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数学选修2-2,2-3,4-4综合题


选修 2-2、2-3、4-4 精选复习题
一、选择题 1. 下面是关于复数 z ?
2 的四个命题:其中的真命题为【 ?1 ? i



p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z

的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

2.函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的图象是如图 所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象不经过【 】 ... A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实数 k 的取 值范围【 】 A. ?1, 3 ? 2 ?

3. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙两人所选的课程中恰有一门相同的选法有【 】 A. 6 种 B. 12 种 C.16 种 D. 24 4.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜 色不能相同,则不同的涂色方案共有【 】 A.18 个 B.24 个 C.30 个 D.36 个
n *

?

B. ??, ? 1 2

?

?

C. 3 , ?? 2

?

?

D. 1 , 3 2 2 )

? ?

11. 设点 P 在曲线 y ? 1 e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2 ”时,从
( A) 1 ? ln 2 (B)

5.利用数学归纳法证明 “ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2 ?1? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1), n ? N “ n ? k ”变到“ n ? k ? 1 ”时,左边应增加的因式是【 】 A. 2k ? 1 B. 2k ? 1 k ?1 7.给出下列不等式: C. (2k ? 1)(2k ? 2) k ?1 D.

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

2k ? 3 k ?1

12.定义方程 f ( x) ? f ' ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点”,若函数 g ( x) ? x3 ? 1
h( x) ? 2 x , ? ( x) ? ln( x ? 1) 的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系为【



2 2 2 ①a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b ? 1,则 ab ? a 2 b2 ; ②a, b ? R 且 ab ? 0 ,则 a ? b ≤ ?2 ;

A. ? ? ? ? ?

B. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

D. ? ? ? ? ?

4

ab

a ③ ? b ? 0 ,m>0,则 a ? m ? a ; b?m b
A.① ③ ② B.① ④ ②

④x ? 4 ≥ 4( x ? 0) .其中正确不等式的序号为【 】 x C.① ④ ③ D.② ④ ③

13. 设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最小时 t

8.若函数 f ( x) ? 1 x2 ? b ln( x ? 2) 在 [1, ??) 上是增函数,则 b 的取值范围为【 】 2 A. (??, ?3] 9. 已知函数 f ( x) ? B. [?3, ??) C. (??,3] D. [3, ??) )

2 B. 2 C. 2 D. 1 2 15.若复数 z ? a ? 3i (a ? R, i 是虚数单位) ,且 z 是纯虚数,则 | a ? 2i | 等于 1 ? 2i
的值为【 】A. 16.已知函数 f ( x) ? 切线方程是



1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln( x ? 1) ? x

1 x3 ? 1 (a ? 1 ) x 2 ? x(a ? 0) ,则 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率最大时的 3 2 a .
3

17.若 n ? N * ,n<100,且二项式 ( x 和是
1

? 12 )n 的展开式中存在常数项,则所有满足条件的 n 值的 x



19. 在一次试验中,事件 A 发生的概率为 概率不小于

1 ,若在n次独立重复试验中,事件 A 至少发生一次的 3

66 ,则n的最小值为___________. 81 2 20. 若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? ,则实数 a 的取值范围是 .. x

数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 28.今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以由此计算 出自己每天的碳排放量. 例如家居用电的碳排放量(千克)=耗电度数× 0.785, 汽车的碳排放量(千克)



22. 已知 f ( x) ? a ln x ? 1 x 2 (a ? 0) ,若对任意两个不等的正实数 x1 , x 2 都有 2 恒成立,则 a 的取值范围是 三、解答题

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?2 x1 ? x2

=油耗公升数×0.785 等,某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观 念的调查. 若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” ,这二族人数占各自 小区总人数的比例 P 数据如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

23.已知复数 z 1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i .(1)求复数 z 1 ;(2)若 z 2 为纯虚数, z1 ? (2 ? z2 ) 是实数,求 z 2 .

1 2

1 2

4 5

1 5

24.(本题满分 12 分)学校组织 4 名同学甲、乙、丙、丁去 3 个工厂 A、B、C 进行社会实践 活动,每个同学只能去一个工厂. 【结果全部用数字作答】 (1)问有多少种不同分配方案? (2)若每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案? (3)若同学甲、乙不能去工厂 A,且每个工厂都有同学去,问有多少种不同分配方案?

(1) 如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰好有两人是低碳族的概率; (2)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列,如果两周后随机地 从 A 小区中任选 25 个人,记 ? 表示 25 个人中的低碳族人数,求 E ? .

29.已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R) x ?1

25. (坐标系与参数方程) 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x ? y ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 。
2 2 2 2

9 时如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围 2

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x ) 与 1 的大小 (3)求证 ln(n ? 1) ?

C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 (n ? N * ) 3 5 7 2n ? 1

27. 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 n ? N (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (元)关于当天需求量 n (枝)的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频 数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

30. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x, x ? R . (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x , 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然对数的底数)时,函数 g ( x) 的最
2

小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在说明理由; (3)求证:当 x ? (0, e] 时, e x ?
2

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,
2

5 ? ln x ? ln x . 2 x

一、选择题 1、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z ? z1   2 在复平面上对应的点位于 ( · z )

(1)求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? .

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 从 6 种小麦品种中选出 4 种,分别种植在不同土质的 4 块土地上进行试验,已知 1 号、2 号

12. 考取驾照是一个非常严格的过程,有的人并不能够一次性通过,需要补考.现在有一张某驾校 学员第一次考试结果汇总表,由于保管不善,只残留了如下数据(见下表) :
成绩 性别 男 性 性 计 合 45 30 105 格 不 合 格 10 合 计

小麦品种不能在试验田甲这块地上种植,则不同的种植方法有( A.144 种
2



B.180 种
)

C.240 种

D.300 种

3. 函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是( A. f ?( x) ? 4?x B. f ?( x) ? 4? 2 x )



C. f ?( x) ? 8? 2 x D.

f ?( x) ? 16?x



4.下列值等于 1 的积分是(

(1)完成此表; (2)根据此表判断:是否可以认为性别与考试是否合格有关?如果可以,请问 有多大把握;如果不可以,试说明理由.

A . ? xdx
0

1

B.? ? x ? 1? dx
1 0

C.? 1dx
0

1

D.?

1

0

1 dx 2

5.设随机变量 ? ~ N (0,1) ,记 ?( x) ? P(? ? x) ,则 P(?1 ? ? ? 1) 等于( ) A. 2?(1) ? 1 B. 2?(?1) ? 1 C.

13.已知函数 f ? x ? ?

? 2 ? 1 3 x ? ax ? b 在 y 轴上的截距为 1,且曲线上一点 p ? ? 2 , y0 ? 处的切线斜率 ? 3 ? ?

? (1) ? ? (?1) 2

D. ?(1) ? ?(?1) )



1 .(1)曲线在 P 点处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的极大值和极小值 3

6.函数 y ? x3 ? 2ax ? a 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是(

14.已知函数

f (x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? f ( x) 在 x ? 0 上恒成立.
f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数; x

A. ? 0,3?
二、填空题

B. ? ??,3?

C. ? 0, ?? ?

? 3? D. ? 0, ? ? 2?

(I)求证:函数 g ( x) ?

7.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?, 且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于 8.曲线 y ? x 和曲线 y ?
2

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ;

____

15. 已知函数 f ( x) ?

x 围成一个 叶形图(如图所示阴影

1? x ? ln x (其中 a ? 0 , e ? 2.7 ). ax

部分) ,其面积是______. 9. 抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A: “甲骰子的点数大于 4” ;事件 B: “甲、乙两骰子的点数之和 等于 7” ,则 P ( B | A) 的值等于______.

(Ⅰ)若函数 f (x) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 在 [ , 2 ] 上的最大值和最小值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求证:对于任意大于 1 的正整数 n ,都有 ln n ?

1 2

? 10.已知?x cos? ? 1?5 展开式中x 2的系数与 x ? ? ?

5? 3 cos ? 的展开式中x 的系数相等,则 ? ? _ 4?

4

1 1 1 ? ??? 2 3 n

11.一袋子中装着标有数字 1,2,3 的小球各 2 个,共 6 个球,现从袋子中任取 3 个小球,每个小球被 取出的可能性都相等,用 ? 表示取出的 3 个小球的数字之和,求:
3

1. 复数 z ?

A. ? 1 2.将甲、乙、丙三名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能 分到同一个班,则不同分法的种数为 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 3.已知函数 f ?x ? 为定义在 ?? ?,??? 上的可导函数,且 f ?x ? ? f ?(x) 对于 x ? R 恒成立,且 e 自然 对数的底数,则( )

2 ? 2i ( i 为虚数单位)的虚部等于( (1 ? i) 2 B. 1 C. i D. 2



11.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? 0 , 它的前 n 项和为 S n , S 5 ? 70 , a2 , a7 , a22 成等比数列. 若 且 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

) A. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013 < e 2013 f (0) ) B. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013 > e 2013 f (0) ) C. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013 > e 2013 f (0) ) D. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013 < e 2013 f (0)
4、使得 ? 3 x ?

12、某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位 乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. ) .13.已知函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?


? ?

1 ? ? ? n ? N ? ?的展开式中含有常数项的最小的n为 ( x x?

n

A. 4

B. 5
2

C. 6

D. 7

e?2 x

, g ? x ? ? ax ?

5、设函数 f ? x ? 满足x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ? (A)有极大值,无极小值 (C)既有极大值又有极小值

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? ( x 8

x3 ? 1 ? 2 x cos x.当x ? ?0,1?时, 2

(I)求证: 1-x ? f ? x ? ?

(B)有极小值,无极大值 (D)既无极大值也无极小值

1 ; 1? x

求实数a的 取值范围. (II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,

, 7 6. X ~ N ?,?)2 , x 在 ?1 3? 内取值的概率与在 ? 5,? 内取值的概率相等时,? ? ______ 设 当 (

7.设 f ?x ? ? ?

lg x?????? ? 0 x ? ? a 若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? 2 x , ? x ? ?0 3t dt???? ? 0????? ?
5



8.已知 ?1 ? ax? ? 1 ? 10x ? bx2 ? ? ? a 5 x 5 则 b ?

.

9.若 {an } 是等差数列,m, n, p 是互不相等的正整数, 则有: (m ? n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 , 类比上述性质,相应地,对等比数列 {bn } ,有 .

10.学校为 3 名学生提供甲、乙、丙、丁 4 个不同兴趣小组,每个同学任选其中一个。 1)求 3 个同学选择 3 个不同兴趣小组的概率; 2)求选择甲兴趣小组的人数的数学期望。

4


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