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[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测2


考点-2

函数 (一)

函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域 1 . ( 典 型 例 题 ) 对 定 义 域 Df 、 Dg 的

函 数 y=f(x) , y=g(x) , 规 定 : 函 数
? f ( x) ? g ( x) ? h(x)= ? ? f ( x) ? ? g ( x) ? 当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g
2 1 ,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(1)若函数 f(x)=

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域. [考场错解] (1)∵f(x)的定义域 Df 为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)的定义域 Dg 为 R.∴
? x2 ? ? x ?1 ? 1 h(x)= ? ? x ?1 ?1 ? ? x ? (?? ,1) ? (1,?? ) ( x ? 1) ( x ? 1)

(2)当 x≠1 时,h(x)=

x2 1 1 =x-1+ +2≥4.或 h(x)= ∈(-∞,0)∪(0,+∞). ∴ x ?1 x ?1 x ?1

h(x)的值域为(4,+∞),当 x=1 时,h(x)=1.综合,得 h(x)的值域为{1}∪[4,+∞]. [专家把脉] 以上解答有两处错误:一是当 x∈Df 但 x ? Dg 时,应是空集而不是 x≠1.二 是求 h(x)的值域时,由 x≠1 求 h(x)=x-1+ [对症下药]
1 +2 的值域应分 x>1 和 x<1 两种情况的讨论. x ?1

(1)∵f(x)的定义域 Df=(-∞,1)∪(1,+∞)·g(x)的定义域是 Dg=(-∞,+
x ? (??,1) ? (1,?? ). x ? 1.

? x2 , ∞).所以,h(x)= ? ? x ?1 ?1, ?

(2)当 x≠1 时,h(x)=

x2 x2 ?1?1 1 = =x-1+ +2. x ?1 x ?1 x ?1
1 +2=4. x ?1

若 x>1,则 x-1>0,∴h(x)≥2 ( x ? 1) 当且仅当 x=2 时等号成立.

若 x<1,则 x-1<0.∴h(x)=-[-(x-1)当 x=1 时,h(x)=1.

1 ]+2≤-2+2=0.当且仅当 x=0 时等号成立. x ?1

-1-

综上,得 h(x)的值域为(-∞,0)∪{1}∪[4,+∞]. 2. (典型例题)记函数 f(x)= 2 ?
x?3 的定义域为 A, g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定 x ?1

义域为 B. (1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [考场错解] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. x?3 x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0 得(x-a-1)(x-2a)<0 当 a=1 时,B=? .∴B ? A. 当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1), ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1.即 a≥ 或 a≤-2 而 a≤1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2. 故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. [专家把脉] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合,所以错解中 a=1 时 B= ?,说明 函数不存在,因此 a=1 不适合. [对症下药] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0, x?3 x ?1
1 2

1 2

1 2

∴x<-1 或 x≥1.即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. (2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0, 当 a=1 时,B= ?,∵定义域为非空集合,∴a≠1.当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1), ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a ≤-2.而 a<1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2,
1 2 1 2

故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 3. (典型例题)记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M, 函数 g(x)= 1 ? 合 N.求 (1) 集合 M,N; (2) 集合 M∩N.M∪N. [考场错解] (1)由 2x-3>0 解得 x> . ∴M={x|x> }. 由 13 2 3 2
2 ≥0 得 x-1≤x-3∴-1 x ?1
2 的定义域为集 ?1

1 2

≤-3.∴N= ?. (2)∴M∩N=?.M∪N={x|x> }. [专家把脉] 求集合 N 时解不等式 12 ≥0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向,不符 x ?1

3 2

合不等式性质,应先移项化为

f ( x) ≥0 的形式再转化为有理不等式,求解,另外定义域不可能 g ( x)

为非空集合.∴N=? 显然是错误的.

-2-

[对症下药]

(1) 由 2x-3 > 0 , 得 x >

2 3 3 . ∴ M={x|x > } . 由 1≥0 得 x ?1 2 2

?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 x?3 ?0?? x ?1 ?x ? 1

∴x≥3 或 x<1.∴N={x|x≥3 或 x<1}. (2) ∴ M ∩ N={x|x> x>1}={x|x> 或 x<1}. 4.(典型例题)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= x ? 1 },则 M∩P 等于 A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} [考场错解] 选 A 或 B [专家把脉] 的值域的交集. [对症下药]
-x -x

3 3 } ∩ {x|x ≥ 3 或 x>1}={x|x ≥ 3} . M ∪ N={x|x> } ∪ {x|x ≥ 3 或 2 2

3 2

(

)

错误地认为是求函数 y=2 和 y= x ? 1 的定义域的交集.实际上是求两函数

-x

∵集合中的代表元素为 y,∴两集合表示两函数的值域,又∴

M={y|y=2 }={y|y>0},P={y|y= x ? 1 }={y|y≥0}.∴M∩P={y|y>0},故选 C. 专家会诊 1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围,必须对字母酌 取值情况进行讨论,特别注意定义域不能 为空集。2.求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制 约作用. 考场思维训练 x 1 若函数 y=lg(4-a·2 )的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 ( )

A.(0,+∞) C.(-∞,2)

B.(0,2) D.(-∞,0)
4 2
x

答案:D 解析:∵4-a ? 2x ? 0的解集为R ? a ?

在R上恒成立 .

4 2x

? 0,? a ? 0.

2 已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为 ( ) A.[-4,1] B.[0,5] C.[-4,1]∪[0,5] D.[-2,3] 答案:D 解析:f(x-2)的图象是把 f(x)的图象向右平移 2 个单位.因此 f(x-2)的值域不变. 2 3 已知函数 f(x)=lg(x -2mx+m+2) (1)若该函数的定义域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:解析:(1)由题设,得不等式 x -2mx+m+2>0 对一切实数 x 恒成立, 2 ∴△=(-2m) -4(m+2)<0,解得-1<m<2. (2)若该函数的值域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:由题设,得不等式△=(-2m) -4(m+2) ≥0 解得 m≤1 或 m≥2.

-3-

4

2 已知函数 f(x)=log3 mx ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求实数 m,n 的值.

x2 ?1

2 mx 2 ? 8 x ? n 8x ? n 答案:解析:∵f(x)=log3 mx ? 的值域是[0,2]. ∴u=g(x)= 的值域为[1,9]. 2 2

x ?1
2

x ?1

由 u=

mx ? 8 x ? n x ?1
2

2

得( u-m ) x -8x+(u-n)=0. ∵ x ? R,当u ? m ? 0时, ? ? (?8)2 ? 4(u ? m)(u ? n) ? 0. 当
2

u-m=0 时上式仍成立,即有 u -(m+n)u+(mn-16) ≤0. ∴关于 u 的方程 u -(m+n)u+mn-16=0 有两根 1 和 9,由韦达定理得 ?
2

?m ? n ? 1 ? 9 解得 m=n=5.即 ?mn ? 16 ? 1 ? 9

为所求。 命题角度 2 函数单调性的应用 2 x 1.(典型例题Ⅱ)已知 a≥0,且函数 f(x)=(x -2ax)e 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取 值范围. x 2 x x 2 [ 考场错解 ] ∵ f ′ (x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] 又∵f(x) 在 [-1, 1] 上是单调函数,f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立.即 x 2 e [x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0,g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. 即?
? 2(1 ? a ) ? 2(1 ? a ) ? ?1 ?1 2 ?? ?? 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? 2 2 ? g ( ?1) ? 0 ? g (1) ? 0. ? ?

解得:a∈?. 故 f(x)在[-1,1]上不可能为单调函数. [专家把脉] 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数,其实 f(x)还有 可能为单调减函数,因此应令 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 x x 2 [对症下药] f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1,1]上是单调函数. (1)若 f(x)在[-1,1]上是单调递增函数. x 2 x 则 f′(x)≥0 在[-1, 1]上恒成立, 即 e [x +2(1-a)x-2a]≥0 在[-1, 1]上恒成立. ∵e >0. ∴ g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立,则有 ?
2

?a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ?1 2 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? g ( ? 1 ) ? 0 ? g (1) ? 0 ?

解得,a∈?. (2)若 f(x)在[-1,1]上是单调递减函数, 则 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∴e [x +2(1-a)x-2a]≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0.∴h(x)=x +2(1-a)x-2a≤0 在[-1,1]上恒成立. 则有 ?
?h(?1) ? 0 ??1 ? 0 3 ?? ?a ? . h ( 1 ) ? 0 3 ? 4 a ? 0 4 ? ?

∴当 a∈[ ,+∞]时,f(x)在[-1,1]上是单调函数. 2.(典型例题)已知函数 f(x)=a +
x

3 4

x?2 (a>1) x ?1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.

-4-

[考场错解]

(1)设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=a +

x2

x2 ? 2 x ?2 x ? 2 x1 ? 2 x2 x1 ? a x1 ? 1 ? a -a + 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

>0. ∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. (2)设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根,则有 a + ∵x0≠-1,∴当-1<x0<0 时,0<x0+1<1.
x0

x0 ? 2 x0 2 ? x 0 3 =0.即 a = =-1+ , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



x0 3 3 1 >3,-1+ >2,而 <a <1 1 ? x0 1 ? x0 a

与①矛盾.

∴原方程没有负数根. [专家把脉] 第(1)问错在用定义证明函数单调性时,没有真正地证明 f(x2)>f(x1).而只 是象征性地令 f(x2)-f(x1)>0 这是许多学生解这类题的一个通病.第(2)问错在把第(1)问的 条件当成第(2)问的条件,因而除了上述证明外,还需证明 x0<-1 时,方程也没有负根. [对症下药] (1) 设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=a + a -a +
x2 x1 x2

x2 ? 2 x ?2 = ? a x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x ? 1)( x2 ? 2) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) x1 x2-x1 x1 x2-x1 =a (a -1)+ 1 =a (a )+ . ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

∵x2-x1>0,又 a>1, x2-x1 ∴a >1.而-1<x1<x2.∴x1+1>0,x2+1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0 ∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根, 则有 a + 显然 x0≠-1, 当 0>x0>-1 时,1>x0+1>0, 不存在 0>x0>-1 的解. 当 x0<-1 时.x0+1<0
3 3 x0 <0,-1+ <-1,而 a >0 矛盾.即不存在 x0<-1 的解. 1 ? x0 1 ? x0
3 x0

x0 ? 2 3 ? (1 ? x0 ) 3 x0 2 ? x0 =0. 即a = . ? ? -1+ x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 1 xO >3,-1+ >2.而 <a <1.这是不可能的,即 1 ? x0 1 ? x0 a

3.(典型例题)若函数 f(x)=l0ga(x -ax)(a>0 且 a≠1)在区间(- ,0)内单调递增,则 a 的取值范围是 A.[ ,1] C.[ ,+∞] [考场错解]
3

1 2

(

) B.[ ,1] D.(1,- )
9 4 3 4

1 4 9 4

A 当 a∈(0,1)时,要使 f(x)=loga(x -ax)在区间(- ,0)上单调递增.∴
1 2
3

3

1 2

x -ax>0 在(- , 0)上恒成立, ∴(- ) + a≥0 a≥ .综合得 a∈[ , 1].当 a>1 时, x -ax>0 在(- ,0)上不可能成立.
1 2

1 2

1 2

1 4

1 4

3

-5-

[专家把脉] 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断,而只是考虑函数的定义 域,这样的答案肯定是错误的. 3 [对症下药] 设 ? (x)=x -ax 当 0<a<1 时,依题意,(x)在(- ,0)上单调递减且 ? (x)在(- ,0)上大于 0. ∵ ? ′(x)=3x -a.即 ? ′(x)≤0 在(- ,0)上恒成立 ? a≥3x 在(- ,0)上恒成立. ∵x∈(- ,0)∴3x ∈(0, ). ∴a≥ .此时 ? (x)>0.∴ ≤a<1. 当 a>1 时, ? (x)在(- ,0)上单调递增, ∴ ? ′(x)=3x -a≥0 在(- ,0)上恒成立. ∴a≤3x 在(- ,0)上恒成立. 又 3x ∈(0, )·∴a≤0 与 a>1 矛盾. ∴a 的取值范围是[ ,1]. 故选 B. 专家会诊 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行,因此讨论函数的单调性必须求函数定义域. 2.函数的单调性是对区间而言的,如果 f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函数, 不能说 f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是增(减)函数.
3 4
2 2 2 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

2

3 4

3 4

3 4

1 2

1 2

1 2

3 4

3.设函数 y=f(u),u=g(x)都是单调函数,那么复合函数 y=f[g(x)]在其定义域上也是单 调函数. 若 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同, 则复合函数 y=f[g(x)]是增函数; 若 y=f(u), u=g(x) 的单调性相反,则复合函数 y=f[g(x)]是减函数.列出下表以助记忆. y=f(u ) ↗ ↗ ↘ ↘ u=g(x ) ↗ ↘ ↘ ↗ y=f[g(x )] ↗ ↘ ↗ ↘

上述规律可概括为“同性则增,异性则减” . 考场思维训练 1 函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x)<f(x+1)那么 A.f(x)是增函数 B.f(x)没有单调减区间

(

)

-6-

C.f(x)可能存在单调增区间,也可能不存在单调减区间 D.f(x)没有单调增区间 C 解析:根据函数单调性定义进行判断. 2 函数 y= log 1 (x -3x+2)的单调增区间是_______.单调递减区间是_________.
2
2

解析:(-∞,1),(2,+ ∞)根据复合函数单调性法则进行求解。 3 如果函数 f(x)的定义域为 R,对于任意实数 a,b 满足 f(a+b)=f(a)·f(b). * (1)设 f(1)=k(k≠0),试求 f(n)(n∈N ) 答 案 : 解 (1)
? f (n ? 1) ? f (n) ? f (1),?



f (n ? 1) ? f (1) ? k ? 0. ? ? f (n)?是以k为首项, k为公比的等比数例 ,? f (n) ? f (1) ? [ f (1)]n?1 ? k n .(n ? ??) f (n)

(2) 设当 x<0 时,f(x)>1,试解不等式 f(x+5)> 答案:(2)对任意的

1 . f ( x)

x x x x ? R, f ( x) ? f ( ? ) ? f 2 ( ) ? 0, 假定存在 xo ? R, 使f ( xo ) ? 0, 则取 x ? 0, 有f ( x) ? f ( x ? xo ? xo ) ? f ( x ? xo ) ? f ( xo ) ? 0.这与已知相矛 2 2 2 ? 0, 于是对任意 x ? R, 必有 f ( x) ? 0.

∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0. ∴f(0)=1, 设 x1<x2, 则 x1-x2<0 则 f(x1-x2)>1,又∵f(x2)>0. ∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2) ?f(x2)>f(x2). ∴f(x)为 R 上的减函数,解不等式 f(x+5)>
1 f ( x)

∵f(x)>0, ∴不等式等价于 f(x+5) ?f(x)>1.即 f(2x+5)>f(0),又∵f(x)为减函数, ∴2x+5<0.
5? 解得不等式的解集为 ? ?x | x ? ? ? ? 2?
2

4 是否存在实数 a,使函数 f(x)=loga(ax -x)在区间[2,4]上是减函数? 1.答案:解析:设 ? (x)=ax2-x=a ( x ? 函数,则有:
? a? ?1 ? ?4 ? ? ? 2 a ? ? ?? (4) ? 0 ?a ? ? ? ? 1 8 ? a ?? 1 4

1 2 1 当 a>1 时,要使 f(x)在区间[2,4]上是减 ) ? 2a 4a

-7-

当 0<a<1 时,要使 f(x)在[2,4]上是减函数,则有 ? ?

? 1 a? ? ?2 ? ?? ? 2a ?? (2) ? 0 ?a ? ? ? ?

1 4 1 2

?a ?

1 . 2



1 ? a ?1. 2 1 2

综合,得存在实数 a,且 a 的范围为 ( ,1).

(

命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 1. (典型例题)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2), 当 x∈[3, 4]时,f(x)=x-2. 则 ) A.f(sin )<f(cos ) C.f(sin1)<f(cos1) [考场错解]
1 2 1 2

B.f(sin

? ? )>f(cos ) 3 3
3 2

D.f(sin )<f(cos )

3 2

A 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期.设 x∈[-1,0]知 x+4∈[3,

4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数 又 f(x)为偶函数.∴f(x)=f(-x) ∴x∈[0,1]时,f(x)=x+2, 即 f(x)在[0,1]上也是增函数. 又∵sin <cos <f(cos ). [专家把脉] 上面解答错在由 f(x)=f(-x)得 f(x)=x+2 这一步上,导致错误的原因主要是 对偶函数图像不熟悉. [对症下药] C 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3, 4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数. 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)的图像关于 y 轴对称. ∴f(x)在[0,1]上是减函数. A:sin <cos B:sin
1 2 1 1 1 ? f(sin )>f(cos ) 2 2 2

1 2

1 1 ? f(sin ) 2 2

1 2

? ? ? 2 >cos ? f(sin )>f(cos ). 3 3 3 3

C:sin1>cos1 ? f(sin1)<f(cos1). 故正确答案 C. 2.(典型例题)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞)

-8-

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) [考场错解] C f(-x)=f(x)<0=f(2).∴x>2 或 x<-2. [专家把脉] 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反.错误地认为 f(x)在 [0,+∞]上仍是减函数,导致答案选错. [对症下药] D ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x)<0.f(|x|)<f(2).又 ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)在[0,+∞]上是增函数,|x|<2 ? -2<x<2.选 D. 3.(典型例题)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______ [考场错解] 填-f(0) ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).又 f(x)的图像 关于 x= 对称. ∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0. ∴f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0. ∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) [专家把脉] 上面解答忽视了奇函数性质的运用.即 f(x)在 x=0 处有定义 ? f(0)=0. [ 对 症 下 药 ] 填 0 依 题 意 f(-x)=-f(x) . f(x)=f(1-x) . ∴ f(-x)=-f(1-x) 即 f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.又∵f(x) 在 x=0 处有定义,∴f(0)=0∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4.(典型例题)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在闭 区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论. [考场错解] 依题意 f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x).∴f(4-x)=f(14-x),∴f(x)=f(x+10) ∴f(x)是以 10 为周期的函数,f(3)=0.∴f(-3)=f(7)=0. ∴f(3)=f(-3)=-f(3).∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2) 由 (1) 知 f(x) 是 周 期 为 10 的 周 期 函 数 , 又 f(3)=f(1)=0 , ∴ f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]上有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 401 个解.[-2005, 0]上有 401 个解,所以函数丁 y=f(x)在[-2005,2005]上有 802 个解. [专家把脉] (1)对题意理解错误,题设中“在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0”说 明除了 f(1)、f(3)等于 0 外再不可能有 f(7)=0.(2)因 f(x)在 R 上既不是奇函数,又不是偶 函数.不能认为 x∈[0,10],[-10,0]上各有两个解,则认为在[0,2005]与在[-2005,0] 上解的个数相同是错误的,并且 f(x)=0 在[0,2005]上解的个数不是 401 个,而是 402 个. [对症下药] 由 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x)得函数丁 y=f(x)的对称轴为 x=2 和 x=7. 从而知函数 y=f(x)不是奇函数. 由?
? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x ) ?? ? f(4-x)=f(14-x) ? f(x)=f(x+10).从而知 f(x)是 ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)
1 2

1 2

周期为 10 的周期函数. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)=f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数.

-9-

(2)由(1)知 f(x)是以周期为 10 的周期函数. ∴f(1)=f(11)=?=f(2001)=0 f(3)=f(13)=?=f(2003)=0 f(x)=0 在[0,2005]上共有 402 个解.同理可求得 f(x)=0 在[-2005,0]上共有 400 个解. ∴f(x)=0 在[-2005,2005]上有 802 个解. 专家会诊 1.函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断有时需要将函数进行化 简. 2.要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性,要充分利用 f(x)与 f(-x)之间的转化关 系和图像的对称性解决有关问题. 3.解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数 ? f(x)=f(-x)=f(|x|). (2)若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f(0)=0. 考场思维训练 1 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 g(x)是奇函数,已知 g(x)=f(x-1),若 g(-1)=2006,则 f(2006)的值为 ( ) A.2005 B.-2005 C.-2006 D.2006 答案:D 解析:由题设条件易得 f(x+4)=f(x), ∴f(2006)=f(2).又 f(-2)=g(-1)=2006. ∴ f(2006)=2006.
? x ? 2, x ? ?1, 2 函数 f(x)=lg(1+x ),g(x)= ? h( x) =tan2x 中________是偶函数. ?0, | x |? 1, ?? x ? 2, x ? 1, ?
2

答案:解析:f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2] 2 时,f(x)=2x+x . (1)求证:f(x)是周期函数; 答案:解析:(1)f(x+2)=-f(-x), ∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)是周期为 4 的周期函数。 (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; 答案:当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x. 又当 x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.

- 10 -

因而求得 x∈[2,4] 时 f(x)=x2-6x+8. (3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+?+f(2004) 答案:f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴ f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0. 又 f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0. 4 设 a、b∈R,且 a≠2 定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 值范围. 答案:解析:f(x)=lg
? f (? x) ? ? f ( x) ? ?1 ? 2ax ? 1 ? 2x ? 0 ?

1 ? ax 是奇函数,求 b 的取 1 ? 2x

1 ? ax (?b ? x ? b) 是奇函数,等价于,对任意 x∈(-b,b)都有: 1 ? 2x

① ②

① 式即为 lg

1 ? ax 1 ? 2x ? lg . 即 a2x2=4x2.此式对任意 x∈(-b,b)都成立相当于 a2=4, ∵a≠ 1 ? 2x 1 ? ax
1 ? 2x 1 ? 2x ?0

2, ∴a=-2.代入(2)得
1 2 1 2

即 ? ? x ? .此式对任意x ? (?b, b)都成立相当于? ? ?b ? b ? 所以得b的取值范围为 (0, ]. 命题角度 4 反函数的概念和性质的应用 2 1 . ( 典型例题 ) 函数 f(x)=x -2ax-3 在区间 [1 , 2] 上存在反函数的充分必要条件是 ( ) A.a∈(-∞,1) B.a∈[2,+∞] C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1)∪[2,+∞] [考场错解] 选 A 或 B ∵a∈(-∞,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数.∴f(x)存在反 函数.当 a∈[2,+∞).对称轴 x=a 在区间[1,2]的右侧,∴f(x)在 [1,2]上是减函数.∴ f(x)存在反函数. [专家把脉] 上面解答只能说明 A 或 B 是 f(x)存在反函数的充分条件, 并不是充要条件. [对症下药] ∵一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单 调函数. ∴对称轴 x=a 不应在(1,2)内,∴a≤1 或 a≥2.故选 C. 2.(典型例题Ⅰ)y= 2 x ? x 2 (1≤x≤2)的反函数是 A.y=1+ 1 ? x 2 (-1≤x≤1) ( )

1 2

1 2

1 2

- 11 -

B.y=1+ 1 ? x 2 (0≤x≤1) C.y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1) D.y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1) [考场错解] 换得 y=1- 1 ? x 2 C ∵y =2x-x .∴(x-1) =1-y .∴x-1=- 1 ? y 2 ,∴x=1- 1 ? y 2 .x、y 对 又 1-x ≥0.∴-1≤x≤1.因而 f(x)的反函数为 y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1).
2 2 2 2 2 2 2

[专家把脉] 上面解答有两处错误(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0.由(x-1) =1-y 开方取“正 号”而不是取“负号” ;(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到,而不是由反函数 解析式确定. [对症下药] B 由 y= 2 x ? x 2 ? (x-1) =1-y . ∴ x ∈ [1 , 2]x-1 ∈ [0 , + ∞ ] . ∴ 又∵y= 2 x ? x 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 (1≤x≤
2 2

x-1= 1 ? y 2 ? =1+ 1 ? y 2 .x、y 对换得 y=1+ 1 ? x 2

2).∴0≤y≤1 即原函数值域为[0,1].所以反函数为 y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1).选 B. 3.(典型例题)设 f (x)是函数 f(x)= (a -a )(a>1)的反函数,则使 f (x)>1 成立的 x 的取值范围为 A.( C.( ( ) B.(-∞,
a2 ?1 ) 2a
-1

1 2

x

-x

-1

a2 ?1 ,+∞) 2a a2 ?1 ,a) 2a

D.(a,+∞) C ∵ y=
2y ? 2 y2 ?1 x -x 2x x x 1 (a -a ) ,∴ a -2y · a -1=0 . a = =y+ y 2 ? 1 .∴ 2 2
-1 -1

[ 考场错解 ]

x=loga(y+ y 2 ? 1 ), x、 y 对换. ∴f (x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x∈R)又∵f (x)>1, ∴loga(x+ x 2 ? 1 ) >1 ? x + x 2 ? 1 >a.
?x ? a a2 ?1 ? x 2 ? 1 >a-x ? ? a 2 ? 1 ∴ 2a <x<a.选 C. ?x ? 2a ?

[专家把脉]

上面解答错在最后解不等式 x 2 ? 1 >a-x,这一步,因为 x+ x 2 ? 1 >a-x 应

?a ? x ? 0 等价于 ? ? a 2 ? 1 或 a≤x.错解中只有前面—个不等式组.答案显然错了. ?x ? 2a ?

[对症下药]

A 解法 1 ∵y= (a -a ) ? a -2y·a -1=0,a =
-1 -1

1 2

x

-x

2x

x

x

2y ? 2 y2 ?1 2

=y+ y 2 ? 1 ∴

x=loga(y+ y 2 ? 1 ).∴f (x)=loga(x+ x 2 ? 1 )(x∈R).∵f (x)>1 ∴ loga(x+ 32 ? 1 )>1 ? x+ x 2 ? 1 >a ?
? a2 ?1 ?a ? x ? 0 x 2 ? 1 > a-x ? ? 2 或 a ? x ? 0 ? 2 2a ? ? x ? 1 ? ( a ? x)

- 12 -

<x<+∞. 解法 2:利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系.原题等价于 x>1 时,f(x)= (a -a ) 的值域,∴f(x)= (a -a )在 R 上单调递增.∴f(x)> (a1 2
x -x

1 2

x

-x

1 2

a2 ?1 1 )= .选 A. 2a a
-1

4.(典型例题) 设函数 f(x) 的图像关于点 (1, 2)对称,且存在反函数 f (x), f(4)=0, f (4)=________. -1 [考场错解] 填 0 ∵y=f(x)的图像关于点(1, 2)对称, 又∵f(4)=0, ∴f(0)=4, ∴f (4)=0 [专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上,因为 f(x)图像关 于点(1,2)对称不是关于 y=x 对称,因此应找出图像过点(-2,4)是关键. [对症下药] 填-2. 解法 1 ∵f(4)=0, ∴f(x)的图像过点(4, 0). 又∵f(x)的图像关于点(1, 2)对称, ∴f(x) -1 的图像过点 (2-4,4-0)即(-2,4).∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 解法 2 设 y=f(x)上任一点 P(x、y)关于点(1,2)对称的点为 P′(2-x,4-y).依题意 4-y=f(2-x),∴4-f(x)=f(2-x) ? f(x)+f(2-x)=4.令 x=4.∴f(4) +f(-2)=4.又 f(4)=0,∴ -1 f(-2)=4.∴f (4)=-2. 专家会诊 -1 1.求反函数时必须注意:(1)由原解析式解出 x=f (y),如求出的 x 不唯一,要根据条件 中 x 的范围决定取舍,只能取一个;(2)要求反函数的定义域,即原函数的值域. 2.分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成. -1 3.若点(a,b)在原函数 y=f(x)的图像上,则(b,a)在反函数 y=f (x)的图像上. 考场思维训练 2 1 函数 y=3x -1(-1≤x<0)的反函数是 ( )
-1

A.y= 1 ? log3 x (x≥ ) B.y=- 1 ? log3 x (x≥ ) C.y= 1 ? log3 x ( <x≤1) D.y=- 1 ? log3 x ( <x≤1) 答案:D 解析:由 y=3x2-1 得 x2-1=log3y ∵-1≤x<0, ∴ x=- log3 x ? 1, xy互换得y ? ? log3 x ? 1,
1 1 ? ?1 ? x ? 0,? ?1 ? x2 ? 1 ? 0,? ? 3x2 ? 1 ? 1.故原函数的反函数为 : y ? ? 1 ? log3 x ( ? x ? 1)选D. 3 3 1 3 1 3 1 3

1 3

2 (典型例题)定义在 R 上的函数 y=f(x)为周期函数,最小正周期为 T,若函数 y=f(x),x -1 ∈(0,T)时 E 有反函数 y=f ,x∈D.则函数 y=f(x),x∈(2T,3T)的反函数为 ( ) -1 A.y=f (x),x∈D -1 B.y=f (x-2T),x∈D -1 C.y=f (x+2T),x∈D -1 D.y=f (x)+2T.x∈D 答案:D 解析:∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期为 2T,y=f(x)=f(x-2T). ∴

- 13 -

x-2T=f-1(y)+2T,x,y 互换,得 y=f-1(x)+2T.当 x∈(2T,3T)的反函数为 y=f-1(x)+2T,x∈D. 3 已知 f(x)=
-1 a?x 的反函数.f (x)的图像的对称中心是(-1,3),求实数 a 的值. x ? a ?1

答案: 解析: ∵f(x)=-1∴a+1=3,从而 a=2.

1 的对称中心是 (a+1,-1) ∴f-1(x)的对称中心是 (-1,a+1) , x ? (a ? 1)

探究开放题预测 预测角度 1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 1. 已知定义域为[0, 1)的函数 f(x)同时满足①对任意 x∈[0, 1], 总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求 f(0)的值; (2)求函数 f(x)的最大值. [解题思路] (1)令 x1=x2=0 可得答案(2),先证 f(x)在[0,1]上是单调函数,再求其最大 值. [解答] (1)令 x1=x2=0,由条件①得 f(0)≥0,由条件③得 f(0)≤0.故 f(0)=0. (2)任取 0≤x1≤x2≤1,可知 x2-x1∈(0,1),则 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x).又 ∵x1- x2∈(0,1),∴f(x2-x1)≥0.∴f(x)≥f(x1) ∴f(x)在[0,1]上是增函数,于是当 0≤ x≤1 时,有 f(x)≤f(1)=1.∴当 x=1 时,[f(x)]max=1.即 f(x)的最大值为 1. 2.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,k 是正常数,且对任意的 x∈(0,+∞),恒有 f[f(x)]=kx 成立. (1) 若 f(x)是(0,+∞)上的增函数,且 k=1,求证:f(x)=x. (2)对于任意的 x1、x2∈(0,+∞),当 x2>x1 时,有 f(x2)-f(x1)>x2-x1 成立,如果 k=2,证 明: <
4 3
f ( x) 3 < . x 2

[解题思路] (1)用反证法证明;(2)用反证法先证 f(x)>x,再运用函数单调性进行放缩. [解答] (1)假设 f(x)>x ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(f(x)]=x. ∴f(x)>f[f(x)]. ∴x>f(x)这与假设矛盾.∴f(x)>x 不可能成立 同理可证 f(x)<x 也是不可能成立的. 综合,得 f(x)=x. (2) 先 证 f(x) > x , 假 设 存 在 x0 ∈ (0 , + ∞ ) , 使 得 f(x0) ≤ x0 , 若 f(x0)=x0 , 则 f[f(x0)]=f(x0).即 2x0= f(x0)=x0,∴x0 矛盾;若 f(x0)<x0,由条件可知 f(x)在(0,+∞)上是 增函数,且 f(x0)>0. ∴f[f(x0)]<f(x0),即 2x0<f(x0). ∴2x0<x0 ? x0<0 矛盾,∴f(x)>x 因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]>f[f(x)]-f(x)>f(x)-x. 即 2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x 解得 <
4 3
f ( x) 3 < . x 2

- 14 -

预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1.设 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数.当 x∈[-1,0]时,f(x)=g(2-x),且当 x∈[2,3] 3 时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2) , (1)求 f(x)的表达式; (2)是否存在正实数 a(a>6),使函数 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上,若存在,求 出正实数 a 的值;若不存在,请说明理由. [解题思路] (1)运用函数奇偶性和条件 f(x)=g(2-x)可求得 f(x)的解析式.(2)利用导 数可求得 f(x)的最大值.令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a. [解答] (1)当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3] 3 3 f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x) =4x -2ax 3 得 f(x)=4x -2ax(x∈[-1,0]) ∵y=f(x)在[-1,1]上是偶函数 3 ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=-4x +2ax ∴f(x)= ? ?
?4 x 3 ? 2ax ? ?? 4 x ? 2ax
3

? 1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1.

(2)命题条件等价于[f(x)]max=12,因为 f(x)为偶函数,所以只需考虑 0≤x≤1 的情况. 2 求导 f′(x)=-12x +2a(0≤x≤1,a>6), 由 f′(x)=0 得 x= ∵
a a 或 x=(舍). 6 6

a >1,当 0≤x≤1 时 6

f′(x)>0,f(x)在[0,1]上单调递增,

∴[f(x)]max=f(1)=12,∴a=8. 综上,存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上. 2. 函数 y=f(x)是偶函数, 且是周期为 2 的周期函数, 当 x∈[2, 3]时,f(x)=x-1. 在 y=f(x) 的图像上有两点 A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点 C 的坐标为(0, a),(其中 a>2),求△ABC 面积的最大值. [解题思路] 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出 f(x)在[0,1]和[1,2]时的解析式, 再利用图象设出 A、b 的坐标,然后以 A、B 的纵坐标作为自变量建立面积函数关系,借助函 数关系式即可求得 S△ABC 的最大值. [解答] ∵f(x)是以 2 为周期的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1. ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1. 又∵ f(x) 是偶函数,∴当 x ∈ [-1 , 0] 时, f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1 ;当 x ∈ [1 , 2] 时.f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3. 设 A、B 的纵坐标为 t(1≤t≤2),并设 A 在 B 的左边,则 A、B 的横坐标分别为 3-t、t+1, 则 |AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2 , ∴ △ ABC 的 面 积 S= (2t-2)(a-t)=-t +(a+1)t-a=-(t∴当 < 当
3 2 1 2
2

a ? 1 2 (a ? 1) 2 )+ -a. 4 2

a 2 ? 2a ? 1 a ?1 ≤2 即 2<a≤3 时,S 有最大值 . 4 2

a ?1 >2,即 a>3 时,函数 S 在[1,2]上单调递增,∴S 有最大值 S(2)=a-2. 2

预测角度 3 反函数与函数性质的综合

- 15 -

1. 在 R 上的递减函数 f(x)满足: 当且仅当 x∈M ? R+函数值 f(x)的集合为[0, 2]且 f( )=1; 又对 M 中的任意 x1、x2 都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求证: ∈M,而
1 4 1 ? M; 8
-1 -1 -1 -1

1 2

(2)证明:f(x)在 M 上的反函数 f (x)满足 f (x1)·f (x2)=f (x1+x2). (3)解不等式 f (x2+x)·f (x+2)≤ (x∈[0,2]). [解题思路] 由给定的函数性质,证明自变量 x 是属于还是不属于集合",最后利用反函 数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式. [解答] (1) 证 明 : ∵
1 1 1 1 1 1 1 ∈M,又 = × ,f( )=1 . ∴ f( )=f( × 2 4 2 2 2 4 2
-1 -1

1 4

1 1 1 )=f( )+f( )=1+1=2∈[0,2], 2 2 2

∴ ∈M, 又∵f( )=f( × )=f( )+f( )=1+2=3 ? [0,2].∴ ? M. (2)证明:∵f(x)在 M 上递减,∴f(x)在 M 上有反函数 f (x),x∈[0,2]. -1 -1 任取 x1、x2∈[0,2],设 y1=f (x1),y2=f (x2). ∴x1=f(y1),x2=f(y2)(y1,y2∈M) -1 ∵x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1·y2),∴y1·y2=f (x1+x2) -1 -1 -1 -1 -1 又 y1·y2=f (x1)·f (x2),∴f (x1)·f (x2)=f (x1+x2). -1 (3)∵f(x)在 M 上递减,∴f (x)在[0,2]上也递减, ∴f (x2+x)·f (x+2)≤ 等价于 f (x +x+x+2)≤f (2).
?0 ? x 2 ? x ? 2, ?? 2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1 ? ? 0 ? x ? 2 ? 2 , ? ?x?0. ∴? ? ?? 2 ? x ? 0 ? 2 ? x ? ?2或0 ? x ? 2 ? ? x ? 2 x ? 2 ? 2. ?
-1 -1 -1

1 4

1 8

1 2

1 4

1 2

1 4

1 8

1 4

-1

2

-1

故不等式的解集为{x|x=0}. x 2.已知奇函数 f(x),偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a (a>0 且 a≠1). (1) 求证:f(2x)=2f(x)·g(x) (2) 设 f(x)的反函数为 f (x),当 a= a -1 时,试比较 f [g(x)]与-1 的大小,并证明你 的结论. * (3) 若 a>1,n∈N 且 n≥2,比较 f(n)与 nf(1)的大小,并证明你的结论. x [解题思路] 先根据函数 f(x)·g(x)的奇偶性和 f(x)+g(x)=a 可解出 f(x)·g(x).再借 助基本不等式和叠加法证明后两小题. x [解答] (1)f(x)+g(x)=a , -x x 又 f(-x)+g(-x)=a ,而 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴-f(x)+g(x)=a , ∴f(x)=
a x ? a ?x a x ? a ?x ,g(x)= . 2 2
-1 -1

- 16 -

∴f(x)·g(x)=

a x ? a ?x a x ? a ? x a 2 x ? a ?2 x 1 · = = f(2x) 2 2 4 2

(2)∵0<a= 2 -1<1. ∴f(x)= f(-1)= ∵g(x)=
-1

a x ? a ?x 是(-∞,+∞)上的减函数,则其反函数也是减函数,又由于 2

( 2 ? 1) ?1 ? ( 2 ? 1) =1. 2

2 a x ? a ?x ≥ =1=f(-1) 2 2

∴f [g(x)]≤-1. (3)f(n)-nf(1)=
1 2

(a -a )-

n

-n

-1 1 1 n(a-a )= 2 2

(a-a )[a +a + ? +a

-1

n-1

n-3

-(n-3)

+a

-(n-1)

]-

-1 -1 n-1 n-3 -(n-3) -(n-1) 1 1 n(a-a )= (a-a )[a +a +?+a +a -n] 2 2

当 a>1 时,a-a >0 n-1 -(n-1) a +a >2 n-3 -n(n-3) a +a >2 ?? n-1 n-3 -(n-1) -(n-3) ∴a +a +?+a +a >0 ∴f(n)-nf(1)>0,即 f(n) >nf(1) 考点高分解题综合训练 1 函数 f(x)=x+ x 2 ? 1 ,则其反函数的定义域是 ( )

-1

A.(-∞,-1)∪[1,+∞) B.[1,+∞) C.[-1,0] D.[-1,0]∪(1,+∞) 答案:D 解析:反函数的定义域即为原函数的值域,x2-1≥0?x≥1 或 x≤-1,当 x≥1 时, 函数 f(x)是单调递增函数, 此时值域为 (1, +∞)当 x≤-1 时,f(x)=x+ x 2 ? 1 ? 单调递减函数,此时值域为[-1,0],故值域为[-1,0]∪(1,+ ∞), 从而选 D.
1 x ? x2 ? 1



2 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4).当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+x2<4 且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值为 ( ) A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 D.可正可负 答案: C 解析: 不妨设 x1<x2,则 x1<2<x2,且 x1+x2<4,由 f(-x)=-f(x+4)可知, 函数 f(x) 的 图象关于点(2,0)成中心对称,函数在(2,+∞)上单调递增,∴ f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0,故选 C.

- 17 -

3
-1

已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=( ) ,那么 f(x)=( ) ,那
-1

1 2

x

1 2

x

么 f (0)+f (-8)的值为 ( A.2 B.-3 C.3

) D.-2

? 1 x ( x ? 0) ?( 2 ) ? 答案:C 解析:f(x)= ?0 ( x ? 0) , 故f ?1 (0) ? 0 ? x ? ? 2 ( x ? 0) ? ?

f-1(-8)=3.故选 C. 4. B 解析:① ?x? 的值域为[0,1];②③正确;④错误 4 符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π ]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x],那 么下列命题中正确的个数是 ( ) ①函数{x}的定义域为 R,值域为[0,1]; ②方程{x}=有无数解; ③函数{x}是周期函数; ④函数{x}是增函数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:C 解析:∵f(x)的周期为 3,∴f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即 C. 5 设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 若 f(1)>1,f(2)=
2 3
2 3

2a ? 3 2 ? ?1.解得 ? 1<a< .故选 a ?1 3

2a ? 3 , 则 a ?1

( )

A.a<

B.a< 且 a≠-1 D.m> 或 m<-1
2 3

2 3

C.-1<a<

答案:D 解析:因为函数 y=f(x)为偶函数,所以 y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由 y=f(x)的图 向右平移 1 个单位得到,故对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数,故选 D。 6 ( 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个单调递增区间是(3,5),则函数 y=f(1-x)

) A.图像的对称轴为 x=-1,且在(2,4)内是增函数 B.图像的对称轴为 x=1,且在(2,4)内是减函数 C.图像的对称轴为 x=0,且在(4,6)内是增函数 D.图像的对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数 x2-2x-8 ≥ 0?x ≤ -2 或 x ≥ 4. 由

答 案 : 解 析 : [-1 , 3] 由

1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由 A∩B=?,故 ?

?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. ?a ? 1 ? 4, ?a ? 3,

- 18 -

7

函数 f(x)= x 2 ? 2 x ? 8 的定义域为 A,g(x)=

1 1? | x ? a |

的定义域为 B,且 A∩B=? ,则

实数 a 的取值范围是_________ 答案:解析:[-1,3]由 x2-2x-8≥0?x≤-2 或 x≥4.由 1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由 A∩B=?,故 ? 8 已知 y=f (x)是函数 f(x)= ?
-1

?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. a ? 1 ? 4 , ? ?a ? 3,

? x ? 1,?1 ? x ? 0. -1 的反函数, 则函数 g(x)=f(x)+f (x)的表达式 ? x , 0 ? x ? 1 . ?

是 g(x)=________ 2.答案:解析: ?
? x ? 1, f ?1( x) ? ? ?? x, ?1?, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.

0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 0. ??1, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.
2

故 f ( x) ? f ?1( x) ? ? 9

已知函数 f(x)在定义域上是减函数,且 f(a-1)>f(1-a ).求 a 的取值范围;

?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? 2 答案:解析:由牺件可得 ? ?? 1 ? a ? 1 ? 1, ? 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a .

解得0 ? a ? 1.

10 若 f(x)满足: 在(0, +∞)上 f(xy)=f(x)+f(y), 且对 x>1, f(x)>0 恒成立, 求证: f(x) 存在反函数 f (x)并比较 f
-1 -1

a?b -1 -1 1 [f (a)+f (b)]的大小. 2 与 2
x y x y x y

答案:解析:∵f(x,y)=f(x)+f(x) ∴f(x)=f ( ? y) ? f ( ) ? f ( y). ? f ( ) ? f ( x) ? f ( y). 设 0<x1<x2,则
x2 x ? 1, 有f ( x2 ) ? f ( x1 ? f ( 2 ) ? 0 xc1 x1

∴f(x1)<f(x2)从而 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则有 f(x)存在反函数。 令 f(x)=uf(y)=u,则 f-1(u)=x,f-1(u)=y. ∴u+v=f[f-1(u)]+f-1[f-1(u)]=f[f-1(u)?f-1(u)] ∴f-1(u+v)=f-1(u) ?f1-(v), ∴f-1(x)=[f-1 ( 2 ) ]2∴
1 ?1 1? a b ? a b a b a?b [ f (a) ? f ?1(b)] ? ? f ?1( )]2 ? [ f ?1( )]2 ? ? f ?1( ) ? f ?1( ) ? f ?1( ? ) ? f ?1( ). 2 2? 2 2 ? 2 2 2 2 2

x

故 f ?1(

a?b 1 ) ? [ f ?1(a) ? f ?1(b)]. 2 2

11 已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|x2-14x+24≤0},x1t∈R,且 A ? B. (1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b-a. 若 A 的区间“长度”为 3,试求 t 的值. (2)某个函数 f(x)的值域是 B,且 f(x)∈A 的概率不小于 0.6,试确定 t 的取值范围. 12 集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对任的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x)在[0,+ ∞]上是增函数.

- 19 -

(1)试判断 f1(x)=-2 及 f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合 A 中?若不在集合 A 中,试说明 理由; 答案:解析: (1)log2t-2=3?t=32; (2) 对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意 的 x≥D 总成立?证明你的结论. 答 案 : B=[2,12], 由 题 意 及 概 率 的 意 义 得 [256,4096]. 12 集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对任意的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x) 在[0,+8]上地增函数。 (1) 试判断 f1(x)= x -2 及 f2(x)=4-6· ( ) (x≥0)是否在集合 A 中?若不在集合 A 中,试说明理由; 答案:解析: (1)函数 f1(x)= x ? 2 不在集合 A 中,这是因为当 x=49>0,f1(49)=5>4,不满 足条件 f2(x)=4-6 ( ) x 在集合 A 中。 (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意 的 x≥D 总成立?证明你的结论? 答案:∵ f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) x ? 4 ? 6 ? ( ) x?2 ? 8 ? 12( ) x?1 ? 6 ? ( ) x[2 ? ? 1 ? ( )2 ] ? 6( ) x (? ) ? 0. ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 2 2 2 2 2 2 2 4
1 2

log2 t ? 2 ? 0.6 ? 8 ? log2 t ? 12 ? 28 ? t ? 212. 即 t ∈ 12 ? 2

1 2

x

对于任意 x≥0 总成立.
x 2 ? ax ? x 1 2 (x>0).

13 已知函数 f(x)=

(1) 写出函数 f(x) 的单调区间,并指出在每一个单调区间内,函数是递增的还是递减 的.(不必证明) 答案:f(x)=x ?
1 2 2 ? a在(0, ]上递减, 在[ ,??)上递增 . 2x 2 2

(2)若不等式 f(x)>0 对于 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; 答案:f(x)>0 即 a>- ( x ? 由(1)的结论知当 x ?
1 1 ) 恒成立,∴a> [?( x ? )] max, 2x 2x

2 1 时[?( x ? )] max ? ? 2故a ? ? 2 . 2 2x
-1 -1

(3)若 f(x)(x≥1)的反函数 f (x),试求 f (a+ ). 答 案 : 根 据 反 函 数 的 意 义 , 令

9 4

- 20 -

x?

1 9 1 9 ? a ? a ? , 得4x2 ? 9x ? 2 ? 0, 解得x ? (舍去).或x ? 2. ? f ?1(a ? ) ? 2. 2x 4 4 4

14 已知函数 f(x)=x +ax+b 定义在区间[-1,1]上,且 f(0)=f(1),又 P(x1,y1),q(x2, y2)是其图像上任意两点(x1≠x2). (1)求证:f(x)的图像关于点(0,b)成中心对称图形; 答案:∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得 a=-1. ∴f(x)=x3-x+b 的图象可由 y=x3-x 的图象向 上(或向下)平移 b(或-b )个单位得到.又 y=x3-x 是奇函数,其图象关于原点成中心 对称图形,∴f(x) 的图象关于点(0,b)成中心对称图形。 (2)设直线 PQ 的斜率为 k,求证:|k|<2. 答案:∵点 P(x1,y1),Q(x2y2)在 f(x)=x3-x+b 的图象上, ∴k=
3 3 y1 ? y2 ( x1 ? x1 ? b) ? ( x2 ? x2 ? b) 2 2 ? ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1. x1 ? x2 x1 ? x2

3

2 2 2 2 2 2 又 x1x2 ? [?1,1]x1 ? x2 ,? 0 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 3, 从而 ? 1 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 ? 2,? | k |?| x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 |? 2.

(3)若 0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1. 答案:∵0≤x1<x2≤1,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 ①+②得 2|y1-y2|<2.故|y1-y2|<1. ②

- 21 -


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