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四川省成都外国语学校2015届高三下学期3月月考数学试卷(理科)


四川省成都外国语学校 2015 届高三下学期 3 月月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1. (5 分)已知全集 U={﹣1,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {﹣1,2,4} D. {﹣1,2,3,4} 2. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z=1+2i+3i 所对应的点落在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. (5 分)如图所示,程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数()
2

A. y=x+1 的图象上 x C. y=2 的图象上

B. y=2x 的图象上 x﹣1 D. y=2 的图象上

4. (5 分) 设 m, n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面, 给出下列条件, 能得到 m⊥β 的是() A. α ⊥β ,m? α B. m⊥α ,α ⊥β C. m⊥n,n? β D. m∥n,n⊥β 5. (5 分)设 k∈R,若关于 x 方程 x ﹣kx+1=0 的二根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 k 的取值范围为() A. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ∞,2)∪( ,+∞) B. (2, ) C. (1,3) D. (﹣
2

6. (5 分)将函数 y=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 ,则 ω 的最小值是() A. B. 1 C.

个单位长度,所得图象经过点

D. 2

-1-

7. (5 分)若 f(x)=﹣ x +blnx 在[1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是() A. [﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,1] D. (﹣∞,﹣1)

2

8. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,

2

2

则该双曲线离心率等于() A. B. C. D.

9. (5 分)定义在(0, (x)tanx 成立,则() A. ( f( ) )> f( D.

)上的函数 f(x) ,f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′

) f( )<f(

B. f(1)<2f( )

)sin1 C.

f(

)>f

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a>0,则 abcd 的取值范围是() A. (16,21) B. (16,24) C. (17,21) D. (18,24)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. ) 11. (5 分)函数 的定义域是.

12. (5 分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点) ,则多

面体 F﹣MNB 的体积= 13. (5 分)体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个箱子放球 的个数不少于其编号,则不同的放球方法有种.

-2-

14. (5 分)如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界) 任意一点,则 的取值范围是.

15. (5 分)在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的, 我们在平面向量集 D={ | =(x,y) ,x∈R,y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系,记 为“?”.定义如下:对于任意两个向量 =(x1,y1) , =(x2,y2) , ? 当且仅当“x1

>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”.按上述定义的关系“?”,给出如下四个命题: ①若 ②若 ③若 =(1,0) , > > , > =(0,1) , =(0,0) ,则 ,则 > ; + )>( > + ) ; > ? . ? ? ;

,则对于任意 ∈D, (

④对于任意向量 > , =(0,0)若 其中真命题的序号为.

,则 ?

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx﹣1 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 的形状. 17. (12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn 为数列{ }的前 n 项和, 若 Tn≤λ an+1 对? n∈N 恒成立, 求实数 λ 的最小值.
*

且 c =ab,试判断△ABC

2

18. (12 分)某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55] 岁的人群随机抽取了 1000 人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图,同时对这 1000 人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表. 组数 分组 抢购商店的人数 占本组的频率 第一组 [25,30] 120 0.6

-3-

第二组 (30,35] 195 p 第三组 (35,40] 100 0.5 第四组 (40,45] a 0.4 第五组 (45,50] 30 0.3 第六组 (50,55] 15 0.3 (Ⅰ)求统计表中 a 和 p 的值; (Ⅱ)从年龄落在(40,50]内的参加“抢购商品”的人群中,采用分层抽样法抽取 9 人参加 满意度调查,①设从年龄落在(40,45]和(45,50]中抽取的人数分别为 m、n,求 m 和 n 的 值;②在抽取的 9 人中,有 3 人感到“满意”的 3 人中年龄在(40,45]内的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X) .

19. (12 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD= BC, ∠ABC=60°, N 是 BC 的中点. 将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图) . (Ⅰ)求证:AC⊥平面 ABC′; (Ⅱ)求证:C′N∥平面 ADD′; (Ⅲ)求二面角 A﹣C′N﹣C 的余弦值.

20. (13 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) , (Ⅰ)求抛物线的标准方程; 2 2 (Ⅱ)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=kx+t 交抛物线于不同的两点 M,N,若抛物线上一 点 C 满足 (λ >0) ,求 λ 的取值范围.

-4-

21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (1)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 3x x (2)在(1)的条件下,且 a>1,h(x)=e ﹣3ae ,x∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; 2 (3)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣k(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) ,且 满足 2x0=m+n,问:函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切 线方程,若不能,请说明理由.

2

四川省成都外国语学校 2015 届高三下学期 3 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1. (5 分)已知全集 U={﹣1,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {﹣1,2,4} D. {﹣1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用补集运算求出?UA,然后直接利用交集运算求解. 解答: 解:因为集合 A={1,2,3},U={﹣1,1,2,3,4}, 所以?UA={﹣1,4},所以(?UA)∪B={﹣1,4}∪{2,4}={﹣1,2,4}. 故选 C. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础的概念题. 2. (5 分)已知 i 是虚数单位,则复数 z=1+2i+3i 所对应的点落在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 2 分析: 根据 复数 z=1+2i+3i =﹣2+2i,复平面内的对应的点为(﹣2,2) ,得出结论. 2 解答: 解:复数 z=1+2i+3i =﹣2+2i,复平面内的对应的点为(﹣2,2) , 故选 B.
2

-5-

点评: 本题考查两个复数代数形式的乘法,复数与复平面内对应点之间的关系,是一道基 础题. 3. (5 分)如图所示,程序框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数()

A. y=x+1 的图象上 x C. y=2 的图象上

B. y=2x 的图象上 x﹣1 D. y=2 的图象上

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 依程序框图可知输出的点为(1,1) 、 (2,2) 、 (3,4) ,只要验证即可选出答案. 解答: 解:依程序框图可知输出的点为(1,1) 、 (2,2) 、 (3,4) ,经验证可知四个点皆满 x﹣1 足 y=2 , 故选 D. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题 的关键,属于基本知识的考查. 4. (5 分) 设 m, n 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面, 给出下列条件, 能得到 m⊥β 的是() A. α ⊥β ,m? α B. m⊥α ,α ⊥β C. m⊥n,n? β D. m∥n,n⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据选项 A,B,C,D 所给的条件,分别进行判断,能够得到正确结果. 解答: 解:A:α ⊥β ,且 m? α ? m? β ,或 m∥β ,或 m 与 β 相交,故 A 不成立; B:由 m⊥α ,α ⊥β ,知 m∥β 或 m? β ,从而 m⊥β 不成立,故 B 不成立; C:m⊥n,n? β ? m? β ,或 m∥β ,或 m 与 β 相交,故 C 不成立; D:m∥n,且 n⊥β ? m⊥β ,故 D 成立; 故选 D. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 5. (5 分)设 k∈R,若关于 x 方程 x ﹣kx+1=0 的二根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 k 的取值范围为()
2

-6-

A. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ∞,2)∪( ,+∞)

B. (2, )

C. (1,3) D. (﹣

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 根据方程 x ﹣kx+1=0 的两根分别在(0,1)和(1,2)内,则函数 f(x)=x ﹣kx+1=0 在(0,1)与(1,2)内各有一个零点,由此构造关于 k 的不等式,解不等式组即可得到实数 k 的取值范围. 2 解答: 解:∵方程 x ﹣kx+1=0 的两根分别在(0,1)和(1,2)内, 2 ∴函数 x ﹣kx+1=0 在(0,1)与(1,2)内各有一个零点 则 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0 即 1>0,2﹣k<0,5﹣2k>0 解得 2<k< 故选:B. 点评: 本题考查二次函数的性质及方程的根与零点零点的关系,本题解题的关键是将一元 二次方程的实根分布问题转化为确定函数的零点问题,本题是一个中档题目. 6. (5 分)将函数 y=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 ,则 ω 的最小值是() A. B. 1 C. D. 2

个单位长度,所得图象经过点

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 图象变换后所得图象对应的函数为 y=sinω (x﹣ 可得 sinω ( 值. 解答: 解:将函数 y=sinω x(其中 ω >0)的图象向右平移 的函数为 y=sinω (x﹣ 再由所得图象经过点 k∈z. 故 ω 的最小值是 2, 故选 D. ) . 可得 sinω ( ﹣ )=sin(ω )=0,∴ω ? =kπ , 个单位长度,所得图象对应 ﹣ )=sin(ω ) ,再由所得图象经过点 =kπ ,由此求得 ω 的最小

)=0,故 ω ?

-7-

点评: 本题主要考查 y=Asin(ω x+?)的图象变换,以及由 y=Asin(ω x+?)的部分图象求 函数解析式,属于中档题.
2

7. (5 分)若 f(x)=﹣ x +blnx 在[1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是() A. [﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,1] D. (﹣∞,﹣1)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求 f′(x) ,要让 f(x)在[1,+∞)是减函数,只要 f′(x)<0,所以讨论 b 的取值,通过观察所求的导函数,分 b≤0,b>0,两种情况进行讨论,对于 b 大于 0 的情况, 求出 f(x)的单调减区间,让区间[1,+∞)含于所求单调减区间即可求得 b 的取值. 解答: 解:f′(x)= ,所以:

b≤0 时,对于 x∈(0,+∞) ,f′(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上是减函数; b>0 时, ∵x>0, ∴解 得 x> , 即函数 f (x) 在[ , +∞) 上是减函数, ∴ ,

∴0<b≤1. 综上可得 b 的取值范围是(﹣∞,1]. 故选 C. 点评: 考查利用导数判断函数的单调性,求函数的单调区间,本题需注意的是,求得 f(x) 在 上单调递减后,需限制它包含区间[1,+∞) ,从而得出 b 的取值范围.

8. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,

2

2

则该双曲线离心率等于() A. B. C. D.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: 先将圆的方程化为标准方程,再根据双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的两条渐近线

均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可建立几何量之间的关系, 从而可求双曲线离心率. 解答: 解:双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±
2 2

,即 bx±ay=0

圆 C:x +y ﹣6x+5=0 化为标准方程(x﹣3) +y =4 ∴C(3,0) ,半径为 2

-8-

∵双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切

2

2

∴ ∴9b =4b +4a 2 2 ∴5b =4a 2 2 2 ∵b =c ﹣a 2 2 2 ∴5(c ﹣a )=4a 2 2 ∴9a =5c ∴ =
2 2 2

∴双曲线离心率等于 故选:A. 点评: 本题以双曲线方程与圆的方程为载体,考查直线与圆相切,考查双曲线的几何性质, 解题的关键是利用直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.

9. (5 分)定义在(0, (x)tanx 成立,则() A. ( f( ) )> f( D.

)上的函数 f(x) ,f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′

) f( )<f(

B. f(1)<2f( )

)sin1 C.

f(

)>f

考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 把给出的等式变形得到 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数 g(x) = (0, ,由其导函数的符号得到其在 )上为增函数,则 ,整理后即可得到答案. ) ,所以 sinx>0,cosx>0.

解答: 解:因为 x∈(0,

由 f(x)<f′(x)tanx,得 f(x)cosx<f′(x)sinx. 即 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0. 令 g(x)= x∈(0, ) ,则 .

所以函数 g(x)=

在 x∈(0,

)上为增函数,

-9-



,即

,所以







故选 D. 点评: 本题考查了导数的运算法则,考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性,考 查了函数构造法,属中档题型.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a>0,则 abcd 的取值范围是() A. (16,21) B. (16,24) C. (17,21) D. (18,24) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 根据图象可判断: ,1<b<2,2<c<4,6<d<8,

当直线 y=t,0<t<4,可以有 4 个交点,通过图象运动可以判断 1×1×4×6=24, =16,直线越往上走 abcd 的积越小,越往下 abcd 的积越大,即可求出答案. 解答: 解:若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)=f(b)=f(c)=f(d) ,其中 d>c>b>a >0 根据图象可判断: ,1<b<2,2<c<4,6<d<8,

当直线 y=t,0<t<4,可以有 4 个交点,把直线向上平移,向下平移,可判断:直线越往上 走 abcd 的积越小,越往下 abcd 的积越大, 当 t=0 时 1×1×4×6=24,当 t=4 时, 故选:B =16,abcd 的取值范围是(16,24) ,

- 10 -

点评: 本题综合考查了函数图象的运用,求解两个图象的交点问题,运用动的观点解决, 理解好题意是解题关键. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. ) 11. (5 分)函数 的定义域是 .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得 tanx≤1,根据正切函数的定义域和单调性,可得 kπ ﹣ k∈z,即为函数的定义域. 解答: 解:由题意得 1﹣tanx≥0,∴tanx≤1, 又 tanx 的定义域为(kπ ﹣ ∴kπ ﹣ <x≤kπ + ,kπ + ) ,k∈z <x≤kπ + ,

,k∈z, .

故答案为:

点评: 本题考查正切函数的定义域和值域、单调性,求得 1﹣tanx≥0 是解题的突破口.

- 11 -

12. (5 分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点) ,则多

面体 F﹣MNB 的体积=

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知,该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱 ADE﹣BCF, 将多面体 F﹣MNB 的体积转化为三棱锥 M﹣BNF, 又利用三棱锥 M﹣MNB 与三棱锥 A﹣BCF 的体积 关系求解. 解答: 解:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE﹣BCF,

且 AB=BC=BF=4,DE=CF=4

,∠CBF=



连接 BM,FN,∵M、N 分别是 AF、BC 的中点, ∴VM﹣BNF= VM﹣BCF= × VA﹣BCF= × × ×BF×BC×AB= . 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积问题,考查了学生空间想象能力,转化、运算 能力. 13. (5 分)体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个箱子放球 的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 10 种. 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 首先在三个箱子中放入要求的个数,下面是一个分类计数问题,可以在每一个箱子 2 中放一个,有 1 种结果,可以把球分成两份,这两份在三个位置排列,有 A3 种结果,可以把 三个球都放到一个箱子中,有 3 种结果,相加得到结果. 解答: 解:首先在三个箱子中放入要求的个数,即向 1 号箱子里放 1 个,2 号放 2 个,3 号 放3个 这样剩下三个足球,这三个足球可以随意放置, 下面是一个分类计数问题, 第一种方法,按 1﹣1﹣1 分,可以在每一个箱子中放一个,有 1 种结果,

- 12 -

第二种方法,按 0﹣1﹣2 分,可以把球分成两份,1 和 2,这两份在三个位置排列,有 A3 =6 种结果 第三种方法,按 0﹣0﹣3 分,可以把三个球都放到一个箱子中,有 3 种结果, 综上可知共有 1+6+3=10 种结果, 故答案为:10. 点评: 本题考查分类计数问题,在解题时注意首先要满足条件中的要求,再注意余下的元 素所有可能符合的条件,注意做到不重不漏. 14. (5 分)如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界) 任意一点,则 的取值范围是[0,6].

2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 以 A 为坐标原点,以 AB 方向为 x 轴正方向,在平面内建立合适的坐标系,将向量的 数量积用坐标表示,再利用线性规划方法解决问题.求出数量积的范围. 解答: 解:以 A 为坐标原点,以 AB 方向为 x 轴正方向, 以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系,则 设 N 点坐标为(x,y) ,则 令 Z= =2x+y. =(2,1)

=(x,y) ,则 0≤x≤2,0≤y≤2

将 A,B,C,D 四点坐标依次代入得: ZA=0,ZB=4,ZC=6,ZD=2 故 Z= 的最大值为 6,最小值为 0, 的取值范围是[0,6]. 故答案为:[0,6].

- 13 -

点评: 向量的主要功能就是数形结合,将几何问题转化为代数问题,但关键是建立合适的 坐标系,将向量用坐标表示,再将数量积运算转化为方程或函数问题. 15. (5 分)在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的, 我们在平面向量集 D={ | =(x,y) ,x∈R,y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系,记 为“?”.定义如下:对于任意两个向量 =(x1,y1) , =(x2,y2) , ? 当且仅当“x1

>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”.按上述定义的关系“?”,给出如下四个命题: ①若 ②若 ③若 =(1,0) , > > , > =(0,1) , =(0,0) ,则 ,则 > ; + )>( > + ) ; > ? . ? ? ;

,则对于任意 ∈D, (

④对于任意向量 > , =(0,0)若 其中真命题的序号为①②③. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件中, ?

,则 ?

当且仅当“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”.按上述定义的关

系“?”,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:对于任意两个向量 或“x1=x2 且 y1>y2”, 对于①,若 =(1,0) , =(0,1) , =(0,0) ,则 =(x2,y2) , ,且 ? , ,故①正确. ? , =(x1,y1) , =(x2,y2) , ? 当且仅当“x1>x2”

对于②,设向量

=(x1,y1) ,

=(x3,y3) ,若

则有“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”,“x2>x3”或“x2=x3 且 y2>y3”. 故有“x1>x3”或“x1=x3 且 y1>y3”.故有 对于③,若 ? ? . =(x1,y1) , =(x2,y2) ,

,则对于任意 ∈D,设 =(x,y) ,

∵“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”,∴“x+x1>x+x2”或“x+x1=x+x2 且 y+y1>y+y2”, ∴( + )?( + ) ,故③正确. =(x1,y1) , =(x2,y2) ,

对于④,设设 =(x,y) ,

由 ? ,得“x>0”或“x=0 且 y>0”; 由 ? ,得“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”;
- 14 -

可得“x=0 且 y>0”且“x1>x2 且 y1<y2”,故有“xx1=xx2 且 yy1<yy2”, 所以 ? 不成立,所以④不正确,

故答案为:①②③. 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了新定义“?”,正确理解新定义“?”的实质, 是解答的关键,属于中档题. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx﹣1 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 的形状. 考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数 f(x)的解析式为 此求得它的最小正周期. (Ⅱ)由 ,求出 ,可得 C 的值,再由余弦定 ,由 且 c =ab,试判断△ABC
2

理求得 a=b,从而判断三角形为等边三角形. 解答: (Ⅰ) = 故函数的最小周期为 (Ⅱ)因为 因为 0<C<π ,所以, 所以
2 2 2

= = .?(7 分) ,所以 ,?(8 分) .?(9 分)
2 2

?(4 分)

,?(6 分)



,所以

∵c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=ab,?(11 分) 整理得 a=b,?(12 分) 所以 三角形 ABC 为等边三角形. ?(13 分) 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性、定义域和值域,根据三角 函数的值求角,以及余弦定理,属于中档题. 17. (12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn 为数列{ }的前 n 项和, 若 Tn≤λ an+1 对? n∈N 恒成立, 求实数 λ 的最小值.
*

- 15 -

考点: 等差数列的通项公式;数列的求和;等比数列的性质. 专题: 综合题. 分析: (I)设出此等差数列的公差为 d,根据等差数列的前 n 项和公式化简 S4=14 得到关 于首项和公差的关系式,又 a1,a3,a7 成等比数列,根据等比数列的性质得到关于首项和公差 的另一关系式,两关系式联立即可求出首项和公差,根据首项和公差写出等差数列{an}的通项 公式即可; (II) 把 (I) 中求出的数列{an}的通项公式代入数列中, 根据 ﹣ =

,列举出数列的前 n 项和的每一项,抵消后得到 Tn 的通项公式,将求出的 Tn 的通项公

式和 an+1 的通项公式代入已知的不等式中,解出 λ 大于等于一个关系式,利用基本不等式求 出这个关系式的最大值,即可得到实数 λ 的最小值. 解答: 解: (I)设公差为 d,由已知得: ,





解得:d=1 或 d=0(舍去) , ∴a1=2, 故 an=2+(n﹣1)=n+1; (II)∵ = ﹣ = = ﹣ ﹣ = , , ? n∈N 恒成立,
*

∴Tn= ﹣ + ﹣ +?+
*

∵Tn≤λ an+1 对? n∈N 恒成立,即

≤λ (n+2) ,λ ≥



=



=



∴λ 的最小值为



点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值,掌握等比数 列的性质,掌握不等式恒成立时满足的条件,会利用基本不等式求函数的最小值,是一道中档 题.学生在求数列{ }的前 n 项和时,注意利用 = ﹣ .

18. (12 分)某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55] 岁的人群随机抽取了 1000 人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图,同时对这 1000 人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表. 组数 分组 抢购商店的人数 占本组的频率 第一组 [25,30] 120 0.6

- 16 -

第二组 (30,35] 195 p 第三组 (35,40] 100 0.5 第四组 (40,45] a 0.4 第五组 (45,50] 30 0.3 第六组 (50,55] 15 0.3 (Ⅰ)求统计表中 a 和 p 的值; (Ⅱ)从年龄落在(40,50]内的参加“抢购商品”的人群中,采用分层抽样法抽取 9 人参加 满意度调查,①设从年龄落在(40,45]和(45,50]中抽取的人数分别为 m、n,求 m 和 n 的 值;②在抽取的 9 人中,有 3 人感到“满意”的 3 人中年龄在(40,45]内的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X) .

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出年龄在[40,45)的人数为 150 人,由此能求出 a 和 p 的值. (Ⅱ)①依题利用分层抽样法能求出 m,n. ②由题意 X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和 E(X) . 解答: 解: (Ⅰ)解: (Ⅰ)因为总人数为 1000 人, 所以年龄在[40,45)的人数为 1000×5×0.03=150 人, 所以 a=150×0.4=60, 因为年龄在[30,35)的人数的频率为 1﹣5×(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)=0.3, 所以年龄在[30,35)的人数为 1000×0.3=300 人, 所以 p= =0.65.?(6 分) =6 人,

(Ⅱ)①依题抽取年龄在[40,45)之间的人数 m= 抽取年龄在[45,50)之间的人数 n=9× =3 人,

由题设知 X=0,1,2,3, P(X=0) ,P(X=1) ,P(X=2) ,P(X=3) ,由此能求出 X 的分布列和 E(X) .依题利用分层抽样 法能求出 m,n. ②由题意 X=0,1,2,3, P(X=0)= = ,

- 17 -

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



P(X=3)=

=



所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 所以 E(X)=0× +1×

3

+2×

+3×

=2.?(12 分)

点评: 本题主要考查频率分布直方图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力.

19. (12 分) 在等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD= BC, ∠ABC=60°, N 是 BC 的中点. 将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图) . (Ⅰ)求证:AC⊥平面 ABC′; (Ⅱ)求证:C′N∥平面 ADD′; (Ⅲ)求二面角 A﹣C′N﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由梯形的性质和 N 是 BC 的中点可得四边形 ANCD 是平行四边形,得到 AN=DC; 利用等腰梯形可得 AN=AB,又∠ABC=60°,得到△ABN 是等边三角形,于是 AN=BN=NC,由出可 得△ABC 是直角三角形,即 AC⊥AB,再利用面面垂直的性质即可得到结论; ′ ′ (Ⅱ)由已知可得:AD∥BC,AD ∥BC ,利用面面平行的判定定理即可得出; (Ⅲ)如图所示的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用法向量的夹角即可得到二面 角的一余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵ ,N 是 BC 的中点,

∴AD=NC,又 AD∥BC, ∴四边形 ANCD 是平行四边形,∴AN=DC.

- 18 -

又∵等腰梯形,∴AN=AB. 又∠ABC=60°, ∴△ABN 是等边三角形. ∴ ,

∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°. ∴AC⊥AB. ′ ∵平面 C BA⊥平面 ABC, ′ ∴AC⊥平面 ABC . ′ ′ (Ⅱ)证明:∵AD∥BC,AD ∥BC , ′ ′ AD ∩AD=A,BC∩BC =B, ′ ′ ∴平面 ADD ∥平面 BCC , ′ ′ ∴C N∥平面 ADD . ′ (Ⅲ)∵AC⊥平面 ABC , ′ 同理 AC ⊥平面 ABC,建立如图如示坐标系 设 AB=1, 则 B(1,0,0) ,C 则 设平面 C NC 的法向量为


, , ,

, .





,即



令 z=1,则 x=


,y=1,得




∵AC ⊥平面 ABC,∴平面 C AN⊥平面 ABC. ′ 又 BD⊥AN,平面 C AN∩平面 ABC=AN, ′ ∴BD⊥平面 C AN, 设 BD 与 AN 交于点 O,O 则为 AN 的中点,O 所以平面 C AN 的法向量


. .



=




由图形可知二面角 A﹣C N﹣C 为钝角. 所以二面角 A﹣C N﹣C 的余弦值为




- 19 -

点评: 熟练掌握等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形及直角三角形的 判定与性质、 面面垂直与平行的判定及性质、 通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求空 间角是解题的关键. 20. (13 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) , (Ⅰ)求抛物线的标准方程; 2 2 (Ⅱ)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=kx+t 交抛物线于不同的两点 M,N,若抛物线上一 点 C 满足 (λ >0) ,求 λ 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 分析: (Ⅰ) 设抛物线方程为 x =2py,把点(2,1)代入求得 p 即可; (II) 因为直线与圆相切,利用相切的性质即可得出 k 与 t 的关系式,再把直线的方程与抛 物线的方程联立得到关于 x 的一元二次方程,利用判别式△>0 得到 t 的取值范围,利用根与 系数的关系及已知满足
2

(λ >0) ,即可得出 λ 的取值范围.

解答: 解(Ⅰ) 设抛物线方程为 x =2py, 2 由已知得:2 =2p 所以 p=2 2 所以抛物线的标准方程为 x =4y. (Ⅱ) 因为直线与圆相切, 所以 把直线方程代入抛物线方程并整理得:x ﹣4kx﹣4t=0 2 2 由△=16k +16t=16(t +2t)+16t>0
2

- 20 -

得 t>0 或 t<﹣3 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 x1+x2=4k 由 得 C(4kλ , (4k +2t)λ ) 2 因为点 C 在抛物线 x =4y 上, 所以,16k λ =4(4k +2t)λ 因为 t>0 或 t<﹣3, 所以 2t+4>4 或 2t+4<﹣2 所以 λ 的取值范围为 .
2 2 2 2

点评: 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基 础知识,考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (1)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 3x x (2)在(1)的条件下,且 a>1,h(x)=e ﹣3ae ,x∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; 2 (3)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣k(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) ,且 满足 2x0=m+n,问:函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切 线方程,若不能,请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 计算题;分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出 g(x)的导数,函数 g(x)=f(x)﹣ax 在定义域内为增函数即为 g′(x) ≥0,x>0 恒成立,运用分离参数,运用基本不等式求得函数的最小值即可; x 3 (2)令 e =t,则 t∈[1,2],则 h(x)=H(t)=t ﹣3at,求出 H′(t) ,由 H′(t)=0,得 t= ,讨论①若 1<t ,②若 <t≤2,函数的单调性,即可得到极小值; (3)即证是否存在 =0,所以即证是否存在 ,使 F'(x0)=0,因为 x>0 时 y=F'(x)单调递减,且 F'(1) 使 x0=1.即证是否存在 m,n 使 m=2﹣n.求 F(x)的导数,求
2

- 21 -

得单调区间,构造函数 G(x)=F(x)﹣F(2﹣x) ,其中 0<x<1,求出导数,求得单调性, 运用单调性即可得证. 解答: 解: (1)g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x ﹣ax,g′(x)= +2x﹣a 由题意,知 g′(x)≥0,x>0 恒成立,即 a≤(2x+ )min. 又 x>0,2x+ 故(2x+ )min=2 ,当且仅当 x= ,所以 a . ,令 e =t,则 t∈[1,2],则 h(x)=H(t)=t ﹣3at ) (t ) ,由 H′(t)=0,得 t= , ],
x 3 2

时等号成立.

(2)由(Ⅰ)知,1<a 2 H′(t)=3t ﹣3a=3(t﹣ 由于 1<a ,则

∈[1,

①若 1<t ,则 H′(t)<0,H(t)单调递减;h(x)在(0,ln ]也单调递减; ②若 <t≤2,则 H′(t)>0,H(t)单调递增.h(x)在[ln ,ln2]也单调递增; 故 h(x)的极小值为 h(ln )=﹣2a . (3)即证是否存在 ,使 F'(x0)=0,

因为 x>0 时 y=F'(x)单调递减,且 F'(1)=0, 所以即证是否存在
2

使 x0=1.即证是否存在 m,n 使 m=2﹣n. x、F'(x) 、F(x)

证明:F(x)=2lnx﹣x ﹣k.

的变化如下: x (0,1) 1 (1,+∞) F'(x) + 0 ﹣ F(x) ↗ ↘ 即 y=F(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减. 又 F(m)=F(n)=0 且 0<m<n 所以 0<m<1<n. 构造函数 G(x)=F(x)﹣F(2﹣x) ,其中 0<x<1, 2 2 即 G(x)=(2lnx﹣x )﹣[2ln(2﹣x)﹣(2﹣x) ]=2lnx﹣2ln(2﹣x)﹣4x+4, = ,当且仅当 x=1 时 G'(x)=0,

故 y=G(x)在(0,1)单调增,所以 G(x)<G(1)=0. 所以 0<x<1 时,F(x)<F(2﹣x) .又 0<m<1<n, 所以 F(m)<F(2﹣m) ,所以 F(n)=F(m)<F(2﹣m) . 因为 n、2﹣m∈(1,+∞) ,所以根据 y=F(x)的单调性知 n>2﹣m,即 又 在 (0, +∞) 单调递减, 所以 . .

即函数 F(x)在(x0,F(x0) )处的切线不能平行于 x 轴.

- 22 -

点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程和极值、最值,考查分类讨论的思想方法, 以及构造函数求导数,运用单调性解题,考查运算能力,属于中档题.

- 23 -


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