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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件:2-2-2 反证法


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
推理与证明

第二章

推理与证明

成才之路 ·高中新课程 ·学习

指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1、1-2合订

第二章
2.2 直接证明与间接证明

第二章

推理与证明

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第二章
第 2 课时 反 证 法

第二章

推理与证明

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.2

第2课时

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课程目标解读

第二章

2.2

第2课时

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1.了解反证法是间接证明的一种基本方法;了解反证法 的思考过程、特点. 2.感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用.

第二章

2.2

第2课时

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重点难点展示

第二章

2.2

第2课时

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本节重点:反证法概念的理解以及反证法的解题步骤. 本节难点:应用反证法解决问题.

第二章

2.2

第2课时

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学习要点点拨

第二章

2.2

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一、反证法证题的原理 1.反证法的原理是“否定之否定等于肯定”. 2.用反证法解题的实质就是否定结论,导出矛盾,从而 说明原结论正确.

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2.2

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二、用反证法证明数学命题的步骤 第一步:审题,分清命题的条件和结论; 第二步:反设,做出与命题结论相矛盾的假设; 第三步:归谬,由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛 盾的结果; 第四步:下结论,断定产生矛盾结果的原因,在于开始所 做的假设不真, 于是原结论成立, 从而间接地证明了命题为真.

第二章

2.2

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三、反证法的适用对象 作为一种间接证明方法,反证法尤其适合证明以下几类数 学问题: 1.结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命 题; 2.关于唯一性、存在性的命题; 3.结论以“至多”“至少”等形式出现的命题; 4.结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题.

第二章

2.2

第2课时

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四、应用反证法的注意事项 1.用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤, 其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法. 2.注意否定命题时,要准确无误.

第二章

2.2

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3.用反证法证题时,必须把结论的否定作为条件使用, 否则就不是反证法.有时在证明命题“若 p,则 q”的过程中, 虽然否定了结论 q,但是在证明过程中没有把“綈 q”当作条

件使用,也推出了矛盾或证得了结论,那么这种证明过程不是 反证法.

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2.2

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4.用反证法证题,最后要产生一个矛盾命题,常见的主 要矛盾有: (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相 矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与已知条件矛盾; (4)与公认的简单事实矛盾. 矛盾是在推理过程中发现的,不是推理之前设计的.

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2.2

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课前自主预习

第二章

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1.反证法的定义 一般地,假设原命题不成立,经过 正确的推理 ,最后得出

矛盾,因此说明假设 错误 ,从而证明了原命题 成立,这样的
证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以 是与已知条件 矛盾,或与 假设 矛盾,或与定义、公理、定理 、 事实矛盾等.

第二章

2.2

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课堂典例讲练

第二章

2.2

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思路方法技巧
命题方向 用反证法证明直接证明不易入手的问题

[例 1]

求证:若两条平行直线 a,b 中的一条与平面 α 相

交,则另一条也与平面 α 相交.

第二章

2.2

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[解析]

不妨设直线 a 与平面 α 相交,b 与 a 平行,从而

要证 b 也与平面 α 相交.假设 b 不与平面 α 相交,则必有下面 两种情况:(1)b 在平面 α 内.由 a∥b,a?平面 α,得 a∥平面 α,与题设矛盾. (2)b∥平面 α. 则平面 α 内有直线 b′,使 b∥b′. 而 a∥b,故 a∥b′,因为 a?平面 α,所以 a∥平面 α,这 也与题设矛盾. 综上所述,b 与平面 α 只能相交.

第二章

2.2

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[点评]

直接证明直线与平面相交比较困难,故可考虑用

反证法,注意该命题的否定形式不止一种,需一一驳倒,才能 推出命题结论正确.

第二章

2.2

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已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2.

第二章

2.2

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[解析]

假设 p+q>2,那么 p>2-q,所以 p3>(2-q)3=8

-12q+6q2-q3,将 p3+q3=2 代入消去 p,得 6q2-12q+6<0, 即 6(q-1)2<0.这与 6(q-1)2≥0 矛盾,故假设错误.所以 p+ q≤2.

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2.2

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[点评]

本题已知条件为 p, 的三次幂, q 而结论中只有 p,

q 的一次幂,若直接证明,应考虑到用立方根,同时用放缩法, 但很难证,故考虑采用反证法.

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2.2

第2课时

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命题方向

用反证法证明“至多”、“至少”类命题
2

[例 2]
2

π 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ , 2

π π 2 b=y -2z+ ,c=z -2x+ . 3 6 求证:a,b,c 中至少有一个大于 0.

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2.2

第2课时

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[解析]

假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0,
2

π 2 π 2 则 a+b+c≤0.而 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z - 2 3 π 2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.因为 π-3>0,且(x- 6 1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, 所以 a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾,故假设错误. 因此 a,b,c 中至少有一个大于 0.

第二章

2.2

第2课时

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[点评]

该命题中有“至少??”,直接证明分类比较复

杂,很难证明,故可采用反证法. 当 命 题 中 出 现 “ 至 少 ??” 、 “ 至 多 ??” 、 “ 不 都??”、“都不??”、“没有??”、“唯一”等指示性 词语时,宜用反证法.注意“至少有一个”、“至多有一个”、 “都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两 个”、“不都是”.

第二章

2.2

第2课时

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设 a、b、c 都是小于 1 的正数,求证(1-a)b、(1-b)c、(1 1 -c)a 三个数不可能同时大于4.

第二章

2.2

第2课时

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[解析]

1 假设三个数都大于4,

1 1 1 即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4, 1 三个数相乘,得(1-a)b· (1-b)c· (1-c)a>64. 1-a+a 2 1 1 1 又因为(1-a)· a<( (1-b)· 4, b< (1-c)· 4, c< 2 ) =4, 1 所以(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c< . 64 这与假设矛盾,因此假设不成立. 1 所以(1-a)b· (1-b)c· (1-c)a 不可能同时大于 . 4
第二章 2.2 第2课时

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建模应用引路
命题方向 用反证法证明存在性、唯一性命题

[例 3] [分析]

求证:方程 2x=3 有且只有一个根. 本题中“有且只有”含有两层含义:一层为

“有”即存在;另一层为“只有”即唯一性,证明唯一性常 用反证法.

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2.2

第2课时

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[解析]

假设方程 2x=3 有两个根 b1、b2(b1≠b2).

则 2b1=3,2b2=3.两式相除,得 2b1-b2=1. ∵b1≠b2,∴b1-b2≠0. 如果 b1-b2>0,则 2b1-b2>1,这与 2b1-b2=1 相矛盾. 如果 b1-b2<0,则 2b1-b2<1,这与 2b1-b2=1 相矛盾. 所以假设不成立.从而 2x=3 的根是唯一的. 故 2x=3 有且只有一个根.

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2.2

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已知直线 m 与直线 a 和 b 分别交于 A,B 且 a∥b, 求证:过 a、b、m 有且只有一个平面.

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2.2

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[证明]

∵a∥b,

∴过 a、b 有一个平面 α. 又 m∩a=A,m∩b=B,∴A∈a,B∈b, ∴A∈α,B∈α,又 A∈m,B∈m,∴m?α. 即过 a、b、m 有一个平面 α

第二章

2.2

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假设过 a、b、m 还有一个平面 β 异于平面 α. 则 a?α,b?α,a?β,b?β 这与 a∥b,过 a、b 有且只有 一个平面相矛盾.因此,过 a、b、m 有且只有一个平面.

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2.2

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探索延拓创新
命题方向
[例 4]

用反证法证明否定性命题
求证:若 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数

根,则 bc≠0.

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2.2

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[解析]

假设 bc=0,则有三种情况出现:

(1)若 b=0,c=0,方程变为 x2=0;x1=x2=0 是方程 x2 +bx+c2=0 的根,这与已知方程有两个不相等的实根矛盾. (2)若 b=0,c≠0,方程变为 x2+c2=0,但当 c≠0 时 x2 +c2≠0 与 x2+c2=0 矛盾. (3)若 b≠0, c=0, 方程变为 x2+bx=0, 方程的根为 x1=0, x2=-b,这与已知条件:方程有两个非零实根矛盾. 综上所述,bc≠0.

第二章

2.2

第2课时

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已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求 证: a, b, c不成等差数列.

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2.2

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[解析]

假设 a, b, c成等差数列,则

a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b. 而 b2=ac,即 b= ac, 则有 a+c+2 ac=4 ac. 即( a- c)2=0. 所以 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾,故 a, b, c不成等差数列.

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2.2

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名师辨误做答

[例 5] b>0,c>0. [错解]

已知 a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0, 求证: a>0,

假设 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0,abc≤0

与题设条件 a+b+c>0,abc>0 矛盾. ∴假设不成立,∴原命题成立.

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2.2

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[辨析]

错解没有弄清原题待证的结论是什么?导致反设

错误.“求证:a>0,b>0,c>0”的含义是“求证 a、b、c 三 数都是正数”,故反设应为“假设 a、b、c 中至少有一个不大 于 0.”

第二章

2.2

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[正解]

假设 a、 c 中至少有一个不大于 0, b、 不妨设 a≤0,

若 a<0,则由 abc>0,得 bc<0,由 a+b+c>0 得,b+c>-a>0 ∴ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知 ab+bc+ac>0 矛盾. 又若 a=0,则 abc=0 与 abc>0 矛盾. 故“a≤0”不成立,∴a>0, 同理可证 b>0,c>0.

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2.2

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课堂巩固练习

第二章

2.2

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一、选择题 1.下列命题错误的是( )

A.三角形中至少有一个外角是钝角 B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a、b∈Z,若 a+b 是偶数,则 a,b 中至少有一个 为偶数
[答案] D

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1 1 1 2. a、 c 都是正数, 设 b、 则三个数 a+ , b+ , c+ ( b c a A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2
[答案]C

)

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[解析]

1 1 1 假设都小于 2 则(a+b)+(b+ c)+(c+a)<6,而 a

1 1 1 1 1 1 + +b+ +c+ =a+ +b+ +c+ ≥2+2+2=6.矛盾 b c a a b c

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3.应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用 ( ) ①结论的否定,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、 定义等;④原结论. A.①② C.①②③
[答案]C

B.①②④ D.②③

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二、解答题 4.如图所示,在△ABC 中,AB>AC,AD 为 BC 边上的高, AM 是 BC 边上的中线,求证:点 M 不在线段 CD 上.

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[解析]

假设点 M 在线段 CD 上,则 BD<BM=CM<CD,

且 AB2 =BD2 + AD2 , AC2 =AD2 + CD2 ,所 以 AB2 =BD2 + AD2<BM2+AD2<CD2+AD2=AC2,即 AB2<AC2,所以 AB<AC. 这与 AB>AC 矛盾,故假设错误.所以点 M 不在线段 CD 上.

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课后强化作业(点此链接)

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