

给定精确度? ;
0

y ? f ( x)

a c b x (2)求区间 ? a, b?的 中点 c; (3)计算 f ? c ? ①若 f ? c ? ? 0 ,则 c就是函数的零点 ; ②若 f ? a ? ? f ? c ? ? 0 ,则令 b ? c ,此时零点 x0 ? ? a, c ? ③若 f ? c ? ? f ?b? ? 0 ,则令 a ? c ,此时零点 x0 ? ? c, b ? (4)判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到

零点近似值 a ?或b? ;否则重复(2)~(4).

例题讲 解

例题:给定精确度 0.1 ,求方程ln x ? 2 x - 6 ? 0在区 间(2,3)内的根的近似解 .
解析:

?
间(2,3)内的零点的近似值 .

如何达到 精确度0.1?

给定精确度 0.1 ,求函数f ( x) ? ln x ? 2 x - 6在区

记精确度为0.1,只需使 a ? b <0.1即可.

课堂练 习
用二分法求函数 f ( x) ? 3x - x - 4的一个零点,其参 考数据如下:
f (1.6000) ? 0.200

f (1.5875) ? 0.133 f (1.5562)? -0.029

f (1.5750) ? 0.067 f (1.5500)? -0.060

f (1.5625) ? 0.003

据此数据,可得方程 3x - x - 4 ? 0的一个近似解 为
解析: () () (+ ) (+ )
f (1.5750)

1.5562 (或1.5625) .
(+ )

f (1.5500) f (1.5562) f (1.5625)

f (1.6000) x

y

例题讲 解
f (2) ? -1.3069 , f (3) ? 1.0986 ,区间长度 1 >精确度0.1
f (2.5)? -0.084 ,区间长度 0.5 >精确度0.1 f (2.75) ? 0.512 ,区间长度 0.25 >精确度0.1 f (2.625)? 0.215 ,区间长度 0.125 >精确度0.1 f (2.5625)? 0.066 ,区间长度 0.0625 <精确度0.1
() 2 ((+) (+ (+ ) ) ) 2.5 2.625 2.75 2.5625 (+ ) 3

0

x

即方程 ln x ? x)-6 所以,函数 f2 (x ?? ln0 x的根的近似解 ? 2 x - 6的零点的 为2.5或2.5625 近似值为 2.5或2.5625

四、目标检测
1.下列函数中能用二分法求零点的是( )

2.已知函数f(x)的图像是连续不断的曲线, 有如下的x和f(x)的对应值表:
1 52 2 23 3 5 4 -10 5 -20

那么,方程的根所在的区间是( ) A.(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)

课堂问 题

问题二:用二分法求函数零点近似值的 步骤
例1 :求方程ln x ? 2 x ? 6 ? 0在区间( 2,3 )内的根 的近似解

?
点的近似值

如何达到 精确度0.1?

函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6在区间( 2,3 )内的零

y

例题讲 解
f (2) ? -1.3069 , f (3) ? 1.0986 ,区间长度 1 >精确度0.1
f (2.5)? -0.084 ,区间长度 0.5 >精确度0.1 f (2.75) ? 0.512 ,区间长度 0.25 >精确度0.1 f (2.625)? 0.215 ,区间长度 0.125 >精确度0.1 f (2.5625)? 0.066 ,区间长度 0.0625 <精确度0.1
() 2 ((+) (+ (+ ) ) ) 2.5 2.625 2.75 2.5625 (+ ) 3

0

x

即方程 ln x ? x)-6 所以,函数 f2 (x ?? ln0 x的根的近似解 ? 2 x - 6的零点的 为2.5或2.5625 近似值为 2.5或2.5625

课后作 业

x 2 运用今天所学知识求方程 ? 2 x - 3 ? 0 的近似解 .(精确度0.1)

§3.1.2用二分法求方程的近似解

09级A班 朱雪清 094080063

一.教材分析: 普通高中课程标准实验教科书 数学
§3.1.2用二分法求方程的近似解
y

必修1

2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2

《用二分法求方程的近似解》是新课程中新增内容,为了 帮助学生认识函数与方程的关系,教科书分三个层面来展现:
第一层 面

从简单的一元二次方程和二次函数入手, 建立起方程的根与函数零点的关系,侧重点 在于学习零点存在定理.

要求学生根据具体函数的图像,借助计算器 通过用二分法求方程的近似解,体现函 第二层 用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数、方 数的零点与方程的根之间的关系,让学生学 面 程、不等式等高中知识,体现了二分法的工具性 会用二分法求方程的近似解. 和应用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、 算法思想和逼近思想.
第三层 面

通过建立函数模型以及运用模型解决问题, 体会二分法在生活中运用的巧妙性与便捷性.

教学重点、难点:

二.教学目标:

?(1)理解二分法的概念. ?(2)掌握运用二分法求方程近似解的具 体步骤. ?(3)学会用二分法求方程的近似解.

过程与 方法

知识与 技能

情感态 度

? (1)通过生活中的实例和直观想象, 让学生自主探究得出二分法的概念. ? (2)通过图例和动画演示让学生探究 性地归纳出用二分法求方程近似解的 具体步骤,达到探究性学习的目的.

教学目标

?在问题的发现和探究过程中,让学生 感受数学的趣味性和实用性,感受成 功的喜悦,并激发学习的兴趣.

三.教学理念(教法、学法):
教 法

本堂课安排了温故知新,设置冲突,问题调整,创 设情境,尝试探究,合作交流,直面主题,解决问题, 归纳总结,揭示新知,练习巩固,课堂小结和作业创新 等环节.
整堂课围绕数形结合,逼近,划归的数学思想方法这 一主题来展开.

学 法

本设计主要应用构建主义的数学教学理念,引导认 知主体积极参与到探究、发现、讨论、交流的学习活动 中去,使课堂教学成为学生亲自参与的数学教学场所, 注重教师的指导性和学生的探究性.

四.教学设计:
第一环节:复习回顾,为新知铺路搭桥.

如果函数y ? f (x)在区间?a, b? 满足: (1)函数图象是连续不断的一条曲线 (2) f (a) ? f (b) ? 0

那么,函数y ? f (x )在区间 ? a, b ?内有零点,

即存在c ? ? a, b ? ,使得f (c) ? 0,这个c也就是 方程f (x) ? 0的根.

第二环节:问题调整,设置冲突.

问题一:求方程 x 2 - 2 x - 3 ? 0的根.
问题二:求方程ln x ? 2 x - 6 ? 0的根.

第三环节:创设情境,尝试探究. 从城市A到城市B的供电线路的某一处发生 了故障,已知这条线路的长度是10Km,每50m 有一根电线杆,如何迅速查出故障的所在位置?

第四环节:归纳总结,揭示新知. 归纳得出二分法的概念,通过多媒体演示用二分法求 函数零点近似值的动态图示,让学生自主探究,归纳出具 体的文字步骤,达到探究性学习的目的.
y
y ? f ( x)

0

a

c

b

x

定区间,找中点,中值计算两边看
零点落在异号间,区间长度缩一半 周而复始怎么办?精确度上来判断

第五环节:活学活用,例题讲解.

例题:给定精确度 0.1 ,求方程ln x ? 2 x - 6 ? 0在区 间(2,3)内的根的近似解 .
第六环节:总结本堂课所学,深化重点,便于学生理解 记忆. 1.二分法的概念. 2.用二分法求方程的近似解的步骤. 第七环节:布置练习,知识延伸. 运用今天所学知识求方程 2 x ? 2 x - 3 ? 0 的近似解. (精确度0.1)


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