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2017届江西省新余市第一中学高三上学期调研考试(一)(开学考试)数学(文)试题


2017 届江西省新余市第一中学高三上学期调研考试 (一) (开学考试) 数学 (文) 试题 数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1. 设 A, B 是非空集合, 定义 A ? B ? ? x | x ? A, 且x ? B? ,已知



1 ? ? A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | y ? ? ,则 A ? B ? ( 1? x ? ?
A. ? B. ? ?1, 2? C. ?1, 2?

) D. ?1, 2? )

2. 已知 i 是虚数单位, 复数 z ? A. 2 B.

1 2

1 ? a ? R ? 在复平面内对应的点位于直线 y ? 2 x 上, 则 a ? ( a ?i 1 C. ?2 D. ? 2
3

3. 已知定义域为 ? a ? 4, 2a ? 2? 的奇函数 f ? x ? ? 2016 x ? sin x ? b ? 2 ,则 f ? a ? ? f ? b ? 的值为( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 16 ) D.不能确定



4. 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a6 ? 8 ,则 a3 a4 a5 ? ( A. ?64 B. 64 C. 32

5. 已知 m, n 是两条直线, ? , ? 是两个平面, 则下列命题中不正确的是( A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? n
2 2

B.若 m ? ? , ? ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? n, n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? )

6. 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 0 ,在圆 C 中任取一点 P ,则点 P 的横坐标小于 1 的概率为( A.

1 4

B.

1 2

C.

2

?

D.以上都不对

7. 已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线 M 的离心率为 3 ,且它的一个焦点到一条渐近线的距离 为 2 ,则双曲线 M 的方程不可能是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 2 4

y 2 x2 ? ?1 2 4

第1页

C. 2 x ? y ? 4
2 2

x2 y 2 D. ? ?1 4 2


8. 执行如图所示的程序框图, 若输出的 s ? 86 ,则判断框内的正整数 n 的所有可能的值为(

A. 7
2

B. 6, 7

C. 6, 7,8

D. 8,9

9. 设 p : ?x ? R, x ? 4 x ? m ? 0; q : 函数 f ? x ? ? ? ( )

1 3 x ? 2 x 2 ? mx ? 1 在 R 上是减函数, 则 p 是 q 的 3

A.充分不必要条件 C.充要条件 10. 将函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

? ?

??

? 1 ? ? 1 的图象向右平 个单位, 再把所有的点的横坐标缩短到原来的 倍 3 2 3?


(纵坐标不变), 得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 则函数 y ? g ? x ? 的图象的一条对称轴为( A.直线 x ?

?
6
2

B.直线 x ?

?
12

C.直线 x ? ?

?
6

D.直线 x ? ?

?
4

11. 抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于点 A ,焦点为点 F ,点 P 是抛物线 C 上的任意一点, 令 t ? 则 t 的最大值为( A. 1 12. 已知函数 f ? x ? ? ? ) B. 2 C. 2 D. 4

PA PF

,

? ? ln x , x ? 0 ,若方程 f ? x ? ? a ? a ? R ? 有四个不同的实数根 x1 , x2 , x3 , x4 (其 2 ? ? x ? 4 x ? 1, x ? 0
1 ? x4 的取值范围是( x3


中 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ),则 x1 ? x2 ? A. ? ?2, 2e ? 4?

B. ? ?1, 2e ? 2?

C. ? 2, 2e ? 4?

D.不确定

第Ⅱ卷(共 90 分)
第2页

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a ? ? ?1, 2 ? , b ? ? 2, k ? ,若 a ? b ,则 2a ? b ? .

?3 x ? y ? 1 ? 0 ? 14. 若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ?3 x ? 6 y ? 4 ? 0 ?
15. 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 .



16. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,

1 1 2 ?2 ? n ? N ? ? ,记 bn ? an ,则数列 ?bn bn ?1? 前 n 项和 S n ? ? 2 an an ?1



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, 角 A 、 B 、 C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b tan A, c tan B, b tan B 成等差数列. (1)求角 A ; (2)若 a ? 2 ,试判断当 bc 取最大值时 ?ABC 的形状, 并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面 ABC 是等腰三角形, 且斜边

AB ? 2 2 ,侧棱 AA1 ? 3 ,点 D 为 AB 的中点, 点 E 在线段 AA1 上, AE ? ? AA1 (? 为实数).
(1)求证:不论 ? 取何值时, 恒有 CD ? B1 E ; (2)求多面体 C1 B ? CDE 的体积.

19. (本小题满分 12 分)全国人大常委会会议于 2015 年 12 月 27 日通过了关于修改人口与计划生育法的
第3页

决定, “全面二孩”从 2016 年元旦起开始实施, A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机 抽取了男性市民 30 人、女性市民 70 人进行调查, 得到以下的 2 ? 2 列联表: 支持 男性 女性 合计 反对 合计

20
40 60

10
30 40

30
70 100

(1)根椐以上数据,能否有 90 0 0 的把握认为 A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关? (2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出 6 人发放礼品,分别求所抽取的 6 人中男 性市民和女性市民的人数; (3) 从(2)题中所选的 6 人中, 再随机抽出 2 人进行长期跟踪调查, 试求恰好选到一男一女的概率. 参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d

参考数据:

P?K2 ? k?

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001
10.828

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 1 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,点 F1 , F2 是椭圆 E 的左、右焦点, 过定点 Q ? 0, 2 ? 的动直线 l 与椭 a b 2
圆 E 交于 A, B 两点, 当 F1 , A, B 共线时, ?F2 AB 的周长为 8 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设弦 AB 的中点为 D ,点 E ? 0, t ? 在 y 轴上, 且满足 DE ? AB ,试求 t 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? kx ? ln x ? k ? R ? .
2

(1)试讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若不等式 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立, 求 k 的取值范围, 并证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? n ? 2, n ? N ? ? . 2 2 3 4 n 2e

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
第4页

如图, AC 是圆 O 的直径, ABCD 是圆内接四边形, BE ? DE 于点 E ,且 BE 与圆 O 相切于点 B . (1)求证: CB 平分 ?ACE ; (2)若 AB ? 6, BE ? 3 ,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度

? ?x ? 2 ? ? 单位, 直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin ? ? ? ? ? . ? ? 4? ? 2 t 2

(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 与直线 l 交于 A, B 两点, 若 P 点的直角坐标为 ? 2,1? ,求 PA ? PB 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ,记 f ? x ? 的最小值为 k . (1)解不等式 f ? x ? ? x ? 1 ; (2)是否存在正数 a, b ,同时满足: 2a ? b ? k ,

1 2 ? ? 4 ?并说明理由. a b

高三调研考试(一) 文科数学参考答案
1.C 【 解 析 】 由 题 意 可 知 A?B ? A ? (?R B ) , A=[-1,2],B= (??,1) , 故 ?R B ? [1, ??) , 所 以

A?B ? A ? (?R B ) ? [1, 2].
2.B 【解析】 z ? 所以 a ?

1 a?i a 1 a 1 ? 2 ? 2 ? 2 i ,其对应的点为 ( 2 , 2 ) ,又该点位于直线 y=2x 上, a ? i a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

1 . 2
第5页

3.A 【 解 析 】 依 题 意 得 a ? 4 ? 2a ? 2 ? 0,? a ? 2 , 又 f(x) 为 奇 函 数 , 故 b+2=0, 所 以 b=-2, 所 以

f (a ) ? f (b) ? f (2) ? f (?2) ? 0 .
2 3 4.B 【解析】 由等比数列的性质可知 a2 ? a6 ? a4 所以 a3 a4 a5 ? a4 ? 16 ,而 a2 , a4 , a6 同号,故 a4 ? 4 , ? 64 .

5.D 【解析】由面面垂直的判定定理可知 A 项正确;因为 m ? ? , ? / / ? , 所以 m ? ? , 又 n ? ? ,故 m ? n ,B 项正确; 若 ? //? , n ? ? , 则 n ? ? ,又 m ? ? ,∴m∥n 成立,C 正确; D 中, l 与 ? 有两种可能: m //? , 或

m ? ? ,故 D 错误.应选 D.
6.B 【解析】将 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 配方得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,故 C(1,0),所以在圆内且横坐标小于 1 的点的集合 恰为一个半圆面,所以所求的概率为

1 . 2 c ? 3 , 所以 c 2 ? a 2 ? 4 ? 3a 2 ,解得 a

7.D 【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为 b, 故 b 2 ? 4 , 又 e ?
2

x2 y 2 y 2 x2 ? 1 ,或 ? ? 1 ,对照各选项,只有 D 不符合. a ? 2 ,所以该双曲线的标准方程是: ? 2 4 2 4
8.B 【解析】第一次,s=1,k=0,进入循环,第一次循环后,s=2 ? 86 ,k=2,第二次循环后,s=6 ? 86 ,k=4,第三次循 环后, s=22 ? 86 ,k=6,第四次循环后, s=86,k=8,满足条件, 应跳出循环, 所以判断框内应为 “k>6” 或 “k>7” , 故选 B. 9.A 【解析】 若 p 为真, 则 ? ? 16 ? 4m ? 0, 解得 m ? 4 ;若 q 为真, f ?( x)=-x ? 4 x ? m ? 0 在 R 上恒成立,
2

则 ? ? 16 ? 4m ? 0, 解得 m ? 4 ,所以 p 是 q 的的充分不必要条件.

2? ) ? 1 的图象,再把所有的点的横坐 3 3 1 2? 标缩短到原来的 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ), 得 到 函 数 g ( x) ? 2sin(2 x ? ) ?1 的 图 象 , 令 2 3 2? ? 7? k? ? 2 x ? = ? k? (k ? Z ) ,解得 x ? ? (k ? Z ) ,令 k ? ?1 ,得 x ? ,故选 B. 3 2 12 2 12
10.B 【解析】将 f ( x) 的图象向右平移

?

个单位得到 y ? 2sin( x ?

11.B 【解析】过点 P 作 PQ 与准线垂直,垂足为 Q ,则 t ?

| PA | | PA | 1 1 , ? ? ? | PF | | PQ | cos ?APQ cos ?PAF

当 t 取得最大值时, ?PAF 必须取得最大值,此时直线 AP 与抛物线相切,设切线方程为 y ? k ( x ? 1) 与

y 2 ? 4 x 联立,消去 x,得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ,所以 ? ? 16 ? 16k 2 ? 0, 所以 k ? ?1 ,从而 PA 的斜率为 ?1 ,
此时 ?PAF ? 45? ,所以 tmax ?

1 ? 2. cos 45?

12.A 【解析】根据二次函数的对称性知 x1 ? x2 ? ?4 且 0 ? x3 ? 1, x4 ? 1 ,由 | ln x3 |?| ln x4 |? a, 知 x3 x4 ? 1
第6页

且 x4 ? e a ? (1, e](其中0 ? a ? 1), 所以

1 1 ? x4 ? 2 x4 ? (2, 2e] ,所以 x1 ? x2 ? ? x4 ? (?2, 2e ? 4] . x3 x3
b = ( 2,-4 ) , 所 以

13.

4 5

【 解 析 】 由

a//b, 得 ? k ? 4 ? 0 ? k ? ?4 , 即

| 2a ? b |= (?2, 4) ? (2,? 4) ? (? 4,8) ? 4 5.
14. ?

1 5

【解析】作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):

由?

?3 x ? y ? 1 ? 0 2 3 得 A( , ? ) , 15 5 ?3 x ? 6 y ? 4 ? 0

由 z ? 3 x ? y 得 y ? ?3 x ? z ,作直线 l0 : y ? ?3 x ,将其向平面区域内平移,易知过点 A 时直线在 y 轴上截 距最小,,所以 zmin ? 3 ? 15.

? ?1
3
1

2 3 1 ? ?? . 15 5 5

【解析】原几何体的直观图如图,其体积 V ?

1 1 1 4 ? ?1 ? ? 2 ? 1? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 3 2 4 3 3

1 1

1

16.

?1? 1 1 n 1 1 1 ?2 ? 【解析】由 得 2 ? 2 ? 2 ,且 2 ? 1 ,所以数列 ? 2 ? 构成以 1 为首项,2 2 an an ?1 an ?1 an 2n ? 1 a1 ? an ?
1 1 1 2 , 则 bn ? , ? ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 从 而 得 到 an 2 2n ? 1 2n ? 1 an

为公差的等差数列,所以

bnbn ?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n . (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

所以 S n ?

17.解析:(1)因为 b tan A, c tan B, b tan B 成等差数列, 所以 b tan ? ? ? 2c ? b ? tan ?.

第7页

由正弦定理得 sin ? ?

sin ? sin ? , ? ? 2sin C ? sin ? ? ? cos ? cos ?

又因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 sin ? cos ? ? 2sin C cos ? ? cos ? sin ? , 即 sin ? ? ? ? ? ? 2sin C cos ? ,所以 sin C ? 2 sin C cos A , 又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos ? ? (2)由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 所以 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc,
2 2

?
3

1 ? ,而 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? .(6 分) 2 3



当且仅当 b ? c 时取等号. 即当 b ? c ? 2 时, bc 取得最大值. 所以此时 ? ABC 为等边三角形.(12 分)

18.解:(1)证明: 在等腰直角三角形 ABC 中, AC= BC ,点 D 为 AC 的中点, ? CD? AB , (1 分) 又在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,CD ? 平面 ABC ,
? AA 1 ?CD, (3 分)

又 AA1 ? AB ? A,?

CD ?平面 ABB1 A1 , (4 分)

又不论 ? 取何值时, B1 E ? 平面 ABB1 A1 , ? CD ? B1 E . (6 分)
(2) VC1 ?CDE ? VD ?C1EC ? 而 VC1 ? BCD ?

1 1 1 1 1 S ?CC1E ? BC ? ? ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 1 .(9 分) 3 2 3 2 2

1 1 S ?BCD ? CC1 ? ? ( 2) 2 ? 3 ? 1 (11 分) 3 6

所以多面体 C1 B-ECD 的体积 V ? VC1 ?CDE ? VC1 ? BCD ? 2 . (12 分) 19.解: (1)由列联表可得 K2=

n(ad ? bc) 2 100(20 ? 30 ? 10 ? 40) 2 ? ? 0.7937 ? 2.706 .(5 分) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 70 ? 60 ? 40
(6 分)

所以没有 90%的把握认为 “支持全面二孩”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的 6 位市民中,男性市民有 6 ?

20 40 ? 2 (人),女性市民有 6 ? ? 4 (人).(8 分) 60 60

(2)设这 6 人中的 2 位男性市民为 a, b ,女性市民为 c, d , e, f ,则从 6 人中任选 2 人的基本事件为:

(a, b), (a, c), (a, d ), ( a, e), ( a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ), 共 15 个,
其中恰为一男一女的基本事件有:

(a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), 共 8 个.

第8页

所以恰好选到一男一女的概率为 P ?

8 .(12 分) 15

? a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? , ? 20.解:(1)由题意得 ? a 2 解得 ,所以椭圆 E 的标准方程为 ? ? 1 .(4 分) a ? 2, b ? 3 4 4 3 ? 4a ? 8 ?
(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴,此时直线 AB 与直线 DE 重合,即 DE ? AB 不成立.(5 分)

x2 y 2 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? 2 , 代 入 ? ?1 , 消 去 y , 得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0,
由 ? ? (16k ) 2 ? 16(3 ? 4k 2 ) ? 0, 得 | k |? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,D ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

1 , (6 分) 2

16k 4 .(7 分) , x1 x2 ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 uuu r x ?x k ( x1 ? x2 ) x ? x k ( x1 ? x2 ) x0 ? 1 2 , y0 ? ? 2 ,故 ED ? ( 1 2 , ? 2 ? t) , 2 2 2 2 uuu r AB ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )),

由 DE ? AB ,得 DE ? AB ? 0 ,所以 ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )) ?( 展开化简得 (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2kt ? 0, (10 分) 将 x1 ? x2 ? ?

uuu r uuu r

x1 ? x2 k ( x1 ? x2 ) (9 分) , ? 2 ? t ) =0 , 2 2

16k 2 代入,化简得 t ? ? 2 ,又 2 4k ? 3 4k ? 3

1 2 1 | k |? , 所以 t ? ? 2 ? (? , 0) . 2 4k ? 3 2
综上所述 t 的取值范围为 (?

1 , 0) . 2
2

(12 分)

21 解析: (1)由题可知 f ( x) ? kx ? ln x , 定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx 2 ? 1 ? , (1 分) x x

若 k ? 0 , f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在 (0, ??) 单调递减.(2 分) 若k ? 0,

第9页

1 2kx 2 ? 1 f ?( x) ? 2kx ? ? ? x x
当 x ? (0,

2k ( x 2 ?

1 1 1 )( x ? ) ) 2k ( x ? 2k 2k , 2k ? (3 分) x x

1 (4 分) ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 2k 1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.(5 分) 2k

当 x?(

(2)不等式 f ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 上恒成立 可转化为: kx 2 ? ln x ? k ?

ln x ln x ,令 ? ( x) ? 2 , 2 x x

则问题可化为 k ? ? ( x) max (其中 x ? (0, ??) ) , 由于 ? ?( x) ? (

ln x 1 ? 2 ln x ,令 ? ?( x) ? 0 得 x ? e , )? ? 2 x x3

当 x ? (0, e ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, 当 x ? ( e , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减.

1 1 1 ,因此 k ? , 即 k ? [ , ??) .(8 分) 2e 2e 2e 1 ln x 1 由 k ? [ , ??) ,可知 2 ? (9 分) ( x ? 2) , 2e x 2e ln n 1 从而得到 2 ? (n ? 2) ,对 n 依次取值 2,3, ???, n 可得 n 2e ln 2 1 ln 3 1 ln 4 1 ln n 1 , 2 ? , 2 ? ,?, 2 ? ? (n ? 2, n ? N ? ) , 2 2 2e 3 2e 4 2e n 2e
所以 ? ( x) max ? ? ( e ) ? 对上述不等式两边依次相加得到:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ). (12 分) 2 2 3 4 n 2e
22.解:(1)证明:? BE 与圆 O 相切于点 B ,

? ?CBE ? ?BAC .①
? BE ? DE

? ?BCE ? 90? ? ?CBE ② ? AC 是圆 O 的直径,
? ?BCA ? 90? ? ?BAC ③
由①②③得 ?BCA ? ?BCE , 即 CB 平分 ?ACE .(5 分) (2)由(1)知 ?ABC ? ?BEC ,
第 10 页

? AB ? 6, BE ? 3,

?

BC BE 1 1 ? ? , 即 sin ?CAB ? , AC AB 2 2

??CBE ? ?CAB ? 30? , 故 AC = 4 3, CB ? 2 3 , CE ? 3 .
由切割线定理得 EB ? EC ? ED ? 3 ? 3ED ? ED ? 3 3 ,
2 2

? CD ? 2 3,? AD ? 6 .(10 分)
23.解:(1)直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 , (1 分)

? ? ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 sin ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4 ? sin ? ? 4 ? cos ? .
4
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 (或写成 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ) ..(5 分)
2 2 2 2

? ?x ? 2 ? ? (2)点 P(2,1)在直线 l 上,且在圆 C 内,把 ? ? y ? 1? ? ?
设两个实根为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ?

2 t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 ,得 t 2 ? 2t ? 7 ? 0 , 2 t 2

2, t1t2 ? ?7 ? 0 ,即 t1 , t2 异号.
2 .(10 分)

所以 | PA | ? | PB | ? | t1 | ? | t2 | ?| t1 ? t2 |?

24.解:(1)不等式 f ( x) ? x ? 1 化为 | x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1 ? 0 . 设函数 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1 ,

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 1 , 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 即 1 ? x ? 2 时取等号,故 k ? 1 .(7 分) 假设存在符合条件的正数 a, b ,则 2a ? b ? 1,

?

1 2 1 2 b 4a b 4a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8, a b a b a b a b
b 4a 1 1 1 2 1 2 ? , 2a ? b ? 1 ,即 a ? , b ? 时取等号,? ? 的最小值为 8,即 ? ? 4 . a b 4 2 a b a b
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当且仅当

? 不存在正数 a,b,使 2a ? b ? 1,

1 2 ? ? 4 同时成立.(10 分) a b

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