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国际奥赛2届


第 2 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
(1968 年于匈牙利的布达佩斯) 【题1】 在倾角为 30 的斜面上,质量为 m2=4 kg 的木块经细绳与质量为 m1=8 kg 、 半径为 r =5 cm 的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系 数 μ =0.2,忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。 解:如果绳子是拉紧,则圆柱体与木块一同加速运动, m2

m1 设加速度为 a,绳子中的张力为 F,圆柱体与斜面之间 的摩擦力为 S,则圆柱体的角加速度为 a/r。 a 对木块有:m2a=m2gsinα -μ m2gcosα +F 对圆柱体有:m1a=m1gsinα -S-F S r=Ia/r 其中 I 是圆柱体的转动惯量,S r 是摩擦力矩。 解以上方程组可得
0

a?g

(m1 ? m2 ) sin ? ? ?m2 cos? I m1 ? m2 ? 2 r

(1)

1 , 3 , 5

S?

I (m1 ? m2 ) sin ? ? ?m2 cos? g I r2 m1 ? m2 ? 2 r

(2)

F ? m2 g

? (m1 ?

I I ) cos? ? 2 sin ? 2 r r I m1 ? m2 ? 2 r

(3)

m1 r 2 均匀圆柱体的转动惯量为 I ? 2
代入数据可得 a=0.3317g=3.25m/s S=13.01 N F=0.196 N 讨论:系统开始运动的条件是 a>0。把 a>0 代入(1)式,得出倾角的极限 α 1 为:
2

tan ? 1 ? ?
0 /

m2 ? ? ? 0.0667 m1 ? m2 3

α 1=3 49 单从圆柱体来看,α 1=0; -1 0 / 单从木块来看,α 1=tg μ =11 19 如果绳子没有拉紧,则两物体分开运动,将 F=0 代入(3)式,得出极限角为:

t a? n2 ? ? (1 ?

m1 r 2 ) ? 3? ? 0.6 I

第 1 页 共 3 页

α 2=30 58 圆柱体开始打滑的条件是 S 值(由(2)式取同样的动摩擦系数算出)达到 μ m1gcosα , 由此得出的 α 3 值与已得出的 α 2 值相同。 圆柱体与木块两者的中心加速度相同,都为 g(sinα -μ gcosα )圆柱体底部的摩擦 力为 μ m1gcosα ,边缘各点的切向加速度为

0

/

a=μ (

m1 r 2 )gcosα , I
3 0

【题 2】 一个杯里装有体积为 300 cm 、温度为 0 C 的甲苯,另一个杯里装有体积为 110 3 0 3 cm 、温度为 100 C 的甲苯,两体积之和为 410 cm 。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯 0 -1 的体膨胀系数为 β =0.001( C) ,忽略混合过程中的热量损失。 0 解:若液体温度为 t1 时的体积为 V1,则在 0 C 时的体积为

V10 ?

V1 1 ? ?t1
0

同理,若液体温度为 t2 时的体积为 V2,则在 0 C 时的体积为

V20 ?
0

V2 1 ? ?t 2

如果液体在 0 C 时的密度为 d,则质量分别为 m1=V10d m2=V20d 混合后,液体的温度为

t?

m1t1 ? m2 t 2 m1 ? m2

在该温度下的体积分别为 V10(1+β t)和 V20(1+β t) 。所以混合后的体积之和为 V10(1+β t)+V20(1+β t)=V10+V20+β (V10+V20)t = V10+V20+β

m1 ? m2 m1t1 ? m2 t 2 ? d m1 ? m2

= V10+V20+β (

m1t1 m2 t 2 ) ? d d

=V10+β V10t1+V20+β V20t2=V10(1+β t1)+V20(1+β t2) =V1+V2 3 体积之和不变,在本题仍为 410 cm 。当把多杯甲苯不断地加入进行混合,对任何数量 的甲苯这个结果都成立。 0 【题 3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内,以 45 角射 在半圆柱体的平面上(如右图) ,玻璃的折射率为 2 。试 问光线在何处离开圆柱体表面? 解:用角度 Ψ 描述光线在玻璃半圆柱体内 的位置如解图 2.3 所示。按照折射定律:

第 2 页 共 3 页

sin 45 0 ? 2 sin ?
得:sin?=? ? ?,?=30 所有折射光线与垂直线的夹角均为 0 0 30 ,有必要研究一下,当 Ψ 角从 0 增至 0 180 的过程中发生了什么现象。 0 不难看出,Ψ 角不可能小于 60 。 光线从玻璃射向空气全反射的临界角 由解图 3.2
0

?
A
O

B

? ?

sin ? t ?

1 2 ? n 2
0

求出:?t=45 , 0 0 0 0 则:Ψ t=180 ―60 ―45 =75 0 如果 Ψ 角大于 75 ,光线将离开圆柱体。随着 Ψ 角的增加,光线将再次发生全反射, 0 0 0 0 此时 Ψ t=90 +30 +45 =165 0 0 0 0 故当:75 <Ψ <165 时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为 165 ―75 0 =90 。 【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子,每个盒上有两个插孔。不许打开盒子,试 确定盒中元件的种类, 并测定其特性。 可供使用的是, 内阻和精度已知交流和直流仪器, 以及交流电源(频率 50 HZ)和直流电源。 解:在任何一对插孔中都测不到电压,因此,盒子都不含有电源 先用交流, 再用直流测电阻, 有一盒给出相同的结果。 结论是: 该盒包含一个简单电阻, 其阻值由测量确定。 另一盒有极大的直流电阻,但对交流来说是导体。结论是:该盒包含一个电容,其电容 值由 C ?

1 算得。 ?R

第三个盒子对交流和直流都是导体,而交流电阻较大。结论是:该盒包含一个电阻和电 感,两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。

1 , 3 , 5

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