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2011广东理数


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试卷类型:A

年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 数学(理科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色自己的钢

笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、 试室号、座位号,填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在 答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2、选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 用 息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答 在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高

$ 线性回归方程 $ = bx + a 中系数计算公式 y $
其中 x, y 表示样本均值。 N 是正整数,则 a n ? b n = ( a ? b ) (a n ?1 + a n ? 2b + … ab n ? 2 + b n ?1 )

小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个 选择题: 选项中,只有一项是符合题目要求的。 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数 z 满足 (1 + i ) z = 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z = A. 1 + i B. 1 ? i C. 2 + 2i D. 2 ? 2i

2.已知集合 A = {( x, y ) ∣ x, y 为实数,且 x 2 + y 2 = 1} , B = {( x, y ) x, y 为实数,
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且 y = x} ,则 A ∩ B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 c ? (a + 2b) = A.4 B.3 C.2 D.0

4. 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x ) + g ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) + g ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) ? g ( x ) 是奇函数 D. f ( x ) ? g ( x ) 是奇函数

?0 ≤ x ≤ 2 ? 5. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定。若 M ( x, y ) ? ?x ≤ 2 y uuuu uuur r 为 D 上的动点,点 N 的坐标为 ( 2,1) ,则 z = OM ON 的最大值为 A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队 需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.
1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

7. 如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

8.设 S 是整数集 Z 的非空子集, 如果 ?a, b ∈ S , 有 ab ∈ S , 则称 S 关于数的乘法是 封闭的. 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T ∪ U = Z , 且 ?a, b, c ∈ T , 有
abc ∈ T ; ?x, y, z ∈ V , 有 xyz ∈ V ,则下列结论恒成立的是
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A. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的 小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 填空题: (一)必做题(9-13 题) 必做题( 9. 不等式 x + 1 ? x ? 3 ≥ 0 的解集是
2? ? 10. x ? x ? ? 的展开式中, x 4 的系数是 x? ?
7

. (用数字作答)

a = 1, ak + a4 = 0 , 则 11. 等 差 数 列 an 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和 . 若 1 k=____________.
2 12. 函数 f ( x) = x ? 3x + 1 在 x=____________处取得极小值。

13. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测 他孙子的身高为_____cm.

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 选做题( 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 面 线 参 数 方 程 分 别 为 5 2 ? ?x = t ? x = 5 cos θ ? 4 (t ∈ R ) ,它们的交点坐标为___________. (0 ≤ θ < π ) 和 ? ? ?y = t ? y = sin θ ? ? 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 O 外一点 p 分别作圆的切线 和割线交圆于 A , B ,且 PB =7, C 是圆上一点使得 BC =5, ∠ BAC =∠ APB , 则 AB = 。

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三.解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和 解答题。 小题, 解答需写出文字说明、 演算步骤。 演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
1 π 已知函数 f ( x) = 2 sin( x ? ), x ∈ R. 3 6 5π (1)求 f ( ) 的值; 4

π 10 6 ? π? (2)设 α , β ∈ ?0, ? , f (3a + ) = , f (3β + 2π ) = , 求 cos(α + β ) 的值. 2 13 5 ? 2?

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽出取 14 件和 5 件, 测量产品中的微量元素 x,y 的含量 (单位: 毫克) . 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中 优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期望) 。

18.(本小题满分 13 分) 如图 5.在椎体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的棱形, 且∠DAB=60 ° , PA = PD = 2 ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥ 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.

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19.(本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 ( x + 5) 2 + y 2 = 4, ( x ? 5)2 + y 2 = 4 中的一个内切,另一个外切。 (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M (
3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值 5 5

及此时点 P 的坐标. 20.(本小题共 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1=b, an = (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ≤
b n +1 + 1. 2n +1

nban ?1 (n ≥ 2) an ?1 + 2n ? 2 .

21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L: y =
1 2 x 实数 p,q 满足 4 .

p 2 ? 4q ≥ 0 ,x1,x2 是方程 x 2 ? px + q = 0 的两根,记 ? ( p, q ) = max { x1 , x2 } 。 (1)过点 A( p0 ,
1 2 p0 )( p0 ≠ 0) 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 4

上任一点 Q(p,q)有 ? ( p, q ) =

p0 ; 2

2 (2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a -4b>0,a≠0. 过 M(a,b)作 L 的

两条切线 l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 , 线 段 EF

1 2 1 p1 ), E ′( p2 , p2 2 ) , l1 , l2 与 y 轴分别交与 F,F'。 4 4

上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为
p1 2 ;

X. 证 明 : M(a,b)

∈ X ? P > P2 ? ? (a, b) = 1

(3)设 D={ (x,y)|y≤x-1,y≥

1 5 (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时,求 ? ( p, q ) 的 4 4

最小值 (记为 ?min )和最大值(记为 ? max ).
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